Statistika Predavanje 8 Statistiko ocjenjivanje Statistika predavanje 8

Statistika Predavanje 8 Statističko ocjenjivanje Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Fokus predavanja § Konstruisati i interpretirati intervale povjerenja za aritmetičku sredinu i proporcije § Određivanje veličine uzorka Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Intervali povjerenja § Interval povjerenja aritmetičke sredine, μ § Kada je standardna devijacija populacije σ poznata § Kada standardna devijacija populacije σ nije poznata § Interval povjerenja proporcije populacije, p § Određivanje potrebne veličine uzorka Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Tačkasta i intervalna ocjena § Tačkasta ocjena je jedan broj, § Interval povjerenja (pouzdanosti) daje dodatne informacije o varijabilnosti ocjene Donja granica intervala Tačkasta ocjena Gornja granica intervala Širina intervala povjerenja Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Tačkaste ocjene Možemo ocijeniti parametar populacije … Aritmetička sredina Proporcija Statistika – predavanje 8 na osnovu statistike uzorka (tačkasta ocjena) μ X π p 30. 03. 2020.

Intervali povjerenja § Kolika neizvjesnost prati tačkastu ocjenu parametra populacije? § Interval ocjene daje više informacija o karakteristikama populacije od tačkaste ocjene § Takvi intervali ocjene nazivaju se intervali povjerenja (ili pouzdanosti) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Interval povjerenja ocjene § Interval daje opseg vrijednosti: § Uzima u obzir varijacije statistika uzorka od uzorka do uzorka § Bazira se na opservacijama iz 1 uzorka § Daje informaciju o približnoj vrijednosti nepoznatog parametra populacije § Izražen preko nivoa (stepena) pouzdanosti § Nikad ne može biti 100% pouzdan Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Proces ocjenjivanja Slučajan uzorak Populacija (aritmetička sredina, μ, nije poznata) Sredina X = 50 Ja sam 95% siguran da je μ između 40 & 60. Uzorak Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Opšta formula § Opšta formula za sve intervale povjerenja je: Tačkasta ocjena ± (Kritična vrijednost)(Standardna greška) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Nivo pouzdanosti § Pouzdanost sa kojom interval sadrži nepoznati parametar populacije § U procentima (manje od 100%) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Nivo pouzdanosti, (1 - ) (nastavak) § Pretpostavimo nivo pouzdanosti = 95% § Zapisuje se i kao (1 - ) = 0. 95 § Interpretacija: § Na dugi rok, 95% svih intervala pouzdanosti koji se mogu konstruisati sadržaće nepoznati pravi parametar § Određeni interval može da sadrži ili može da ne sadrži pravi parametar § Vjerovatnoća nije uključena kod specifičnog intervala Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Intervali pouzdanosti Sredina populacije σ poznata Statistika – predavanje 8 Proporcija populacije σ nepoznata 30. 03. 2020.

Interval povjerenja μ (σ poznata) § Pretpostavke § Standardna devijacija populacije σ je poznata § Populacija je normalno raspoređena § Ako populacija nije normalna, koristiti veliki uzorak § Interval povjerenja ocjene: gdje je tačkasta ocjena Z je kritična distribucija normalne distribucije za vjerovatnoću /2 dvostrano je standardna greška Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje kritične vrijednosti, Z § Posmatrajte 95% interval povjerenja: Z jedinice: X jedinice: Statistika – predavanje 8 Z= -1. 96 Donja granica pouzdanosti 0 Tačkasta ocjena Z= 1. 96 Gornja granica pouzdanosti 30. 03. 2020.

Često korišćeni nivoi pouzdanosti § Najčešće se koriste nivoi pouzdanosti od 90%, 95% i 99% Nivo pouzdanosti 80% 95% 98% 99. 9% Statistika – predavanje 8 Koeficijent pouzdanosti, 0. 80 0. 95 0. 98 0. 998 0. 999 Z vrijednost 1. 28 1. 645 1. 96 2. 33 2. 58 3. 08 3. 27 30. 03. 2020.

