10 Integrales definidas Aplicaciones 1 Clculo de reas

10 Integrales definidas. Aplicaciones 1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo 2. Áreas de recintos planos 3. Integral definida 4. Regla de Barrow 5. Área encerrada bajo una curva 6. Área encerrada por dos curvas www. editex. es Índice del libro

10 Integrales definidas. Aplicaciones 1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo Dividimos el intervalo [0, a] en n partes iguales o subintervalos de amplitud o longitud a/n, como se aprecia en la figura. Sobre cada uno de estos subintervalos construimos dos rectángulos, uno de altura igual a la ordenada del extremo inferior del subintervalo y otro de altura igual a la ordenada del extremo superior. Calculamos la suma de las áreas de estas dos familias de rectángulos, rectángulos superiores (S) y rectángulos inferiores (s). www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo El área A del recinto está comprendida entre s y S: Utilizando la suma de los primeros cuadrados, obtenemos: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo Tomando límites cuando n→+∞, lo cual equivale a tomar infinitos subintervalos, obtenemos: Por tanto, el área del recinto vale www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 2. Áreas de recintos planos Vamos a aplicar el método utilizado por Arquímedes, el método exhaustivo, para calcular el área o superficie del recinto limitado por la gráfica de una función f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b. La función f es continua y definida positiva en el intervalo [a, b]. www. editex. es

10 www. editex. es Integrales definidas. Aplicaciones 2. Áreas de recintos planos

10 Integrales definidas. Aplicaciones 3. Integral definida 3. 1. Propiedades 1. Si los límites de integración son iguales, la integral es nula: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 3. Integral definida 3. 1. Propiedades 2. Si f es definida positiva en [a, b], la integral definida en este intervalo representa el área del recinto correspondiente, y la integral es positiva: Si f es definida negativa en [a, b], el valor opuesto de la integral definida en este intervalo representa el área del recinto correspondiente, y la integral es negativa: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 3. Integral definida 3. 1. Propiedades Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], la integral definida de f en este intervalo representa la suma algebraica de las áreas de los recintos correspondientes. Es decir, la suma de las respectivas integrales definidas, afectadas del signo correspondiente, nos da el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, tal y como podemos ver en la figura: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 3. Integral definida 3. 1. Propiedades 3. Si c es un punto interior al intervalo [a, b], se verifica: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 3. Integral definida 3. 1. Propiedades 4. Al intercambiar los límites de integración, la integral definida cambia de signo: 5. La integral definida de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de las integrales definidas de ambas funciones: 6. Si K es un número real, se verifica: 7. Si f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b], entonces se verifica: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 4. Regla de Barrow Cálculo de integrales definidas www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 5. Área encerrada bajo una curva • Si f es definida positiva en [a, b], el área del recinto correspondiente es: • Si f es definida negativa en [a, b], el área del recinto correspondiente es: www. editex. es

10 Integrales definidas. Aplicaciones 5. Área encerrada bajo una curva • Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], el área del recinto correspondiente es la suma de las integrales definidas afectadas de los respectivos signos: www. editex. es

10 www. editex. es Integrales definidas. Aplicaciones 6. Área encerrada por dos curvas