Tema 8 Integrales y sus aplicaciones Empezaremos el

Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Empezaremos el tema con un pequeño guión-índice de los aspectos más importantes que trataremos durante este nuevo tema. Espero que te pueda servir de algo y ante cualquier duda no dudes en consultarme. Nico_es@latinmail. com 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 1

Tema 8: Integrales y sus aplicaciones • Integrales indefinidas – – Primitiva de una función. Integral indefinida. Operaciones en la integral. Método de integración: • • • Integración mediante tabla. Cambio de variable. Integrales definidas – – – Área bajo una curva (Integral definida) Propiedades de la integral definida. Regla de barrow Problemas aplicados. • • 10/31/2020 Área limitada por una función, las rectas x=a, x=b y el eje y. Área limitada por dos funciones y las rectas x=a y x=b. Nicolás Manuel Hdez Rguez 2

Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Propiedades: Integral indefinida Métodos de integración Por integrales inmediatas utilizamos Tabla de integrales inmediatas. 10/31/2020 Cambio de variables Por partes utilizamos Utilizamos la fórmula Regla de la cadena. Nicolás Manuel Hdez Rguez 3

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 4

Tema 8: Primitiva de una función. Notación. • La operación que consiste en obtener f´(x) a partir de la función f(x) se denomina derivación. • La operación inversa a la derivación se denomina integración. Función derivada derivación Primitiva de f(x) integración Diremos por tanto, que una función F es una primitiva de f si y solo sí F´(x)=f(x) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 5

Tema 8: Primitiva de una función. Notación. Veamos algunos ejemplos de la primitiva de una función: Constantes de integración 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 6

Tema 8: Primitiva de una función. Notación. Encuentra las primitivas de la función: Elige las posibles primitivas Indica cual de las primitivas anteriores pasa por el punto (0, 1) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 7

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 8

Tema 8: Integral indefinida. • La integral indefinida de una función f es el conjunto de todos las primitivas de f, y se representa por: • Se lee: - Integral de f(x) diferencial de x - C es un número cualquiera y se denomina constante de integración Ejemplos de aplicación. Halla la integral indefinida de la función. Si queremos calcular la primitiva que pasa por el punto (0, -2) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 9

Tema 8: Integral indefinida. • Ejemplos de aplicación. Halla la integral indefinida de la función. Si queremos calcular la primitiva que pasa por el punto (0, -3) La primitiva que pasa por dicho punto tiene la expresión siguiente: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 10

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 11

Tema 8: Operaciones en la integral indefinida. • Las siguientes propiedades son las que hemos utilizado también en el tema de derivadas. Nota: La integral de un producto y una división no tiene una fórmula para resolverlas. Debemos utilizar uno de los siguientes métodos de integración. • Integración mediante tabla de integrales inmediatas. • Integración por cambio de variable. • Integración por partes. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 12

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 13

Tema 8: Métodos de integración. • En general, el cálculo de una integral indefinida depende del tipo de función que integramos. Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. Veremos, en este curso los siguientes: • Integración mediante tabla de integrales inmediatas. • Integración por cambio de variable. • Integración por partes. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 14

Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas • Consiste en transformar la función dada, mediante la operatoria matemática, en funciones que se encuentran en la siguiente tabla. Tabla de integrales inmediatas 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 15

Tema 8: Utilizando las integrales inmediatas Para ver como se utiliza la tabla de integrales inmediatas, veamos los siguientes ejemplo: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 16

Tema 8: Métodos de integración. • En general, el cálculo de una integral indefinida depende del tipo de función que integramos. Por este motivo, existe una gran variedad de métodos de integración. Veremos, en este curso los siguientes: • Integración mediante tabla de integrales inmediatas. • Integración por cambio de variable. • Integración por partes. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 17

