Funciones En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con
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![Distancia entre dos puntos de una Recta (d). Distancia de un Punto a una Distancia entre dos puntos de una Recta (d). Distancia de un Punto a una](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-18.jpg)
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![ii) = b 2 - 4 a c=0 , la parábola corta al eje ii) = b 2 - 4 a c=0 , la parábola corta al eje](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-28.jpg)
![FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación : considera Recta Horizontal . Si se FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación : considera Recta Horizontal . Si se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-29.jpg)
![Si en la ecuación se considera : su gráfica es: y x=k : Recta Si en la ecuación se considera : su gráfica es: y x=k : Recta](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-30.jpg)
![FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO +y +x (0 , 0) Simetría con respecto al eje y FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO +y +x (0 , 0) Simetría con respecto al eje y](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-31.jpg)
![FUNCIÓN EXPONENCIAL +y +y y = ax Creciente Decreciente (0 , 1) +x +x FUNCIÓN EXPONENCIAL +y +y y = ax Creciente Decreciente (0 , 1) +x +x](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-32.jpg)
![FUNCIÓN LOGARITMO +y b>1 Creciente +y 0< b <1 Decreciente +x (1, 0) +x FUNCIÓN LOGARITMO +y b>1 Creciente +y 0< b <1 Decreciente +x (1, 0) +x](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-33.jpg)
![FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA +y Creciente +x (0, 0) FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA +y Creciente +x (0, 0)](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-34.jpg)
![FUNCIÓN RECÍPROCA +y Decreciente. (0, 0) +x Decreciente. El nombre de la gráfica es FUNCIÓN RECÍPROCA +y Decreciente. (0, 0) +x Decreciente. El nombre de la gráfica es](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-35.jpg)
![+Y FUNCIÓN : Y=(2/X). D 0 MINIO : R - {0}. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA RANGO: +Y FUNCIÓN : Y=(2/X). D 0 MINIO : R - {0}. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA RANGO:](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-36.jpg)
![FUNCIÓN IDENTIDAD Ejemplo Dominio: Reales. Rango : Reales. Simetría con respecto al origen (Función FUNCIÓN IDENTIDAD Ejemplo Dominio: Reales. Rango : Reales. Simetría con respecto al origen (Función](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-37.jpg)
![FUNCIÓN CÚBICA Ejemplo Dominio : Reales. Rango: Reales. Función Creciente. y=x 3 I Dominio: FUNCIÓN CÚBICA Ejemplo Dominio : Reales. Rango: Reales. Función Creciente. y=x 3 I Dominio:](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-38.jpg)
![FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma : donde P y Q son FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma : donde P y Q son](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-39.jpg)
![Ejemplo. Graficar . Operaciones: Función racional propia Ejemplo Igualando el denominador a cero: x=1 Ejemplo. Graficar . Operaciones: Función racional propia Ejemplo Igualando el denominador a cero: x=1](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-40.jpg)
![Ejemplo. Graficar . Al dividir obtenemos : Decreciente y=2 Decreciente x=1 Ejemplo. Graficar . Al dividir obtenemos : Decreciente y=2 Decreciente x=1](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-41.jpg)
![Ejemplo. Graficar: . Operaciones: Es una función racional impropia. e ci e nt e Ejemplo. Graficar: . Operaciones: Es una función racional impropia. e ci e nt e](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-42.jpg)
![Aplicaciones 1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que Aplicaciones 1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-43.jpg)
![2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se 2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-44.jpg)
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![4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud 4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-46.jpg)
![5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y viceversa 5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y viceversa](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-47.jpg)
![Cálculo de la pendiente : Si la temperatura cambia un grado en la escala Cálculo de la pendiente : Si la temperatura cambia un grado en la escala](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-48.jpg)
![Tabla de Demanda y Curva de Demanda. 6. La tabla muestra las cantidades demandadas Tabla de Demanda y Curva de Demanda. 6. La tabla muestra las cantidades demandadas](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-49.jpg)
![LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-50.jpg)
![7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura 7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-51.jpg)
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-52.jpg)
![Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18. 6 minutos aproximadamente. v Se Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18. 6 minutos aproximadamente. v Se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-53.jpg)
![Química : El p. H de una solución química está dado aproximadamente por la Química : El p. H de una solución química está dado aproximadamente por la](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-54.jpg)
![Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter Es una forma de convertir Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter Es una forma de convertir](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-55.jpg)
![9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0. 01 9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0. 01](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-56.jpg)
![10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8. 9 en la 10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8. 9 en la](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-57.jpg)
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![Funciones En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes Ejemplos Funciones En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-1.jpg)
Funciones En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes. Ejemplos : • En un almacén , a cada producto le corresponde un precio. • Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente en º F. • A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una presión hidrostática. • Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica. • El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo. • EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo. • El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al tiempo. • El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo. • El área de un circulo con el radio.
