Statistika Predavanje 9 Testiranje hipoteza Statistika predavanje 9

Statistika Predavanje 9 Testiranje hipoteza Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020. i 13/15. 03. 2020.

Fokus predavanja § Osnovni principi testiranja hipoteza § Testiranje hipoteza o aritmetičkoj sredini i proporciji § Procedura i pretpostavke u testiranju hipoteza, § Kako izbjeći greške u testiranju hipoteza § Etička pitanja Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Šta je hipoteza? § Hipoteza je tvrdnja (pretpostavka) o parametru populacije: § sredina populacije Primjer: Prosječni mjesečni račun za mobilni telefon u gradu je μ = 42 € § proporcija populacije Primjer: Proporcija odraslih u gradu koji imaju mobilni telefon je π = 0. 68 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Nulta hipoteza, H 0 § Tvrdnja ili pretpostavka koju treba testirati Primjer: Prosječan broj TV aparata u gradskom domaćinstvu je ( ) § Uvijek je o parametru populacije, nikad o statistici uzorka Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Nulta hipoteza, H 0 (nastavak) § Polazi se od pretpostavke da je nulta hipoteza istinita § Slično kao u pravu “nevin dok se ne dokaže da je kriv” § Odnosi se na status quo § Uvijek sadrži znak “=” , “≤” ili “ ” § Može ali ne mora da bude odbačena Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Alternativna hipoteza, H 1 § Suprotna nultoj hipotezi § npr. , Prosječan broj TV aparata u gradskim domaćinstvima nije jednak 3 ( H 1: μ ≠ 3 ) § Dovodi u pitanje status quo § Nikad ne sadrži znak “=” , “≤” ili “ ” § Može ili ne biti dokazana § Obično je to hipoteza koju istraživač pokušava da dokaže Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Proces testiranja hipoteza Tvrdnja: prosječna starost populacije je 50. (Nulta hipoteza: H 0: μ = 50 ) Je li X= 20 ako je Ako ne, Odbaci nultu hipotezu Statistika – predavanje 9 Populacija Odabira se slučajni uzorak μ = 50? Pretpostavimo da je u uzorku prosječna starost 20: X = 20 Uzorak

Razlog za odbacivanje H 0 Distribucija iz uzoraka za X 20 Ako nije vjerovatno da ćemo dobiti ovu vrijednost prosjeka u uzorku. . . Statistika – predavanje 9 μ = 50 Ako je H 0 tačno . . . ako je u stvari ovo sredina za populaciju… X . . . onda odbacujemo nultu hipotezu da je μ = 50. 6/8. 03. 2020.

Nivo značajnosti, § Definiše malo vjerovatne vrijednosti statistike testa ako je nulta hipoteza tačna § Definiše oblast odbacivanja nulte hipoteze § Označava se sa , (nivo signifikantnosti) § Tipično ima vrijednosti 0. 01, 0. 05, ili 0. 10 § Određuje ga istraživač na početku § Daje kritičnu vrijednost za test Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Nivo signifikantnosti i oblast odbacivanja H 0 Nivo signifikantnosti = H 0: μ = 3 H 1: μ ≠ 3 H 0: μ ≤ 3 H 1: μ > 3 Reprezentuje kritičnu vrijednost /2 Dvostrani test /2 Oblast odbacivanja je osjenčena 0 Jednosmjerni desni test H 0: μ ≥ 3 H 1: μ < 3 0 Jednosmjerni lijevi test Statistika – predavanje 9 0 6/8. 03. 2020.

Greške u odlučivanju o H 0 § Greška I tipa § Odbaciti istinitu (tačnu) nultu hipotezu § Predstavlja ozbiljan tip greške Vjerovatnoća greške I tipa je § Naziva se nivo signifikantnosti (značajnosti) testa § Istraživač unaprijed određuje Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Greške u odlučivanju o H 0 (nastavak) § Greška II tipa § Ne odbacuje se netačna nulta hipoteza Vjerovatnoća greške II tipa je β Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Ishodi i vjerovatnoće Mogući ishodi testiranja hipoteze Stvarna situacija Odluka H 0 Tačna H 0 Netačna Ne Pravilna Greška II tipa odbacujemo odluka Ishodi (β) (1 ) H 0 (Vjerovatnoća) Odbacujemo Greška I tipa Pravilna odluka H 0 ( ) (1 -β) Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Relacije između greške I & II tipa § Greška I i greška II tipa ne mogu se dogoditi u isto vrijeme § Greška I tipa može se desiti samo ako je H 0 tačna (istinita) Greška II tipa može se desiti samo ako je H 0 netačna (neistinita) § Ako vjerovatnoća greške I tipa ( ) , onda vjerovatnoća greške II tipa ( β ) Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Faktori koji utiču na grešku II tipa § Ako je sve ostalo isto, § β kada se razlika između vrijednosti parametra u hipotezi i njegove prave vrijednosti § β kada σ § β kada n Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Testiranje hipoteza o ar. sredini Testiranje hipoteza o poznata (Z test) Statistika – predavanje 9 nije poznata (t test) 6/8. 03. 2020.

