Clculo Diferencial e Integral III Aula 1 Profa

Cálculo Diferencial e Integral III Aula 1 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Objetivos • • Identificar uma Equação Diferencial (ED) Classificar quanto a Ordem uma ED Identificar o grau de uma ED Verificar se uma solução dada é solução para determinada ED • Identificar os tipos de solução das Equações Diferenciais • Identificar e Resolver Equações de Variáveis Separáveis 2

EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED) Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. Exemplos: 3

EQUAÇÕES DIF. ORDINÁRIAS E PARCIAIS Uma Eq. Dif. Ordinária (EDO) envolve funções de uma variável e suas derivadas, enquanto uma Eq. Dif. Parcial envolve funções de muitas variáveis e suas derivadas. Exemplos: EDO EDP 4

ORDEM E GRAU DE UMA EQ. DIFERENCIAL Vamos considerar as equações abaixo: 5

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Consideremos a equação diferencial y” + 4 y = 0. Será que y = cos 2 x – 3 sen 2 x é solução da Equação diferencial dada? Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, verificando se realmente será uma identidade. 6

Equação diferencial y” + 4 y = 0. y = cos 2 x – 3 sen 2 x 7

TIPOS DE SOLUÇÃO DE UMA EQ. DIFERENCIAL Solução geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. Exemplos: y(x) = x 2 + C y(x) = C 1. ex + C 2. e 2 x Solução particular é toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos valores particulares às constantes. 8

PROBLEMA DE VALOR INICIAL Seja y = C 1 e-2 t + C 2 e-3 t a solução geral da eq. Dif. y” + 5 y´ + 6 y = 0. Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3. ØVamos encontrar o valor das constantes C 1 e C 2. 9

Seja y(0) = 2, onde t = 0 e y = 2. y = C 1 e-2 t+C 2 e-3 t => 2 = C 1 e-2(0)+C 2 e-3(0) =>2 = C 1 + C 2 Seja y`(0) = 3, onde t = 0 e y` = 3. y = C 1 e-2 t + C 2 e-3 t => y`= -2 C 1 e-2 t - 3 C 2 e-3 t 3 = -2 C 1 e-2(0) - 3 C 2 e-3(0) => 3 = -2 C 1 - 3 C 2 10

Vamos resolver o sistema de equações. Logo, a solução particular será: y = 9 e-2 t - 72 e-3 t 11

EQUAÇÃO DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 12

1. Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 13

2. Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis y dx – x dy = 0. 14

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Cálculo Diferencial e Integral III Atividade Prof(a): Ana Lucia de Sousa

1. Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 17

EXERCÍCIOS 2. Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 18

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