![INTRODUCCION Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B INTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B ,](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-2.jpg)
INTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B. Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende de otra u otras , o que está determinada por esta (s). Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r” Se lee: “ L es función de r. ” o “ L depende de r. ” Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y su altura (h). Se lee: “ V es función de r y h” o “V depende de r y h”
![Definición Una función de A en B es una relación f С A Definición. Una función de A en B es una relación f С (A ×](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-3.jpg)
Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B) que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo más con un elemento y del conjunto B , denotado por : y= f (x) ε B También se dice que f es una función definida en A y con valores en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único elemento y ε B A • Entrada Función : f ●B Salida Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular. Ésta toma un número (la entrada) y le produce un resultado ( la salida). A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida.
![Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA y al conjunto B Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto B](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-4.jpg)
Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto B de LLEGADA. Notación: f : A x B y=f (x) Se lee “ f es una función de A en B. ” o “ f es una función definida en A y con valores en B. ” La notación y=f (x) se lee: “ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o “ y es la imagen de x mediante f. ” Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f) : Gráfico de la función
![Domino y Rango de una función Dominio Es el conjunto de todos sus primeras Domino y Rango de una función Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-5.jpg)
Domino y Rango de una función Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras componentes o antecedentes de los pares ordenados de f y se le denota por: Rango. Denominado también recorrido de la función f, al conjunto de las segundas componentes (imágenes o consecuentes) de todos los elementos A vía f ; y se le denota por:
![f A B No es una función Es una f A B ● ● ● ● ● No es una función Es una](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-6.jpg)
f A B ● ● ● ● ● No es una función Es una función A f B ● ● ● Es una función ●
![REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA Es una expresión que permite calcular para cualquier su REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA Es una expresión que permite calcular para cualquier su](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-7.jpg)
REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA Es una expresión que permite calcular para cualquier su correspondiente imagen Por ejemplo : en el conjunto de llegada ( regla o ley de correspondencia ) al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor se le llama variable dependiente. Más aún , una función está completamente determinada cuando se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia. Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.
![Ejemplo 1 Sea Si entonces y Ejemplo 2 a Halle el valor Ejemplo 1. Sea Si . , entonces y Ejemplo 2. a) Halle el valor](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-8.jpg)
Ejemplo 1. Sea Si . , entonces y Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación : sea una función. b) Escribe el rango o recorrido.
![Resolución Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-9.jpg)
Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente , para que R sea una función los pares ordenados deben ser iguales , de tal manera que : a) Remplazando , tenemos: b) Ejemplo 3. Dado el conjunto de pares ordenados : a) Halle los valores de a y b para que f sea una función. b) Determine el dominio y el recorrido de f.
![Resolución Por las consideraciones tomadas en el problema anterior entonces se forman las Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema anterior: , entonces se forman las](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-10.jpg)
Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema anterior: , entonces se forman las siguientes ecuaciones : Al resolver las ecuaciones se obtiene : a) Luego la función: b)
![GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Cuando los conjuntos de partida y de llegada A GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN • Cuando los conjuntos de partida y de llegada A](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-11.jpg)
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN • Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL. • Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY), . La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) , mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje de ordenadas).
![Aplicación de A B a Una aplicación es un caso particular de una función Aplicación de A B a) Una aplicación es un caso particular de una función.](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-12.jpg)
Aplicación de A B a) Una aplicación es un caso particular de una función. b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A. c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único elemento y perteneciente al conjunto B , tal que y=f (x) Notación. f es una aplicación de A en B se denota por: donde Dom f =A.
![Ejemplo El conjunto si es una función de A en B pues cada Ejemplo. El conjunto si es una función de A en B , pues cada](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-13.jpg)
Ejemplo. El conjunto si es una función de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una aplicación de A en B, pues : f A B 1 a 2 b 3 c 4 El Rango de la función es: d e
![Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha,](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-14.jpg)
Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
![Reconocimiento de una función geométricamente Reconocimiento de una función geométricamente.](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-15.jpg)
Reconocimiento de una función geométricamente.
![FUNCIÓN LINEAL Ecuación de la Recta FUNCIÓN LINEAL Ecuación de la Recta.](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-16.jpg)
FUNCIÓN LINEAL Ecuación de la Recta.