Z test - testiranje hipoteza o ar. sredini (σ poznata) § Pretvori statistiku uzorka ( X ) u Z test statistiku Testiranje hipoteze o σpoznata Known (Z test) nije σ Unknown poznata (t test) Test statistika je: Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Kritična vrijednost u testiranju § Za dvosmjerni test o aritmetičkoj sredini kad je σ poznata: § Pretvori statistiku iz uzorka ( (Z statistika) ) u statistiku testa § Odredi kritičnu Z vrijednost za željeni nivo značajnosti (iz tablica ili pomoću kompjutera) § Pravilo za odluku: Ako statistika testa pada u oblast odbacivanja, odbaci H 0; u ostalim slučajevima ne odbacuj H 0 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Dvosmjerni testovi § Dvije kritične vrijednosti, definišu oblasti odbacivanja H 0: μ = 3 H 1: μ ¹ 3 /2 X 3 Odbaci H 0 -Z Donja kritična vrijednost Statistika – predavanje 9 Ne odbacuj H 0 0 Odbaci H 0 +Z Z Gornja kritična vrijednost 6/8. 03. 2020.

6 koraka u testiranju hipoteza 1. Formulisanje nulte hipoteze, H 0 i alternativne hipoteze, H 1 2. Izbor nivoa značajnosti, , i veličine uzorka, n 3. Determinisanje odgovarajuće statistike testa i njenog rasporeda vjerovatnoće 4. Određivanje kritičnih vrijednosti koje razdvajaju oblasti odbacivanja i ne-odbacivanja H 0 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

6 koraka u testiranju hipoteza (nastavak) 5. Prikupljanje podataka (kreiranje uzorka) i izračunavanje vrijednosti statistike testa 6. Statistička odluka i zaključak o nultoj hipotezi. Ako statistika testa pada u oblast neodbacivanja, ne odbacuje se H 0. Ako statistika testa pada u oblast odbacivanja, odbacuje se H 0. Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Testiranje hipoteza - primjer Testiraj tvrdnju da je pravi prosječan # TV aparata u gradskim domaćinstvima jednak 3. (Pretpostavimo da je σ = 0. 8) 1. Formuliši odgovarajuću nultu i alternativnu hipotezu § H 0: μ = 3 H 1: μ ≠ 3 (Ovo je dvosmjerni test) 2. Specificiraj željeni nivo značajnosti i veličinu uzorka § Neka je = 0. 05 i n = 100 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Testiranje hipoteza - primjer (nastavak) 3. Odredi odgovarajući tip testa § σ je poznata pa se koristi Z test. 4. Odredi kritične vrijednosti § Za = 0. 05 kritične Z vrijednsoti su ± 1. 96 5. Prikupi podatke i izračunaj statistiku testa § Pretpostavimo da su iz uzorka dobijeni rezultati n = 100, X = 2. 84 (σ = 0. 8 je već poznata) Dakle vrijednost statistike testa je: Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

Testiranje hipoteza - primjer (nastavak) § 6. Da li je statistika testa u oblasti odbacivanja? = 0. 05/2 Odbaci H 0 ako je Z < -1. 96 ili Z > 1. 96; inače ne odbacuj H 0 Statistika – predavanje 9 Odbaci H 0 -Z= -1. 96 = 0. 05/2 Ne odbacuj H 0 0 Odbaci H 0 +Z= +1. 96 U primjeru, Z = -2. 0 < -1. 96, pa je statistika testa u oblasti odbacivanja 6/8. 03. 2020.