Intervali i nivo pouzdanosti Uzoračka distribucija aritmetičke sredine x Interval obuhvata x 1 x 2 do Intervali pouzdanosti Statistika – predavanje 8 (1 - )x 100% od konstruisanog intervala sadrži μ; ( )x 100% ne sadrži. Chap 8 -16

Primjer § Uzorak od 11 elektro kola odabran je iz velike normalne populacije i ima prosječan otpor od 2. 20 oma. Na osnovu prethodnih testova poznato je da populacija ima standardnu devijaciju 0. 35 oma. § Odredi interval povjerenja od 95% za prosječni otpor populacije. Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer (nastavak) § Rešenje: Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Interpretacija § Sa pouzdanošću od 95% prava aritmetička sredina otpora je između 1. 9932 i 2. 4068 oma § Iako prava aritmetička sredina može ali ne mora da bude u ovom interalu, 95% intervala određenih na ovaj način sadržaće pravu sredinu Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Intervali povjerenja Sredina populacije σ poznata Statistika – predavanje 8 Proporcija populacije σ nepoznata 30. 03. 2020.

Interval povjerenja za μ (σ nije poznata) § Ukoliko standardna devijacije populacije σ nije poznata, zamjenjujemo je standardnom devijacijom uzorka, S § To povećava neizvjesnost, pošto S varira od uzorka do uzorka § Tada se koristi t distribucija umjesto normalne distribucije Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Interval povjerenja za μ (σ nije poznata) (nastavak) § Pretpostavke § Standardna devijacija populacije nije poznata § Populacija ima normalnu distribuciju § Ukoliko populacija nije normalna, koristiti veliki uzorak § Koristiti Studentovu t distribuciju § Interval povjerenja: (gdje je t kritična vrijednost t distribucije za (n -1) stepen slobode i α prag značajnosti) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Studentova t distribucija § Studentova t distribucija predstavlja porodicu distribucija § t vrijednost zavisi od stepeni slobode (s. s. ) § Broj nezvisnih vrijednosti (opservacija) u uzorku, umanjen za broj ogranjičenja koja se nameću ovim vrijednostima s. s. = n - 1 Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Stepeni slobode (s. s. ) Ideja: Broj opservacija koje mogu varirati nakon što se izračuna aritmetička sredina uzorka Primjer: Pretpostavimo da je sredina tri broja 8. 0 Neka je X 1 = 7 Neka je X 2 = 8 Koliko je X 3? Ako je sredina ove tri vrijednosti 8. 0, onda X 3 mora biti 9 (tj. X 3 ne može da varira) Ovdje, n = 3, pa je broj stepeni slobode = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 vrijednosti mogu biti bilo koje, ali treća vrijednost ne može varirati za datu sredinu) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Studentova t distribucija Primijetite da: t Z kako n raste Standardna normalna (t sa s. s. = ∞) t (s. s. = 13) t-distribucija ima oblik zvona i simetrična je, ali je spljoštenija, ima ‘deblje’ repove od normalne t (s. s. = 5) 0 Statistika – predavanje 8 t 30. 03. 2020.

Studentove t tablice Površina desnog repa ss . 25 . 10 . 05 1 1. 000 3. 078 6. 314 Neka je: n = 3 ss = n - 1 = 2 = 0. 10 /2 = 0. 05 2 0. 817 1. 886 2. 920 /2 = 0. 05 3 0. 765 1. 638 2. 353 Polja ove tabele sadrže t vrijednosti, a ne vjerovatnoće Statistika – predavanje 8 0 2. 920 t 30. 03. 2020.

Vrijednosti t distribucije U poređenju sa Z vrijednostima Nivo t pouzdanosti (10 s. s. ) t (20 s. s. ) t (30 s. s. ) Z ____ 0. 80 1. 372 1. 325 1. 310 1. 28 0. 90 1. 812 1. 725 1. 697 1. 645 0. 95 2. 228 2. 086 2. 042 1. 96 0. 99 3. 169 2. 845 2. 750 2. 58 Zapazite: t Statistika – predavanje 8 Z ako se n povećava 30. 03. 2020.

Primjer Slučajni uzorak od n = 25 ima X = 50 i S = 8. Odredi interval povjerenja od 95% za μ § s. s. = n – 1 = 24, pa Interval povjerenja je 46. 698 ≤ μ ≤ 53. 302 Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Intervali povjerenja Sredina populacije σ poznata Statistika – predavanje 8 Proporcija populacije σ nije poznata 30. 03. 2020.