Tema 8: Integración por cambio de variable • Este método consiste en introducir una variable t, que sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se transforme en otra de variable t, más fácil de integrar. • No existe ningún método para utilizar el cambio apropiado, la mejor manera es realizando muchas integrales. Ejemplos de aplicación: a) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 18

Tema 8: Integración por cambio de variable b) c) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 19

Tema 8: Integración por cambio de variable Ejercicio: Practica la integración por cambio de variable realizando los siguientes ejercicios: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 20

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 21

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) El área entre la gráfica de la función f(x) y el eje X en el intervalo [a, b] se designa por: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 22

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) Si la curva está por encima del eje X, la integral es positiva (área positiva). En caso contrario diremos que la integral es negativa. Para entender dicho concepto de área bajo una curva, es decir, una integral definida, veamos los siguientes ejemplos gráficos: Ejemplo 1º. Calcula el área que encierra la curva f(x)=-x/3+1 y el eje x. Para ello, lo primero que vamos a realizar es su representación gráfica. Para ello, utilizando La tabla de valores, se obtiene la gráfica. x 10/31/2020 0 1 3 0 Nicolás Manuel Hdez Rguez 23

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 24

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 25

Tema 8: Área bajo una curva (Integral definida) 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 26

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 27

Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow • Hemos trabajado la idea de aparición del concepto de integral. Veamos ahora, una regla que hemos utilizado ya aunque no la hemos nombrado así como una serie de propiedades que recordaremos de la integral indefinida que también se verifican para la integral definida. • Las propiedades que vamos a utilizar son las siguientes: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 28

Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 29

Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 30

Tema 8: Propiedades. Regla de Barrow • En la práctica, el procedimiento para calcular la integral definida se denomina regla de Barrow (Matemático inglés del silo XVII) • Veamos algunos ejemplos-ejercicios sobre la regla de Barrow en las siguientes páginas. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 31

Tema 8: Ejemplo 1 de la regla de Barrow 1. - Ejemplo de la regla de Barrow: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 32

Tema 8: Ejemplo 2 de la regla de Barrow 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 33

Tema 8: Ejemplo 3 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente X 2+1 -x 0 Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 34

Tema 8: Ejemplo 3 de la regla de Barrow Debemos aplicar la propiedad de las integrales definidas, que nos dice: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 35

Tema 8: Ejemplo 4 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente -x+1 X 2+1 0 Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. Calcula tu el área. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 36

Tema 8: Ejemplo 5 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente x 2+1 -x+1 1 Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular dos áreas distintas para los dos pedazos de funciones. Calcula tu el área. f(x)=x 2+1 f(x)=-x+1 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 37

Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow Calcula la integral siguiente x 2+1 -x+1 2 Observa en la siguiente gráfica, como debemos calcular tres áreas distintas para los dos pedazos de funciones porque tenemos un pedazo que nos queda por debajo del eje de las x (es negativa por tanto). Mira la gráfica siguiente y como lo vamos a calcular y date cuenta de lo importante que es en este caso la representación gráfica. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 38

Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 39

Tema 8: Ejemplo 6 de la regla de Barrow Mira como calculamos el área total de la gráfica a trozos: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 40

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 41

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida Para calcular el área bajo una curva hay que tener en cuenta: 1. La representación gráfica de la función. (rectas y parábolas). 2. La delimitación del recinto cuya área deseamos calcular. 3. Estudio del signo de la función f en el intervalo correspondiente. Este tercer apartado es uno de los más importantes, para ello quiero que observes las siguientes diapositivas 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 42

Tema 8: Cálculo del área de función positiva 1º) Si f es positiva en el intervalo [a, b], es decir, que la zona rayada se encuentre por encima del eje X, el área del recinto se calcula: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 43

Tema 8: Cálculo del área de función positiva Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = -x 2 + 4 x y el eje OX. • Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola convexa porque el coeficiente a = -1<0. Con eso determinamos que la región queremos calcular, después de calcular el vértice y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [0, 3]. • Vemos además que el área es positiva, es decir, la zona rayada se encuentra por encima del eje X. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 44