Testiranje hipoteza - primjer (nastavak) 6(nastavak). Odluka i interpretacija rezultata = 0. 05/2 Odbaci H 0 -Z= -1. 96 = 0. 05/2 Ne odbacuj H 0 0 Odbaci H 0 +Z= +1. 96 -2. 0 Pošto je Z = -2. 0 < -1. 96, odbacujemo nultu hipotezu i zaključujemo da ima dovoljno dokaza da prosječan broj TV aparat u gradskim domaćinstvima nije jednak 3 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

p-vrijednost § p-vrijednosti: Vjerovatnoća da statistika uzorka odstupa od pretpostavljene vrijednosti parametra u smjeru alternativne hipoteze, barem kao i realizovana vrijednost statistike izabranog uzorka, kada je H 0 istinita. § Naziva se i realizovani nivo značajnosti § Najmanja vrijednost za koju se H 0 može odbaciti Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

p-vrijednost (nastavak) § Pretvori statistiku uzorka (npr. , X ) u statistiku testa (npr. , Z statistiku ) § Dobij p-vrijednost iz tablice ili kompjutera § Uporedi p-vrijednost sa § Ako je p-vrijednost < , odbaci H 0 § Ako je p-vrijednost , ne odbacuj H 0 Statistika – predavanje 9 6/8. 03. 2020.

p-vrijednost - primjer § Primjer: Kolika je p-vrijednost ako je aritmetička sredina uzorka 2. 84, pod pretpostavkom da je prava sredina = 3. 0? X = 2. 84 se preračuna u Z vrijednost Z = -2. 0 /2 = 0. 025 0. 0228 p-vrijednost = 0. 0228 + 0. 0228 = 0. 0456 Statistika – predavanje 9 -1. 96 -2. 0 0 1. 96 2. 0 Z 6/8. 03. 2020.

p-vrijednosti - primjer (nastavak) § Uporedi p-vrijednost sa § Ako je p-vrijednost < , odbaci H 0 § Ako je p-vrijednost , ne odbacuj H 0 Ovdje: p-value=0. 0456 = 0. 05 Pošto je 0. 0456 < 0. 05, odbacujemo nultu hipotezu /2 = 0. 025 0. 0228 -1. 96 -2. 0 Statistika – predavanje 9 /2 = 0. 025 0 1. 96 2. 0 Z 6/8. 03. 2020.

Veza sa intervalima povjerenja § Za X = 2. 84, σ = 0. 8 i n = 100, interval povjerenja sa 95% pouzdanosti je: 2. 6832 ≤ μ ≤ 2. 9968 § Pošto ovaj interval ne sadrži vrijednost aritmetičke sredine koja se testira (3. 0), odbacujemo nultu hipotezu sa = 0. 05 Statistika – predavanje 9

Jednosmjerni testovi § U mnogim slučajevima, alternativna hipoteza se odnosi na određeni smjer H 0: μ ≥ 3 H 1: μ < 3 H 0: μ ≤ 3 H 1: μ > 3 Statistika – predavanje 9 Ovo je lijevi-jednosmjerni test pošto je alternativna hipoteza fokusirana na dio rasporeda gdje su vrijednosti manje od aritmetičke sredine=3 Ovo je desni-jednosmjerni test pošto je alternativna hipoteza fokusiranja na desni dio rasporeda gdje su vrijednosti veće od prosječne vrijednosti=3 13/15. 03. 2020.

Lijevi jednosmjerni test H 0: μ ≥ 3 § Jedna kritična vrijednost, pošto je oblast odbijanja samo u jednom “repu” H 1: μ < 3 Odbaciti H 0 -Z 0 μ Ne može se odbaciti H 0 Z X Kritična vrijednost Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Desni jednosmjerni test § Jedna kritična vrijednost, pošto je oblast odbijanja samo u jednom “repu” Z _ X H 0: μ ≤ 3 H 1: μ > 3 Ne može se odbaciti H 0 0 Odbaciti Z α H 0 μ Kritična vrijednost Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Primjer: jednosmjerni Z test za ar. sredinu ( poznata) Menadžer u kompaniji telefona smatra da su mjesečni računi za telefone porasli, i da je njihov prosjek veći od 52 € mjesečno. Kompanija želi da testira tu tvrdnju. (Pretpostavlja se da je poznata, = 10) Testira se hipoteza: H 0: μ ≤ 52 mjesečni prosjek nije veći od 52 € H 1: μ > 52 Statistika – predavanje 9 mjesečni prosjek je veći od 52 € (tj. ima dovoljno dokaza koji potvrđuju menadžerovu tvrdnju) 13/15. 03. 2020.