![PENDIENTE DE UNA RECTA y B A x PENDIENTE DE UNA RECTA y B ● A ● . x](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-17.jpg)
PENDIENTE DE UNA RECTA y B ● A ● . x
![Distancia entre dos puntos de una Recta d Distancia de un Punto a una Distancia entre dos puntos de una Recta (d). Distancia de un Punto a una](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-18.jpg)
Distancia entre dos puntos de una Recta (d). Distancia de un Punto a una Recta. Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0 ● d L
![Ángulo entre dos Rectas Ángulo entre dos Rectas ( ).](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-19.jpg)
Ángulo entre dos Rectas ( ).
![Si las rectas son paralelas Si las rectas son perpendiculares Si las rectas son paralelas: Si las rectas son perpendiculares:](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-20.jpg)
Si las rectas son paralelas: Si las rectas son perpendiculares:
![Proporcionalidad entre segmentos en una Recta P ε al segmento AB y además APr Proporcionalidad entre segmentos en una Recta. P ε al segmento AB y además AP=r](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-21.jpg)
Proporcionalidad entre segmentos en una Recta. P ε al segmento AB y además AP=r PB. B Además utilizando la semejanza de triángulos rectángulos entre ACP y PEB : P A C E D
![Despejando x De la misma manera con y Si r 1 Despejando x : De la misma manera con y : Si r = 1](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-22.jpg)
Despejando x : De la misma manera con y : Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P , corresponden a : ; Por lo tanto: P es punto medio.
![PROBLEMAS 1 Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a PROBLEMAS 1. Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-23.jpg)
PROBLEMAS 1. Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a los puntos dados. i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) Resolución. ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).
![2 Halle la ecuación para cada recta Escribe después su respuesta en la forma 2. Halle la ecuación para cada recta. Escribe después su respuesta en la forma](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-24.jpg)
2. Halle la ecuación para cada recta. Escribe después su respuesta en la forma A x+B y+C=0. i) Pasa por (2, 3) con pendiente 4. ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0. iii) Pasa por (2, -3) y (2, 5). Resolución.
![ii Se conoce la pendiente m 0 y b 5 y la ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-25.jpg)
ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de la recta , entonces : , que es la ecuación de una recta horizontal. Se pide expresarla en la forma: . También se puede usar la forma punto pendiente: Considerando:
![iii iii)](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-26.jpg)
iii)
![FUNCIÓN CUADRÁTICA Y f x a x 2 b x FUNCIÓN CUADRÁTICA Y = f (x) = a x 2 + b x +](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-27.jpg)
FUNCIÓN CUADRÁTICA Y = f (x) = a x 2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠ 0. Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde ( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice de la parábola. a>0 : y parábola Eje de Simetría = b 2 - 4 a c > 0 Corta al eje x en dos puntos (dos raíces reales y diferentes) La ecuación del eje de simetría (recta vertical) , corresponde a : . x x=h Las raíces son x 1 y x 2. El valor mínimo de la función: Ymin= k También : x 2 x 1 h =- (b)/(2 a) = ( x 1+x 2 )/2 ; k = f (h). V V : (h , k) V =Vértice
![ii b 2 4 a c0 la parábola corta al eje ii) = b 2 - 4 a c=0 , la parábola corta al eje](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-28.jpg)
ii) = b 2 - 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un punto (dos raíces reales e iguales). y x X =h iii) =b 2 -4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x. y No existen soluciones reales Existen dos raíces complejas y conjugadas x
![FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación considera Recta Horizontal Si se FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación : considera Recta Horizontal . Si se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-29.jpg)
FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación : considera Recta Horizontal . Si se , su gráfica es : y y=k L x Dominio : Reales Rango : {k}
![Si en la ecuación se considera su gráfica es y xk Recta Si en la ecuación se considera : su gráfica es: y x=k : Recta](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-30.jpg)
Si en la ecuación se considera : su gráfica es: y x=k : Recta Vertical. No es una función. k 90º x L Dominio : { k } Rango : Reales
![FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO y x 0 0 Simetría con respecto al eje y FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO +y +x (0 , 0) Simetría con respecto al eje y](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-31.jpg)
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO +y +x (0 , 0) Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
![FUNCIÓN EXPONENCIAL y y y ax Creciente Decreciente 0 1 x x FUNCIÓN EXPONENCIAL +y +y y = ax Creciente Decreciente (0 , 1) +x +x](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-32.jpg)
