Solues Numricas de EDOs 2007 2 1 Equaes

Soluções Numéricas de EDO’s 2007. 2 1

Equações Diferenciais Ordinárias • Equações contendo derivadas são equações diferenciais. • Necessário conhecer equações diferenciais para: – Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, entre outros. • Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial. 2007. 2 2

Equações Diferenciais Ordinárias • Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer diretamente a relação de dependência entre uma variável independente x e uma dependente y. • Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre x, y e as derivadas y’(x), y’’(x), …, Y(n)(x). • Esta relação constitui uma equação diferencial. – Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é modelada através de equações diferenciais. 2007. 2 3

Equações Diferenciais Ordinárias • Equação diferencial: – é uma equação envolvendo um função desconhecida e algumas de suas derivadas. • Equação diferencial ordinária de ordem n: – equação que envolve derivadas até a ordem n da forma Y(n)(x) = f(x, y(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) (1) a ≤ x ≤b. 2007. 2 4

Equações Diferenciais Ordinárias • A solução de (1’) : – Y(n)(x) = f(x, y(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) (1) a ≤ x ≤b. – é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz (1). – Se a função é de uma só variável, então a equação se chama ordinária. – As equações que estabelecem relações entre uma variável e depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas (agora parciais), são chamadas de equações diferenciais parciais. 2007. 2 5

Solução de uma EDO • Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos: – Método analítico - O que tenta levar à uma solução exata do problema – Método numérico - O que encontra uma solução aproximada. • Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x, y) é encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada. • Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x, y) = 2 x + 3, sua solução é obtida por: – y = ∫(2 x+3)dx = x 2 + 3 x + C – Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C R tem uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas soluções para C = 0, C = 2 e C = 4. 2007. 2 6

Solução de uma EDO y C=4 C=2 C=0 x Note que à medida que C varia, tem-se uma família de soluções. Representações de soluções particulares, para alguns valores de C, da função y= x 2 + 3 x + C. Figura 1 2007. 2 7

Solução de uma EDO 2007. 2 8

Definindo as condições iniciais • Para especificar uma das curvas que formam a família de soluções, é preciso impor condições adicioinais na função y. Essas condições são da forma: – y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 , … , y(n-1)(a) = n (2) – Que são chamadas de condições iniciais. • O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de problema de valor inicial ou problema de condições iniciais. Y(n)(x) = f(x, y(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) com a ≤ x ≤b 2007. 2 (1) 9

Definindo as condições iniciais • O problema geral de primeira ordem é escrito como: – Y’(x) = f(x, y(x)), y(a) = com a ≤ x ≤ b (3) – OU – dy/dt = f(t, y(t)), y(a) = com a ≤ t ≤ b – • Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como: 2007. 2 – Y(n)(x) = f(x, y’’, …, Y(n-1)), a ≤ x ≤b (4 a) – y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 , … , y(n-1)(a) = n (4 b) 10

Condições de contorno • Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter problemas com condições de contorno, isto é: • Além da condição no início do fenômeno, temos também um condição a atingir no fim do fenômeno. – EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como – Y’’(x) = f(x, y, y’’) , a≤x≤b (5) – com – y(a) = 1 , y(b) = 2 2007. 2 11

Sistema de Equações Diferenciais • Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte forma geral: Y’ 1(x) = f 1(x, y 1, y 2, y 3, … yn) Y’ 2(x) = f 2(x, y 1, y 2, y 3, … yn) … a≤x≤b (6 a) Y’n(x) = fn(x, y 1, y 2, y 3, … yn) Sujeito a yk(a) = k , k = 1(1)n (6 b) Onde f 1, f 2, … f 1 n são funções de n + 1 variáveis. Nota: se o problema (6 a) tem solução, então ele tem, em geral, várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6 b), temos o problema do valor inicial. 2007. 2 12

Sistema de Equações Diferenciais • As soluções do problema (6 a) são derivadas da solução de uma única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir um conjunto de n funções Y 1, Y 2, …, Yn, da seguinte forma: Y 1(x) = y(x) Y 2(x) = y’(x) (7) … Yn(x) = y(n-1)(x) Então (4 a) pode ser escrita como: Y(n)(x) = f(x, y 1, y 2, … yn). 2007. 2 (8 a) 13

Sistema de Equações Diferenciais • Diferenciando (7), obtemos: Y’ 1(x) = Y 2(x) Y’ 2(x) = Y 3(x) (8 b) … Yn-1(x) = Yn(x) De onde obtermos para (4) um sistema de equações diferenciais. As condições iniciais de (4 b) tornam-se as condições iniciais do sistema. 2007. 2 14

Sistema de Equações Diferenciais • EXEMPLO: y’’’(x) = xy’(x) + exy(x) + x 2 + 1 y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1 0≤x≤ 1 Fazendo a mudança de variáveis, obtemos: y’ 1(x) = y 2(x) y’ 2(x) = y 3(x) 0≤x≤ 1 y’ 3(x) = xy 2(x) + ex y 1(x) + x 2 + 1 y 1(0) = 1, y 2(0) = 0, y 1(0) = -1 2007. 2 15

Uso de computadores na solução de EDO § Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de equações diferenciais. § Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de Runge-Kutta. § Além disso, há excelentes pacotes (software) de solução numérica que podem ser aplicados a diversos problemas matemáticos. Exemplo: Matlab. 2007. 2 16

Equações Diferenciais de Primeira Ordem A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é dy/dx = f (x, y) (i) Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação. Exemplo: y` = 2 y + 3 e 2007. 2 t 17

Equações Lineares Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é dy/dt = - ay + b, onde a e b são constantes dadas. Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem dy/dt +p(t)y = g(t), onde p e g são funções dadas da variável independente t. 2007. 2 18

Exemplo: Considere a equação diferencial dy/dt + 2 y = 3. Encontre sua solução. Solução: Temos que dy/dt = -2 y + 3 ou dy/dt y - 3/2 = -2 ln |y - 3/2 | = -2 t + c Logo, y = 3/2 + ce - 2 t Se g(t) = 0, então a equação é dita equação linear homogênea. 2007. 2 19

Referências • HOPCROFT, J. E. ; ULLMAN, J. D. Introdução à Teoria de Autômatos, Linguagens e Computação. Rio de Janeiro: Campus, 2002. • MENEZES, P. F. ; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais e Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001. • PAPADIMITRIOU, C. H. ; LEWIS, H. F. Elementos de Teoria da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000. • GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Rio de Janeiro: LTC, 1995. 2007. 2 20