Primjer: oblast odbacivanja (nastavak) § Neka je = 0. 10 određeno za test Nađi oblast odbacivanja: Odbaci H 0 = 0. 10 Ne može se odbaciti H 0 0 1. 28 Odbaciti H 0 ako je Z > 1. 28 Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Primjer: Kritična vrijednost (nastavak) Koliko je Z ako je a = 0. 10? 0. 90 0. 10 a = 0. 10 0. 90 z Tablica standardizovane normalne distribucije (dio) 0 1. 28 Z . 07 . 08 . 09 1. 1. 8790. 8810. 8830 1. 2. 8980. 8997. 9015 1. 3. 9147. 9162. 9177 Kritična vrijednost = 1. 28 Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Primjer: statistika testa (nastavak) Odabrati uzorak i izračunati statistiku testa Pretpostavimo da je iz uzorka dobijeno: n = 64, X = 53. 1 ( =10 pretpostavlja se da je poznata) § Onda je statistika testa: Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Primjer: odluka (nastavak) Donesi odluku i interpretiraj rezultat: Odbaciti H 0 = 0. 10 Ne može se odbaciti H 0 1. 28 0 Z = 0. 88 Odbaciti H 0 Ne može se odbaciti H 0 pošto je Z = 0. 88 ≤ 1. 28 tj. : nema dovoljno dokaza da je prosječni mjesečni račun za telefon veći od 52€ Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Primjer: p -vrijednost Nađi p-vrijednost i uporedi sa (nastavak) (pretpostavljajući da je μ = 52. 0) p-vrijednost = 0. 1894 Odbaci H 0 = 0. 10 0 Ne može se odbaciti H 0 1. 28 Z = 0. 88 Odbaci H 0 Ne može se odbaciti H 0 pošto je p-vrijednost = 0. 1894 > = 0. 10 Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

t test za hipotezu o ar. sredini (σ nepoznata) § Pretvori statistiku uzorka ( X ) u t statistiku testa Testiranje hipoteza o σpoznata Known (Z test) Statistika – predavanje 9 σnepoznata Unknown (t test) Statistika testa je: 13/15. 03. 2020.

Primjer: dvostrani test ( nepoznata) Smatra se da je prosječna cijena hotelske sobe na noć u New York-u je 168 €. Iz slučajnog uzorka od 25 hotela izračunato je X = 172. 50 € i S = 15. 40 €. Testiraj ovu tvrdnju uz = 0. 05. (Pretpostaviti da populacija ima normalnu distribuciju) Statistika – predavanje 9 H 0: μ = 168 H 1: μ ¹ 168 13/15. 03. 2020.

Primjer: dvostrani test ( nepoznata) H 0: μ = 168 H 1: μ ¹ 168 /2=. 025 § = 0. 05 /2=. 025 Odbaciti Ne može se H 0 -t n-1, α/2 odbaciti H 00 § n = 25 -2. 0639 § nije poznata, pa se koristi t statistika Odbaciti 1. 46 t n-1, α/2 H 0 2. 0639 § Kritična vrijednost: t 24 = ± 2. 0639 Statistika – predavanje 9 Ne može se odbaciti H 0: nema dovoljno dokaza da je prava prosječna cijena različita od 168 € 13/15. 03. 2020.

Veza sa intervalima povjerenja § Za X = 172. 5, S = 15. 40 i n = 25, 95% interval povjerenja je: 172. 5 - (2. 0639) 15. 4/ 25 do 172. 5 + (2. 0639) 15. 4/ 25 166. 14 ≤ μ ≤ 178. 86 § Pošto ovaj interval sadrži prosječnu vrijednost iz hipoteze (168), ne može se odbaciti nulta hipoteza sa = 0. 05 Statistika – predavanje 9

Testiranje hipoteza o proporciji § Dva moguća ishoda § “Uspjeh” (posjeduje određenu karakteristiku) § “Neuspjeh” (ne posjeduje tu karakteristiku) § Frakcija ili proporcija populacije koja je “uspjeh” označava se sa π Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Proporcije (nastavak) § Proporcija iz uzorka je p § § Kada je i nπ i n(1 -π) makar 5, p se može aproksimirati normalnom distribucijom sa ar. sredinom i standardnom devijacijom § Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Testiranje hipoteza o proporciji § Pošto se uzoračka distribucija p aproksimira normalnom, statistika testa je Z vrijednost: Statistika – predavanje 9 Testiranje hipoteza o p nπ 5 i n(1 -π) 5 nπ < 5 ili n(1 -π) < 5 13/15. 03. 2020.

Z test za proporciju § Z vrijednost iskazana preko X: Testiranje hipoteza o p X 5 i n-X 5 Statistika – predavanje 9 X<5 ili n-X < 5 13/15. 03. 2020.