Intervali povjerenja za proporciju populacije, π (nastavak) § Distribucija proporcije iz uzorka aproksimira normalni raspored ako je uzorak veliki, sa standardnom devijacijom § Ona se ocjenjuje na podacima iz uzorka: Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Granice intervala povjerenja § Gornja i donja granica intervala povjerenja za proporciju populacije računaju se pomoću formule § gdje je § Z standardna normalna vrijednost za željeni nivo pouzdanosti § p proporcija uzorka § n veličina uzorka Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer § U slučajnom uzorku od 100 ljudi ima 25 ljevaka. § Odredi interval povjerenja pouzdanosti 95% za pravu proporciju ljevaka. Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer § Rešenje: Statistika – predavanje 8 (nastavak) 30. 03. 2020.

Interpretacija § Sa 95% pouzdanosti očekujemo da pravi procenat ljevaka u populaciji bude u intervalu 16. 51% do 33. 49%. § Iako se može desiti da interval (0. 1651; 0. 3349)sadrži ili ne sadrži pravu proporciju, 95% intervala formiranih na ovaj način od uzoraka veličine 100 sadržaće pravu proporciju. Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka Za sredinu Statistika – predavanje 8 Za proporciju 30. 03. 2020.

Greška uzorka § Potrebna veličina uzorka može se odrediti tako da se postigne greška uzorka (e) sa određenim nivoom pouzdanosti (1 - ) § Greška uzorka § Nepreciznost u ocjeni parametra populacije § Veličina koja se dodaje i oduzima od tačkaste ocjene da bi se odredio interval povjerenja Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka Za sredinu Statistika – predavanje 8 Greška uzorka 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka (nastavak) Određivanje veličine uzorka Za sredinu Riješiti po n da se dobije Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka (nastavak) § Da bi se odredila potrebna veličina uzorka za kalkulisanje sredine, mora se znati: § Željeni nivo pouzdanosti (1 - ), koji determiniše kritičnu Z vrijednost § Prihvatljiva greška uzorka, e § Standardna devijacija, σ Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer Ako je = 45, koliki uzorak je potreban da bi se ocijenila aritmetička sredina sa dopuštenom greškom ± 5 sa 90% pouzdanosti? Dakle, potrebno je da uzorak ima veličinu n = 220 (Uvijek se zaokružuje na cijeli broj) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Ako je σ nepoznata § Ako σ nije poznata, može se ocijeniti koristeći formulu za veličinu uzorka § Koristiti vrijednost σ za koju se očekuje da bude makar koliko i prava σ § Odabrati pilot uzorak i ocijeniti σ koristeći standardnu devijaciju uzorka, S Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka (nastavak) Određivanje veličine uzorka Za proporciju Riješiti po n da se dobije Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Određivanje veličine uzorka (nastavak) § Za determinisanje potrebne veličine uzorka za ocjenjivanje proporcije, mora se znati: § Željeni nivo pouzdanosti (1 - ), koji determiniše kritičnu Z vrijednost § Greška uzorka koja se toleriše, e § Prava proporcija “uspjeha”, π § π se može ocijeniti na osnovu pilot uzorka, ili primijeniti konzervativni pristup i koristiti π = 0. 5 Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer Koliki uzorak je potreban da bi se ocijenila prava proporcija neispravnih proizvoda u velikoj populaciji sa prihvatljivom greškom od ± 3%, sa 95% pouzdanosti? (Pretpostavimo da je pilot istraživanje dalo p = 0. 12) Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Primjer (nastavak) Rešenje: Za 95% pouzdanosti Z = 1. 96 e = 0. 03 p = 0. 12, pa se koristi kao ocjena za π Potreban je uzorak veličine n = 451 Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Etička pitanja § Intervale povjerenja za ocjene parametara uvijek bi trebalo odrediti i navesti kada se izvještava o tačkastoj ocjeni § Uvijek treba navesti nivo pouzdanosti sa kojim se radi § Treba informisati i o veličini uzorka § Trebalo bi obezbijediti tumačenje - interpretaciju Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.

Rezime § § § § Koncept intervala povjerenja Diskusija o tačkastoj ocjeni Konstruisanje intervala povjerenja Intervali povjerenja za sredinu kada je σ poznata Intervali povjerenja za sredinu σ nije poznata Interval povjerenja za proporciju Determinisanje potrebne veličine uzorka za ocjenu sredine i populacije Statistika – predavanje 8 30. 03. 2020.