Bemvindos ao Clculo Clculo Diferencial e Integral No
Bem-vindos ao Cálculo!
Cálculo Diferencial e Integral No século XVII, vários matemáticos, entre eles Isaac Newton e Leibniz trabalhavam na solução de três problemas: • Definição de reta tangente ao gráfico de uma função. • A velocidade instantânea. • Áreas de regiões planas sob o gráfico de uma função. O conjunto das ferramentas matemáticas desenvolvidas por eles nas soluções desses problemas, passaram a ser utilizadas em outras áreas e tornou-se conhecido como Cálculo Diferencial e Integral. O Cálculo Diferencial foi criado pois o homem precisava compreender melhor as taxas instantâneas de mudança, como a taxa conforme a inflação sobe ou desce todo o dia.
As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações práticas: • Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma colônia varia com o tempo. • Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a quantidade de produtos manufaturados. • Um pesquisador na área médica pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria varia com a concentração de álcool na corrente sanguínea. • Medições de variações constantes da corrente elétrica. • Mensuração da variação instantânea da corrente elétrica, num circuito. • Prognóstico de resultados de uma reação química. • Investigação sobre taxa de decrescimento de bactérias em uma cultura. • Cálculo da distância máxima percorrida por um foguete. • Cálculo do fluxo sanguíneo numa artéria. • • Determinação da massa térmica de uma edificação. • Cálculo da expansão de uma mancha de óleo no mar. Estimativa da variação de um tumor na terapia radioativa. Entre os problemas importantes de Cálculo, estão aqueles nos quais a variável independente é o tempo, nos quais faz você pensar sobre alguma quantidade cujos valores variam conforme o tempo passa. Algumas coisas aumentam, outras diminuem. • A distância entre um trem e a estação da qual acabou de partir aumenta de minuto em minuto; a distância entre o mesmo trem e a próxima estação diminui. • As árvores ficam mais altas a cada ano.
O que vamos estudar em Cálculo I?
ü Funções polinomiais do primeiro e segundo grau ü Funções potência ü Funções modulares ü Funções exponenciais ü Funções logarítmicas ü Funções trigonométricas ü Limite de funções reais: definição, interpretação geométrica, limites laterais. Limites no infinito. Cálculo de limites. ü Continuidade de funções reais: definição e estudo em diferentes tipos. ü Derivadas de funções reais: definição, interpretação geométrica e cinemática. Equações de retas tangentes e normais. ü Regras de derivação. Regra da Cadeia, derivadas de ordem superior, derivada implícita. ü Aplicações da derivada: máximos e mínimos relativos e globais, estudo da variação e da concavidade dos gráficos de funções. Construção de gráficos de funções. ü Resolução de problemas. ü Regra de L´Hopital.
Cálculo é mesmo importante?
Apolo 11 Em 20 de julho de 1969, Neil Armstrong e Edwin “Buzz” Aldrin representavam a humanidade em uma ação histórica: pela primeira vez, o homem pisava à Lua. Na época, o mundo inteiro parou pra assistir o momento em que os dois astronautas desceram da nave Apollo 11 para conquistar de vez o nosso satélite natural (veja o vídeo no topo da matéria). Os quase 400 mil quilômetros que separam a Terra da Lua não foram problema para os astronautas. A viagem de ida durou pouco mais de três dias e, desde então, muito se fala sobre a missão, entre curiosidades sobre a passagem dos astronautas até as famigeradas teorias da conspiração. A missão contou com cerca 400 mil profissionais entre Engenheiros, Técnicos e Cientistas, e a decolagem do foguete, teve acompanhamento da imprensa local e
? ! ? o álcul C O Cálculo nos permite traçar planos curvados ou torcidos.
Temperatura média diária Como você calcularia a temperatura média do dia de hoje? Eu somaria a maior temperatura e a menor temperatura e dividiria o resultado por 2! É pouco provável que teu cálculo dê a temperatura média do dia. . . Para calcular a verdadeira temperatura média, devemos medir a temperatura de cada instante ao longo do dia, somar todas essas medições e dividir a soma pela quantidade de instantes.
Com o cálculo, podemos tratar bem qualquer fenômeno que possa ser expresso por meio de uma função. Se expressarmos uma distância percorrida em função do tempo, utilizando o cálculo podemos encontrar, em um instante qualquer, a velocidade ou a aceleração e até a velocidade média. Se expressarmos a área da superfície de uma esfera em função do raio, utilizando o cálculo podemos encontrar o volume de uma esfera de raio r. Se expressarmos a área que podemos focar com os olhos em função do ângulo pelo qual estamos posicionados acima ou abaixo daquilo que estamos olhando, podemos utilizar o cálculo para descobrir a melhor cadeira na qual devemos sentar no cinema. Sem o cálculo, o piloto não teria como saber a que distância do aeroporto ele precisaria começar a descer o avião – pois aviões não descem em linha reta, como nos exercícios que realizamos no Ensino Fundamental e Médio; eles descem em uma curva suave. Você já está convencido da importância do Cálculo?
