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1 EDO - OSCILAÇÕES Equipe IGM igm@igm. mat. br 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

2 Oscilações § § § 01/03/2021 Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmônico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas EDO – Equipe IGM

MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 3

mais exemplos de movimento oscilatório 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 4

5 outros exemplos de movimento oscilatório Vibrações atômicas e moleculares para estados excitados Eletróns vibram em torno do núcleo frequência alta: ~1014 - 1017 Hz Os núcleos das moléculas vibram frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

6 Ligações de átomos de carbono com hidrogênio são importantes na química da vida Vibrações CH 2 Symmetrical stretching Antisymmetrical stretching Rocking 01/03/2021 EDO – Equipe IGM Scissoring Wagging Twisting

mais exemplos de movimento oscilatório Os átomos num sólido não estão completamente imóveis. Eles vibram com uma amplitude pequena em torno da sua posição de equilíbrio 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 7

MOVIMENTO PERIÓDICO O movimento periódico é o movimento de um corpo que se repete regularmente O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo O MOVIMENTO harmônico SIMPLES (MHS) É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula • é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio • e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio Lei de Hooke 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 8

9 MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA Um bloco de massa m é ligado a uma mola O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de equilíbrio x=0 Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que k é a constante elástica força restauradora x deslocamento A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmônico simples 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

10 • • 01/03/2021 EDO – Equipe IGM O bloco é deslocado para a direita de x=0 – A posição é positiva A força restauradora é dirigida para a esquerda O bloco está na posição de equilíbrio x=0 A mola não está nem esticada nem comprimida A força é 0 O bloco é deslocado para a esquerda de x = 0 – A posição é negativa A força restauradora é dirigida para a direita

11 ACELERAÇÃO De acordo com a segunda lei de Newton A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento (sinal menos) Num corpo que se mova com um movimento harmônico simples (MHS), a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento A aceleração não é constante as equações cinemáticas não podem ser aplicadas Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio, 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

12 MOVIMENTO DO BLOCO O bloco continua a oscilar entre –A e +A A força é conservativa Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente ! 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO harmônico SIMPLES Tratamos o bloco como sendo uma partícula Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo Aceleração x Definimos Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original com um sinal negativo e multiplicada por AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO RESPEITAM ESTES REQUISITOS ! Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 13

14 Funções seno e cosseno 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A seguinte função cos é uma solução da equação são constantes onde A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direção positiva quer na negativa é a frequência angular Unidade: rad/s é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial 01/03/2021 • Se a partícula está em x = A para t = 0, então • A fase do movimento é a quantidade • x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos EDO – Equipe IGM 15

16 EXPERIÊNCIA A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento Verifica-se assim a curva cosseno, considerada anteriormente 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

17 DEFINIÇÕES • O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T • O inverso do período chama-se frequência A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo • A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz) 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 18

ENERGIA NO MHS Energia do sistema massa-mola • Energia cinética assim • Energia Potencial 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 19

20 • Energia Mecânica 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

21 Pêndulo simples O pêndulo simples também pode exibir um movimento harmônico simples (MHS) O MHS acontece quando o fio faz um ângulo pequeno com a vertical pequena oscilação 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

Pêndulo simples 22 O comprimento, L, do pêndulo é constante Forças que atuam sobre a esfera: Peso Tensão Força tangencial (força restauradora) Para ângulos pequenos, Este resultado confirma que o movimento é o MHS 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

23 A função que satisfaz a equação diferencial: onde é a frequencia angular o período 01/03/2021 EDO – Equipe IGM é

MHS e MCU ü Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR. ü O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular w 0. ü Em t = 0, a fase inicial a = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será: 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 24

MHS ANGULAR O deslocamento no movimento circular é conhecendo o deslocamento, podemos encontrar 01/03/2021 EDO – Equipe IGM 25

OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido Um exemplo de movimento amortecido A força de atrito pode ser expressa como b é o coeficiente de amortecimento v a velocidade do corpo de massa m (no fluido o atrito é proporcional à v ) A equação do movimento amortecido é 01/03/2021 EDO – Equipe IGM um corpo está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso 26

27 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS A função x que satisfaz a equação diferencial: onde Exemplo Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 01/03/2021 EDO – Equipe IGM é

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29 OSCILAÇÕES FORÇADAS É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo. Exemplo A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

30 A amplitude de uma oscilação forçada é onde é a frequência angular natural do oscilador onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador RESSON NCIA Chama-se RESSON NCIA a esse aumento espectacular na amplitude 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

31 Ressonância 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

32 Exemplo 2: Ponte de Tacoma Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte. Foi estabelecida a condição de ressonância ( ) a ponte caiu 01/03/2021 EDO – Equipe IGM

33 Obrigado Equipe IGM igm@igm. mat. br Créditos parciais: Ana Maria Rodrigues Universidade do Algarve 01/03/2021 EDO – Equipe IGM