Primjer: Z test za proporciju Marketinška kompanija tvrdi da prima 8% odgovora na upitnike poslane poštom. Za testiranje ove tvrdnje, slučajni uzorak od 500 upitnika je odabran sa 25 odgovora. Testirati sa nivoom signifikantnosti = 0. 05. Statistika – predavanje 9 Provjeriti: n π = (500)(. 08) = 40 n(1 -π) = (500)(. 92) = 460 13/15. 03. 2020.

Primjer: Z test za proporciju Statistika testa: H 0: π = 0. 08 H 1: π ¹ 0. 08 = 0. 05 n = 500, p = 0. 05 Kritična vrijednost: ± 1. 96 Odluka: Odbaciti odbaciti H 0 sa = 0. 05 Odbaciti . 025 -1. 96 -2. 47 Statistika – predavanje 9 0 1. 96 z Zaključak: Ima dovoljno dokaza da se odbaci tvrdnja kompanije da je stopa odgovora 8%. 13/15. 03. 2020.

p-vrijednost (nastavak) Kalkulisati p-vrijednost i uporediti sa (Za dvostrani test p-vrijednost je uvijek u dva repa) Ne može se odbaciti H 0 Odbaciti H 0 /2 =. 025 Odbaciti H 0 p-vrijednost =0. 0136: /2 =. 025 0. 0068 -1. 96 Z = -2. 47 0 1. 96 Z = 2. 47 Odbacuje se H 0 pošto je p-vrijednost = 0. 0136 < = 0. 05 Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Moć testa § Moć testa je vjerovatnoća ispravnog odbacivanja netačne H 0 Pretpostavimo da se ispravno odbaci H 0: μ 52 kada je u stvari prava sredina μ = 50 Moć = 1 -β 50 Odbaciti H 0: μ 52 Statistika – predavanje 9 52 Ne može se odbaciti H 0 : μ 52 N 13/15. 03. 2020.

Greška II tipa § Pretpostavimo da nijesmo odbacili H 0: 52 kada je u stvari prava sredina = 50 Ovo je opseg x gdje H 0 nije odbačena Ovo je prava distribucija x ako je = 50 Vjerovatnoća greške II tipa = β Statistika – predavanje 9 50 52 Odbaciti H 0: 52 Ne može se odbaciti H 0 : 52 13/15. 03. 2020.

Greška II tipa (nastavak) § Pretpostavimo da nijesmo odbacili H 0: 52 kada je u stvari prava sredina = 50 Ovdje, β = P(X krit. vr. ) ako je μ = 50 β Statistika – predavanje 9 50 52 Odbaciti H 0: μ 52 Ne može se odbaciti H 0 : μ 52 13/15. 03. 2020.

Kalkulisanje β § Neka je n = 64 , σ = 6 , i =. 05 (za H 0 : μ 52) β = P( x 50. 766 ) ako μ=50 50 50. 766 Odbaciti H 0: μ 52 Statistika – predavanje 9 52 Ne može se odbaciti H 0 : μ 52 13/15. 03. 2020.

Kalkulisanje β i moć testa (nastavak) § Neka je n = 64 , σ = 6 , i = 0. 05 Moć =1 -β = 0. 8461 Vjerovatnoća ispravnog odbacivanja neistinite nulte hipoteze je 0. 8641 Statistika – predavanje 9 Vjerovatnoća greške II tipa: β = 0. 1539 50 50. 766 Odbaciti H 0: μ 52 52 Ne može se odbaciti H 0 : μ 52 13/15. 03. 2020.

Moć testa § Zaključci koji se odnose na moć testa: 1. Jednostrani test ima veću moć od dvostranog testa 2. Povećanje nivoa signifikantnosti ( ) rezultira povećanjem moći testa 3. Povećanje veličine uzorka rezultira povećanjem moći testa Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Etička pitanja § Koristiti slučajno prikupljene podatke da bi se smanjila pristrasnost § Odabrati nivo značajnosti, α, i tip testa (jednostrani ili dvostrani) prije prikupljanja podataka § Ne sprovodite “čišćenje podataka” radi skrivanja opservacija koje ne potvrđuju hipoteze § Prikaži sve nalaze Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Rezime § Metodologija statističkog testiranja hipoteza § Z test o aritmetičkoj sredini (σ poznata) § Testiranje hipoteza na osnovu kritične vrijednosti i p–vrijednosti § Jednostrani i dvostrani testovi Statistika – predavanje 9 13/15. 03. 2020.

Rezime (nastavak) § t test za aritmetičku sredinu (σ nije poznata) § Z test za proporciju § Vjerovatnoća greške II tipa i moć testa § Etička pitanja Basic Business Statistics, 10 e © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 9 -59