INTEGRALES IMPROPIAS Y APLICACIONES GEOMETRICAS Y A LA

INTEGRALES IMPROPIAS Y APLICACIONES GEOMETRICAS Y A LA ECONOMIA (VALOR FUTURO DE UN FLUJO PERPETUO Y CONTINUO DE DINERO). Sección 6. 2 HOFFMANN Octava Edición

PROBLEMA DEL AREA BAJO UNA CURVA DE UNA REGIÓN INFINITA ¿Cómo determinar el área de una región infinita? Resp: A través de aproximaciones. . . con áreas rectangulares… y y Y=f(x) A(R) = ? ? a Y=f(x) A(R ) = ? ? N … x a N x

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I Definición: Si f(x) es una función continua para toda x a, entonces Si el límite existe, se dice que la integral impropia converge al valor del límite. Si no existe el limite, se dice que la integral impropia diverge. Nota: Cuando f(x) 0, pata toda x a, se interpreta geométricamente la integral impropia como el área de la región infinita R bajo la curva y = f(x) sobre el intervalo [a, +∞).

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II Definición(1): Si f(x) es una función continua para toda x > a, excepto x = a , donde entonces Si el límite existe, se dice que la integral impropia converge al valor del límite. Si no existe el limite, se dice que la integral impropia diverge. Nota: De forma análoga se definen la integrales impropias: (2) La discontinuidad infinita ocurre en x = b : (3) La discontinuidad infinita ocurre en x = c dentro del intervalo [a, b]:

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO MIXTO Definición(1): Si f(x) es una función continua para toda x > a, excepto x = a, donde entonces

EJEMPLOS (1): EVALÚE LAS SIGUIENTES INTEGRALES IMPROPIAS O DEMUESTRE QUE DIVERGE: diverge converge diverge

EJEMPLOS (2): EVALÚE LA SIGUIENTE INTEGRAL IMPROPIA O DEMUESTRE QUE DIVERGE: CON p l. R. Obsérvese que Pero ademas notese que De manera que el exponente “p” es relevante para saber si converge o diverge. Hagalo ud. !!!

APLICACIONES ADICIONALES DE NEGOCIOS Y ECONOMIA (VALOR FUTURO DE UN FLUJO CONTINUO DE DINERO DURANTE UN PERIODO ESPECIFICO pag. 415 -418 ). Sección 5. 5 y 6. 2 HOFFMANN Octava Edición

Valor Futuro y Valor Presente de un Flujo Continuo de Ingresos (Definiciones) : Definición (1): Suponga que se transfiere un dinero continuamente a una cuenta durante un periodo de tiempo 0 t T, a una tasa dada por la función f(t), y que la cuenta gana intereses a una tasa anual r, capitalizada continua-mente. Entonces el valor futuro, VF, del flujo de ingreso después de T años está dado por la integral definida: Definición (2): El valor Presente , VP, de un flujo de ingresos que se deposita continuamente a la tasa f(t) en una cuenta que gana intereses a una tasa r capitalizada continuamente, durante un plazo de T años, está dado por:

Ejemplos (1): (ej. 27 pág. 424. 8 va ed. ): A la edad de 25 años, Tom empieza a depositar anualmente $2500 en una cuenta individual de retiro que paga interés a una tasa anual de 5% capitalizado continuamente. Suponiendo que sus pagos se hacen como un flujo continuo de ingresos, ¿cuanto dinero habrá en su cuenta si se jubila a la edad de 60 años? ¿cuanto habrá si se jubila a la edad de 65 años? Sol. (1): Ver la pizarra! Usaremos T = duración del período (en anos) Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =2500 $ /año, depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r=5% capitalizada continuamente, tiene un valor futuro dado por: (T = 60 - 25 =35 anos)

Ej. (1): (ej. 27 pág. 424. 8 va ed. ): A la edad de 25 años, Tom empieza a depositar anualmente $2500 en una cuenta individual de retiro que paga interés a una tasa anual de 5% capitalizado continuamente. Suponiendo que sus pagos se hacen como un flujo continuo de ingresos, ¿cuanto dinero habrá en su cuenta si se jubila a la edad de 60 años? ¿cuanto habrá si se jubila a la edad de 65 años? Sol. (1): Ver la pizarra! Usaremos Sol. : Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =2500 $ /año, depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r = 5% capitalizada continuamente, tiene un valor futuro dado por:

Ejemplos (2): (ej. 30 pág. 424. 8 va ed. ): El gerente de una cadena nacional de comida rápida está vendiendo una franquicia de 10 años en Cleveland, Ohio. La experiencia pasada en localidades similares sugiere que dentro de t años la franquicia generará ingresos a una tasa de f(t) = 10. 000 dólares por año. Si la tas de interés anual prevaleciente permanece fija a 4% capitalizada continuamente, ¿cuál es el valor presente de la franquicia? Sol. (2): Ver la pizarra! Usaremos

Solución del Ejemplo(ej. 30 pág. 424. 8 va ed. ): (2): El gerente está vendiendo una franquicia de 10 años. Se sabe que dentro de t años la franquicia generará ingresos a una tasa de f(t) = 10. 000 dólares por año. Además, la tasa de interés anual permanece fija a 4% capitalizada continuamente, ¿cuál es el valor presente de la franquicia? Sol. (2): Ver la pizarra! Usaremos Sol: Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =10. 000 $ /año, depositado durante un término de T=10 años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r = 4% capitalizada continuamente, tiene un valor presente dado por: “El valor presente de la franquicia es de 82. 419, 99 dólares”.