Tema 8: Cálculo del área de función positiva Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 45

Tema 8: Cálculo del área de función negativa 2º) Si f es negativa en el intervalo [a, b], es decir, que la zona rayada se encuentre por debajo del eje X, el área del recinto se calcula: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 46

Tema 8: Cálculo del área de función negativa Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = x 2 - 4 y el eje OX. • Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola cóncava porque el coeficiente a = 1>0. Con eso determinamos que la región queremos calcular, después de calcular el vértice y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [0, 2]. • Vemos además que el área es negativa, es decir, la zona rayada se encuentra por debajo del eje X. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 47

Tema 8: Cálculo del área de función negativa Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. OJO con el signo 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 48

Tema 8: Problemas aplicados de la integral definida 3º) Si f es cambia de signo en el intervalo [a, b], es decir, que la zona rayada se encuentre por encima y por debajo del eje X, el área del recinto se calcula: Observa que el área A 1 es positiva mientras que el área A 2 es negativa por lo que tenemos que ponerle el menos delante de la integral. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 49

Tema 8: Cálculo del área de función + y Ejemplo de función positiva. Halla el área de la zona limitado por la gráfica de la función f(x) = x 3 -3 x y el eje OX. • Lo primero que debemos hacer es la representación gráfica. Date cuenta que se trata de una parábola doble. Con eso determinamos que la región queremos calcular, después de calcular los vértices y los puntos de corte, está comprendida entre los valores [-3, 3]. • Vemos además que el área es positiva en el intervalo [-3, 0] y negativa en el intervalo [0, 3] , es decir, hay zona rayada por encima y debajo del eje X. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 50

Tema 8: Cálculo del área de función + y Veamos por tanto como se calcula dicha área utilizando para ello la integral definida. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 51

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b Normalmente nos van a pedir el área encerrada entre las dos gráficas de dos funciones f(x) y g(x). Para entender dicho concepto, observa la siguiente figura. Los • • • pasos para resolver este tipo de problemas son los siguientes: Hallamos los puntos de corte de las dos gráficas, es decir. f(x) = g(x) Determinar los valores que entran dentro del intervalo de estudio. Observa los casos que debemos conocer con los siguientes ejemplos. 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 52

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b Ejemplo 1: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = x 2 + x - 2 y g(x) = 2·x Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x) x 2 + x – 2 = 2·x x 2 - x -2 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 2 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de g(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 53

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b Ejemplo 2: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x)=-x 2+1 f(x) = -x 2 +1 y g(x) = x 2 -1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x) -x 2 +1 = x 2 -1 g(x)=x 2 -1 -x 2+1 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 54

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b Ejemplo 3: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = 2 y g(x) = x 2+1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x) 2 = x 2+1 x 2 -1 = 0 Si resolvemos la ecuación de 2º grado obtenemos los valores x = -1 , x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x). Por tanto calculamos la siguiente integral: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 55

Tema 8: Área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y las rectas x=a y x=b Ejemplo 4: Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f(x) = x 3+1 y g(x) = x+1 Lo primero que hacemos es calcular los puntos de corte entre las dos gráficas. f(x) = g(x) x 3+1=x+1 x 3 -x = 0 Si resolvemos la ecuación de 3 er grado obtenemos los valores x = -1, x = 0, x = 1 como podemos ver en la gráfica. Además, la gráfica que está por encima es la de f(x) en el intervalo [-1, 0] y en el intervalo [0, 1] está por debajo. Por tanto calculamos la siguiente integral: 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 56

Tema 8: Integrales y sus aplicaciones Agradecería cualquier sugerencia que pudieras realizar para poder mejorar las explicaciones. Para ello contacta conmigo personalmente o a través del correo. Nico_es@latinmail. com 10/31/2020 Nicolás Manuel Hdez Rguez 57