Aplicaciones de la Derivada El concepto de la

Aplicaciones de la Derivada El concepto de la derivada aplicado en diferentes áreas y situaciones. Sesión 35

n Se ha definido la derivada de una función como el límite de una razón de cambio.

n Hemos estudiado que la pendiente de la recta tangente y la velocidad instantánea son manifestaciones de la misma idea básica y que, debido a ellas, se desarrolló o descubrió el cálculo diferencial, es decir, la derivada.

Pendiente de la Recta Tangente Es decir:

Velocidad Instantánea (Física) v = velocidad s = distancia Es decir: t = tiempo

n n No sólo la pendiente de la recta tangente y la velocidad instantánea son ejemplos de la misma idea básica de la derivada, también el índice de crecimiento de un organismo en Biología, la utilidad marginal en Economía, la densidad de un cable en Física, el índice de difusión de una enfermedad en Medicina, etc. Es decir, la derivada tiene muchas versiones que abarcan todas las ciencias.

Aceleración Instantánea (Física) a = aceleración Es decir: v = velocidad t = tiempo

Razón de Crecimiento de un Cultivo Bacteriano (Microbiología) m = masa t = tiempo Es decir: I. C. = Índice de Crecimiento

Densidad de un cable (Física) d = densidad Es decir: m = masa l = longitud

Ganancia Marginal (Economía) GM = Ganancia Marginal G = Ganancias x = Kilogramos del Producto Es decir:

Índice de Difusión de una Enfermedad (Medicina) ID = Índice de Difusión t = días Es decir: P = personas

Aplicaciones de la derivada: Razones de cambio relacionadas entre sí

Razones Relacionadas n En la derivación implícita se derivó una ecuación que involucraba a x y a y, con y tratada como una función de x. Sin embargo, en algunas aplicaciones donde x y y están relacionadas por una ecuación, ambas variables son funciones de una tercera variable como t (que puede representar el tiempo).

Razones Relacionadas n Cuando se deriva una función de este tipo con respecto a t, se está originando una relación entre las razones de cambio dy/dt y dx/dt. Se dice entonces que éstas derivadas son razones relacionadas. La ecuación que relaciona las razones puede utilizarse para encontrar una de ellas cuando se conoce la otra.

Por ejemplo: n Supongamos que x y y son funciones derivables de t y están relacionas por la ecuación: a) Derive cada término de la ecuación con respecto a t y resuelva la ecuación resultante para. b) Calcule en el tiempo en que

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