Ejemplo (ej. 5. 5. 3 pág. 417. 8 va ed. ): (3): Jane trata de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta $1. 000 y se espera que genere un flujo continuo de ingresos a una tasa de f 1(t) = 3. 000. e(0, 03. t) dólares por año. La segunda inversión cuesta $4. 000 y se estima genere ingresos a una tasa constante de f 2(t) = 4. 000 dólares por año. Si la tasa de interés anual permanece fija a 5 % capitalizado continuamente durante los proximos 5 años, ¿cuál inversión generará más ingreso neto durante este periodo? Sol. (3): Ingreso neto (actual)= VP – costo inicial. T = 5 (Periodo en años); r = 0. 05 (tasa de inversión anual) 1 era. Inversión: Ingreso neto = VP – costo inicial 2 da. Inversión: Ingreso neto = VP – costo inicial La 2 da inversión genera más ingreso neto durante este periodo que la primera inversión, entonces es mejor inversión.

Ejemplo (4): (ej. 32 pág. 425. 8 va ed. ): Kevin gasta $4000 en una inversión que genera un flujo continuo de ingresos a una tasa f 1(t) = 3000 dólares por año. Su amiga Molly hace una inversión distinta que también genera ingresos continuamente, pero a una tasa de f 2(t) = 2000. e(0, 04. t) dólares por año. La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Si la tasa anual prevaleciente permanece fija a 5% capitalizado continuamente, ¿cuánto pago Molly por su inversión? Sol. (3): (Para estudiar en casa !!!)

Solución del Ejemplo (4): Kevin gasta $4000 en una inversión que genera un flujo continuo de ingresos a una tasa f 1(t) = 3000 dólares por año. Su amiga Molly hace una inversión distinta que también genera ingresos continuamente, pero a una tasa de f 2(t) = 2000. e(0, 04. t) dólares por año. La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Si la tasa anual prevaleciente permanece fija a 5% capitalizado continuamente, cuanto pago Molly por su inversión? Sol. (5): usando que: Ingreso neto = V. P. – costo de inversión Inversión 1: Ingreso neto = Valor – costo inicial = Inversión 1 Presente 1 inversión 1 Inversión 2: Ingreso neto = Valor – costo inicial = Inversión 2 Presente 2 inversión 2

Solución del Ejemplo (4): (Continuación): La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Sol. : esto es, Ingreso neto inversión 1 = Ingreso neto inversión 2 “Molly pagó inicialmente por su inversión 10. 654, 04 dólares aproximadamente”.

* Aplicaciones De Las Integrales Impropias A La Economía (Valor Presente de Una Inversión que genera ingresos perpetuos). Sección 6. 2 (pág. 464) HOFFMANN Octava Edición

Valor Presente De Un Flujo Perpetuo De Ingresos: Ej. (5): Un donante desea otorgar una beca a un colegio local con un regalo que proporcione un flujo continuo de ingresos a razón de 25000 + 1200. t dólares por año a perpetuidad. Suponiendo que la tasa prevaleciente de interés anual permanezca fija a 5 % capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se requiere para financiar la donación? Sol: Un flujo de ingresos f(t) depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r% capitalizada continuamente, tiene valor presente dado por:

Solución Del Ejemplo (5): (continuación) Un donante desea otorgar una beca a un colegio local con un regalo que proporcione un flujo continuo de ingresos a razón de 25000 + 1200. t dólares por año a perpetuidad. Suponiendo que la tasa prevaleciente de interés anual permanezca fija a 5 % capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se requiere para financiar la donación? Sol. : Sin embargo, el valor presente a perpetuidad, Se busca el limite cuando T +∞; esto es, se calcula la integral impropia: Por lo tanto, la Beca se establece con una donación de $ 980. 000.

PENSAMIENTO “Saber qué es lo correcto y no hacerlo es CONFUCIO la peor cobardía” “Sólo la practica continua de lo que se aprende, permite fijar adecuadamente el conocimiento adquirido y lo hace duradero” Anónimo.

Ejercicios: (para hacerlos en casa!!!) Valor Futuro y Valor Presente de un flujo de Ingresos Ejercicio(1): (ej. 1 pág. 432. 6 ta ed. ): Se deposita dinero continuamente en una cuenta a una razón constante de $ 2400 por año. La cuenta genera interés a una tasa anual del 6 % capitalizado continuamente. ¿cuanto dinero habrá en la cuenta al cabo de 5 años? Ver respuesta en el libro texto !! Ejercicio(2): (ej. 4 pág. 433. 6 ta ed. ): La gerencia de una cadena nacional de pizzerías está vendiendo una franquicia de 6 años para su nuevo punto de venta en Orlando, Florida. La experiencia previa en negocios similares señala que dentro de t años la franquicia generará utilidades a una razón de f(t) = 10. 000 +500. t dólares por año. Si la tasa de interés predominante permanece fija en 6% capitalizado continuamente durante los próximos 6 años ¿cuál es el valor presente de la franquicia?