INTEGRALES reas y Distancias El problema del clculo

INTEGRALES Áreas y Distancias El problema del cálculo de área Encontrar el área S que está debajo de la curva y = f(x) y sobre el eje de las x, de a a b.

INTEGRALES A≈R 4 A≈L 4

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INTEGRALES El problema de la distancia La distancia aproximada recorrida en los primeros 5 segundos es: La distancia recorrida de t=5 a t=10 es aproximadamente: De tal forma que la distancia aproximada en todo el recorrido es:

INTEGRALES

INTEGRALES DEFINIDAS Nota 1: El símbolo ʃ es el símbolo de integración. Nota 2: f(x) es llamado el integrando y a, b son los límites de integración. Nota 3: dx indica (por el momento) que la variable independiente es x. Nota 4: es un número; no depende de x. De hecho se podría haber escrito Nota 5: es llamada suma de Riemann.

INTEGRALES DEFINIDAS Donde A 1 es el área sobre el eje de las x y debajo de f(x) y A 2 es el área debajo del eje de las x y por arriba de f(x).

INTEGRALES DEFINIDAS En general, cuando escribimos: Remplazamos

INTEGRALES DEFINIDAS Evaluando integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRALES DEFINIDAS Propiedades de la Integral Definida Propiedad 2 Propiedad 3

INTEGRALES DEFINIDAS Propiedad 8

INTEGRALES DEFINIDAS Teorema fundamental del cálculo Para establecer este teorema es necesario la siguiente función: Donde f es una función continua y x varia de [a, b]. Observe que g es una función de x.

INTEGRALES DEFINIDAS Si tomamos f(t) = t y a = 0, utilizando el ejercicio visto en clase, tenemos: Un demostración intuitiva

INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO Integrales Indefinidas Integrales Definidas

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO Aplicaciones

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN No hay regla directa que nos proporcione al integral de la siguiente expresión: Suponga que hacemos una sustitución (cambio de variable): u=1 + x 2, y definimos la du = 2 x dx. Comprobando el resultado, se tiene: En general este método funciona siempre que se tenga que si F’=f, entonces Y por la regla de la cadena se obtiene: . Observe

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN Haciendo el cambio de variable u =g(x): O si escribimos F’=f

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN Integrales definidas

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN Prueba: Si hacemos u = -x Hacer ejemplo 10 y 11 p. 406