Pequenos erros de cálculo. . .
Em 1952, começou a operar o primeiro avião comercial a jato, de fabricação inglesa, chamado de Havilland Comet, ou simplesmente, Comet. Fonte: Airliners. net O avião de janelas quadradas Avião Havilland Comet de 1952 com janelas Esse avião possuía 4 turbinas o que proporcionava quadradas uma espantosa velocidade de 725 km/h, mais do que o dobro que se tinha nessa época. A essa velocidade, o avião precisava voar a altas altitudes para evitar grandes turbulências e, por consequência, o interior devia estar pressurizado. O que parecia ser um avanço tecnológico, logo se tornaria numa máquina de tragédias, pois em menos de dois anos, cinco acidentes aéreos com esse modelo de avião ocorreram no mundo. Ao analisar as possíveis causas desses acidentes descobriu-se que um dos principais problemas estava no formato das janelas dos Comet. Elas eram quadradas, o que ocasionava pontos de tensão nas extremidades. Assim, qualquer rachadura ocasionava total desintegração do avião em pleno vôo. A partir dessa descoberta, em todos os modelos de aviões são utilizadas janelas com cantos arredondados para eliminar pontos de tensão e evitar danos na Fonte: http: //parquedaciencia. blogspot. com. br/2014/08/o-ministerio-da-matematica-adverte. html fuselagem do avião.
Em relação ao naufrágio do famoso navio Titanic, muitas são as teorias, sendo que as mais divulgadas são as falhas na segurança, o despreparo da tripulação e, é claro, o azar de bater num iceberg. Entretanto, após estudos, alguns cientistas apontam que um erro de cálculo na construção deste grande navio pode ter sido a grande causa de seu naufrágio. Eles explicam que a embarcação era composta por três hélices a vapor, sendo que as duas externas eram impulsionadas por motores de pistão e a hélice central era acionada por uma turbina a vapor. Na época sabia-se que as hélices movidas a vapor eram mais dinâmicas, embora girassem em apenas uma direção. Aconteceu que, de acordo com relatos, o primeiro oficial do Titanic, quando avistou o iceberg ordenou que toda a força das hélices fosse colocada da direção oposta, mas uma delas continuou girando na mesma direção, embora com menor velocidade. Assim, o cálculo da velocidade associado ao erro de projeto da embarcação ocasionou a batida do navio no iceberg, o naufrágio e a morte de mais de 1 500 pessoas. Fonte: http: //parquedaciencia. blogspot. com. br/2014/08/o-ministerio-da-matematica-adverte. html Fonte: Forbes O “inafundável” navio Titanic
e arena d a r u t r e b o c eiro sobre h n e g n e iz d lo', cálculo na obra do viaduto que desabou na Perícia aponta cálcude e erro d o r r e Desmoronamento de edifício no Pará foi causado por erro no s. r e s e 'Pod o TEM Notícia vista a tre. Horizonte n Avenida Pedro I, em Belo e u e d s o ir e cálculo estrutural, diz laudo da UFPAperícia. h ção de engen rditada para 28/08/2014 e associa rena é inte a e d a r b o Presidente d , o nt 11/02/2014 ameinadequada b a s e d o Concepção estrutural levou ao colapso do prédio quando c Com ris a a d te n e id s re p i, ezancarregamentos aldir Pade estrutura foi submetida a uma combinação elevada V e o ir e h n e g n Arquitetos d Oe e s o ir e h n e g o dos En verticais e horizontais. Fundações Aforam projetadas trevista ao ssociaçãcorretamente disse em en egião, queda da a 14/Março/2011 d Sorocaba e R a s u a c a s que aba TEM Notícia so em Soroc iu lt u m a n re a a. cobertura da de engenhari o rr e r o p o r sid er (SP) pode te ulo, pode s lc á c e d o rr e m e processo d "Pode ser u o n o rr m e também u comenta. fabricação", Um erro de cálculo na quantidade de materiais utilizada na construção do Viaduto Batalha dos Guararapes causou a queda da estrutura na Avenida Pedro I, na Região Norte de Belo Horizonte, no dia 3 de julho. É o que constatou o laudo técnico elaborado pela Instituto de Criminalística da Polícia Civil de Minas Gerais. Outra irregularidade apontada pelo laudo dos peritos é em relação ao tamanho dos blocos. O relatório, no entanto, não encontrou problemas no terreno que fica no entorno do pilar que cedeu, descartando o afundamento do solo como causa do desabamento. A tragédia provocou duas mortes, além de deixar outras 23 pessoas feridas.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. STEWART, James. Cálculo. v. 1, 7ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2014 THOMAS, George B. – Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2005. Biblioteca virtual Pearson. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ÁVILA. Geraldo. Cálculo: funções de uma variável. v. 1. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Paulo: Pearson. 2006. Biblioteca Virtual Pearson. LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 1994. SIMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. v. 1. São Paulo: Mc, 2010. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. São Paulo: Harbra, 1995. Material de Apoio – Net. Aula Calculadora Científica
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