FUNCIÓN EXPONENCIAL +y +y y = ax Creciente Decreciente (0 , 1) +x +x Las Gráficas no cortan al eje x
![FUNCIÓN LOGARITMO y b1 Creciente y 0 b 1 Decreciente x 1 0 x FUNCIÓN LOGARITMO +y b>1 Creciente +y 0< b <1 Decreciente +x (1, 0) +x](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-33.jpg)
FUNCIÓN LOGARITMO +y b>1 Creciente +y 0< b <1 Decreciente +x (1, 0) +x
![FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA y Creciente x 0 0 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA +y Creciente +x (0, 0)](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-34.jpg)
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA +y Creciente +x (0, 0)
![FUNCIÓN RECÍPROCA y Decreciente 0 0 x Decreciente El nombre de la gráfica es FUNCIÓN RECÍPROCA +y Decreciente. (0, 0) +x Decreciente. El nombre de la gráfica es](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-35.jpg)
FUNCIÓN RECÍPROCA +y Decreciente. (0, 0) +x Decreciente. El nombre de la gráfica es hipérbola equilátera. No corta al eje x e y. Simetría con respecto al origen : Función impar
![Y FUNCIÓN Y2X D 0 MINIO R 0 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA RANGO +Y FUNCIÓN : Y=(2/X). D 0 MINIO : R - {0}. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA RANGO:](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-36.jpg)
+Y FUNCIÓN : Y=(2/X). D 0 MINIO : R - {0}. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA RANGO: R - {0}. NO CORTA AL EJE X e Y. SIMETRÍA RESPECTO I AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR. SIEMPRE DECRECIENTE. +X I y III : CUADRANTES III X=0 : Asíntota Vertical. Y=0 : Asíntota Horizontal.
![FUNCIÓN IDENTIDAD Ejemplo Dominio Reales Rango Reales Simetría con respecto al origen Función FUNCIÓN IDENTIDAD Ejemplo Dominio: Reales. Rango : Reales. Simetría con respecto al origen (Función](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-37.jpg)
FUNCIÓN IDENTIDAD Ejemplo Dominio: Reales. Rango : Reales. Simetría con respecto al origen (Función Impar). Bisectriz de los cuadrantes Dominio: [-8, 8] Rango : [-8, 8] l y lll. y=x Función Creciente. Siempre pasa por el punto ( 0, 0) l y lll : Cuadrantes l lll
![FUNCIÓN CÚBICA Ejemplo Dominio Reales Rango Reales Función Creciente yx 3 I Dominio FUNCIÓN CÚBICA Ejemplo Dominio : Reales. Rango: Reales. Función Creciente. y=x 3 I Dominio:](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-38.jpg)
FUNCIÓN CÚBICA Ejemplo Dominio : Reales. Rango: Reales. Función Creciente. y=x 3 I Dominio: [-3, 3] Rango : [-27, 27] Simetría con respecto al origen (función impar). I y III: Cuadrantes Pasa por (0, 0). III
![FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma donde P y Q son FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma : donde P y Q son](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-39.jpg)
FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma : donde P y Q son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero. Ejemplos :
![Ejemplo Graficar Operaciones Función racional propia Ejemplo Igualando el denominador a cero x1 Ejemplo. Graficar . Operaciones: Función racional propia Ejemplo Igualando el denominador a cero: x=1](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-40.jpg)
Ejemplo. Graficar . Operaciones: Función racional propia Ejemplo Igualando el denominador a cero: x=1 y x = -1. Dominio: R - { -1 , 1 } x=-1 Decreciente x 2 -1 = 0 , entonces: Decreciente Rango: Reales. Función Decreciente. y=0 Asíntota vertical : x =-1 y x= 1. x=1 Asíntota horizontal: y = 0. Decreciente Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
![Ejemplo Graficar Al dividir obtenemos Decreciente y2 Decreciente x1 Ejemplo. Graficar . Al dividir obtenemos : Decreciente y=2 Decreciente x=1](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-41.jpg)
Ejemplo. Graficar . Al dividir obtenemos : Decreciente y=2 Decreciente x=1
![Ejemplo Graficar Operaciones Es una función racional impropia e ci e nt e Ejemplo. Graficar: . Operaciones: Es una función racional impropia. e ci e nt e](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-42.jpg)
Ejemplo. Graficar: . Operaciones: Es una función racional impropia. e ci e nt e Cr 1 x= y x=-1 e e Cr Decreciente nt e ci
![Aplicaciones 1 Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que Aplicaciones 1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-43.jpg)
Aplicaciones 1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba. Gráfico : rapidez vs tiempo t (s) v (m/s) 0 30 1 20 2 10 3 0 4 10 5 20 6 30
![2 Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se 2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-44.jpg)
2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba. Gráfico : Velocidad vs Tiempo V t (s) t v (m/s) 0 30 1 20 2 10 3 0 4 -10 5 -20 6 -30
![3 Mitosis división celular en el cuerpo humano Gráfico Población vs 3. Mitosis ( división celular en el cuerpo humano ). Gráfico : Población vs](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-45.jpg)
3. Mitosis ( división celular en el cuerpo humano ). Gráfico : Población vs Tiempo. P t t ( min ) P 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64
![4 La vida media del berilio 11 es de 14 segundos Digamos que Ud 4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-46.jpg)
4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud comenzó con 16 g. Espere 14 segundos y le quedarán 8 g ; el resto se habrá desintegrado en Boro 11. Espere otros 14 segundos y le quedarán 4 g y así sucesivamente ( ver tabla ) Gráfico : Masa vs Tiempo. t(s) t M 0 16 14 8 28 4 42 2 56 1 70 0. 5 84 0. 25
![5 Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y viceversa 5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y viceversa](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-47.jpg)
5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y viceversa ( relación entre º C Y º K ). Gráfico: ºk vs º C ºk ºC ºC ºK 0 273 100 373
![Cálculo de la pendiente Si la temperatura cambia un grado en la escala Cálculo de la pendiente : Si la temperatura cambia un grado en la escala](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-48.jpg)
Cálculo de la pendiente : Si la temperatura cambia un grado en la escala Celsius , entonces en la escala Kelvin cambiará también un grado. Se conoce al menos un punto y la pendiente : entonces: ,
![Tabla de Demanda y Curva de Demanda 6 La tabla muestra las cantidades demandadas Tabla de Demanda y Curva de Demanda. 6. La tabla muestra las cantidades demandadas](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-49.jpg)
Tabla de Demanda y Curva de Demanda. 6. La tabla muestra las cantidades demandadas de un bien para cada precio diferente. Gráfico : Precio vs Cantidad Precio 10 1 8 2 6 3 4 4 2 5 C v La curva de demanda representa gráficamente la relación entre cantidad demandada de un bien y su precio.
![LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-50.jpg)
LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON Establece que la temperatura de un objeto caliente disminuye en forma exponencial con el tiempo hacia la temperatura del medio ambiente , mediante la siguiente expresión :
![7 Un objeto caliente a 100C se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura 7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-51.jpg)
7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura del aire es de 30°C. Si la temperatura del objeto es de 80°C después de 5 minutos , ¿ en qué momento llegará a 50° C. Resolución. Datos :
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-52.jpg)
![Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18 6 minutos aproximadamente v Se Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18. 6 minutos aproximadamente. v Se](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-53.jpg)
Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18. 6 minutos aproximadamente. v Se puede utilizar un programa o la GDC para comprobar lo desarrollado anteriormente.
![Química El p H de una solución química está dado aproximadamente por la Química : El p. H de una solución química está dado aproximadamente por la](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-54.jpg)
Química : El p. H de una solución química está dado aproximadamente por la fórmula: donde es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Los valores de p. H varían de 0 (ácido) a 14 alcalino. 8. a) Determine el p. H del agua en un recipiente de 1 litro , con 0. 0000001 moles de iones de hidrógeno. b) Determine la concentración de iones de hidrógeno en una solución semiácida con un p. H 4. 2. Resolución.
![Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter Es una forma de convertir Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter Es una forma de convertir](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-55.jpg)
Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter Es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que proporcionen una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. La escala que se utiliza es logarítmica. Todos los terremotos se comparan con un terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica mide 0. 001 mm a una distancia de 100 Km del epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x mm tiene una magnitud M (x) dada por : x 0 =10 -3 mm , lectura de terremoto de nivel cero a 100 km de distancia
![9 Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0 01 9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0. 01](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-56.jpg)
9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es 0. 01 mm a una distancia de 100 km del epicentro? . Resolución. X = 0. 1 mm , x 0 = 0. 001 mm , M ( x= 0. 1 ) = ? ? El terremoto mide 2. 0 en la escala Richter y es 100 veces más intenso que el de nivel cero.
![10 El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8 9 en la 10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8. 9 en la](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-57.jpg)
10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8. 9 en la escala Richter. ¿ Cómo se compara ese terremoto con el de Papúa , Nueva Guinea 1988 , midió 6. 7 en la misma escala. Rp. El terremoto de San Francisco fue 182 veces más intenso que el terremoto de Papúa , Nueva Guinea.
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-58.jpg)
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/43882a2364f43a5cf78df600af82dfbb/image-59.jpg)
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