Statistika Predavanje 6 Normalna raspodjela vjerovatnoe Statistika predavanje

Statistika Predavanje 6 Normalna raspodjela vjerovatnoće Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Fokus predavanja § Modeli raspodjela neprekidnih slučajnih promjenljivih § Normalna raspodjela vjerovatnoće § Standardizovana normalna raspodjela vjerovatnoće Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Neprekidne raspodjele vjerovatnoće § Kontinirana (neprekidna) slučajna varijabla je varijabla koja može da uzme bilo koju vrijednost u nekom intervalu (može uzeti beskonačan broj vrijednosti) Primjeri: § vrijeme potrebno da se obavi neki zadatak § temperatura § visina § Potencijalno mogu uzeti bilo koju vrijednost, u zavisnosti od mogućnosti preciznog mjerenja. Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Normalna raspodjela vjerovatnoće Raspodjele vjerovatnoće Neprekidne raspodjele vjerovatnoće Normalna Uniformna Eksponencijalna Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Normalna raspodjela ‘Oblik zvona’ § Simetričan f(X) § Aritmetička sredina, medijana i modus su jednaki § Lokaciju određuje sredina, μ Disperziju određuje standardna devijacija, σ Slučajna varijabla je definisana u neograničenom intervalu: - do + Statistika – predavanje 6 σ X μ Sredina = Medijana = Modus 16. 03. 2020.

Mnoštvo normalnih raspodjela Variranjem parametara μ i σ, dobijaju se različite normalne distribucije Statistika – predavanje 6. 16. 03. 2020.

Normalna raspodjela - oblik f(X) Mijenjanjem μ raspored se pomjera lijevo ili desno σ μ Mijenjanjem σ povećava se ili smanjuje disperzija X Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Normalna raspodjela Funkcija gustine vjerovatnoće § Formula za normalnu funkciju gustine vjerovatnoće gdje e = matematička konstanta približno 2. 71828 π = matematička konstanta približno 3. 14159 μ = aritmetička sredina populacije σ = standardna devijacija populacije X = bilo koja vrijednost kontinuirane varijable Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Standardizovana normalna raspodjela § Bilo koja normalna raspodjela (sa bilo kojom kombinacijom aritmetičke sredine i standardne devijacije) može se transformisati u standardizovanu normalnu raspodjelu (Z) § Potrebno je transformisati X vrijednost u Z vrijednost Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Pretvaranje u standardizovanu normalnu raspodjelu § Transformisanje X u standardizovanu normalanu (“Z”) raspodjelu oduzimanjem aritmetičke sredine od X i dijeljenjem njegovom standardnom devijacijom: Z raspodjela uvijek ima aritmetičku sredinu = 0 i standardnu devijaciju = 1 Statistika – predavanje 6 Chap 6 -10

Standardizovana normalna raspodjela Funkcija gustine vjerovatnoće § Formula za funkciju gustine vjerovatnoće standardizovane normalne raspodjele gdje e = matematička konstanta probližno 2. 71828 π = matematička konstanta probližno 3. 14159 Z = bilo koja vrijednost standardizovanog normalnog rasporeda Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Standardizovana normalna raspodjela § § § Poznata i kao “Z” raspodjela Aritmetička sredina je 0 Standardna devijacija je 1 f(Z) 1 0 Z Vrijednosti veće od aritmetičke sredine imaju pozitivne Z-vrijednosti, vrijednosti manje od aritmetičke sredine imaju negativne Z-vrijednosti Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Primjer § Ako X ima normalan raspored sa aritmetičkom sredinom 100 i standardnom devijacijom 50, Z vrijednost za X = 200 je § To znači da je X = 200 dvije standardne devijacije veće od aritmetičke sredine koja iznosi 100. Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Upoređivanje X i Z vrijednosti 100 0 200 2. 0 X Z (μ = 100, σ = 50) (μ = 0, σ = 1) Raspored je isti, samo je mjerna skala promijenjena. Problem se moze izraziti u originalnim jedninicama mjere (X) ili u standardizovanim jedinicama (Z). Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoća Probability is the Vjerovatnoća area under the curve! krive se mjeri površinom ispod f(X) P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) (Vjerovatnoća bilo koje pojedinačne vrijednosti je nula) a Statistika – predavanje 6 b X 16. 03. 2020.

Vjerovatnoća kao površina ispod krive Totalna površina ispod krive je 1. 0, a pošto je kriva simetrična, onda je pola ispod, a pola iznad aritmetičke sredine f(X) 0. 5 μ Statistika – predavanje 6 X 16. 03. 2020.

Empirijsko pravilo Kakva je distribucija vrijednosti oko aritmetičke sredine? Neka opšta pravila: f(X) σ μ-1σ μ ± 1σ obuhvata oko 68% X’eva σ μ μ+1σ X 68. 26% Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Empirijsko pravilo (nastavak) § μ ± 2σ obuhvata oko 95% X’ eva § μ ± 3σ obuhvata oko 99. 7% X’eva 2σ μ 95. 44% Statistika – predavanje 6 3σ 2σ x 3σ μ x 99. 73% 16. 03. 2020.

Standardizovan normalan raspored - tablica §Kumulativna tablica standardizovanog normalnog rasporeda (data na kraju knjige) daje vjerovatnoću vrijednosti manjih od željene vrijednosti Z (tj. od minus beskonačno do Z) 0. 9772 Primjer: P(Z < 2. 00) = 0. 9772 0 Statistika – predavanje 6. 2. 00 Z 16. 03. 2020.

Standardizovan normalan raspored - tablica (nastavak) Kolona daje vrijednost za Z do druge decimale Z Red pokazuje vrijednost za Z do prve decimale 0. 00 0. 01 0. 02 … 0. 0 0. 1 . . . 2. 0 . 9772 Vrijednost u tablici daje vjerovatnoću od Z = do željene Z vrijednosti 2. 0 P(Z < 2. 00) = 0. 9772 Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Opšta procedura odeđivanja vjerovatnoće Da bi se odredila P(a < X < b) kada X ima normalnu distribuciju: § NNacrtaj normalnu krivu za X § Pretvori X-vrijednosti u Z-vrijednosti § Upotrebi tablicu standardizovanog normalnog rasporeda Statistika – predavanje 6. 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće § Pretpostavimo da je X normalno raspoređena varijabla sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0 § Nađi P(X < 8. 6) X 8. 0 8. 6 Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće (nastavak) Nađi P(X < 8. 6) μ=8 σ = 5. 0 8 8. 6 P(X < 8. 6) Statistika – predavanje 6 μ=0 σ=1 X 0 0. 12 Z P(Z < 0. 12) 16. 03. 2020.

Rešenje: Nađi P(Z < 0. 12) Tablica standardizovanog normalnog rasporeda vjerovatnoće Z . 00 . 01 P(X < 8. 6) = P(Z < 0. 12) . 02 . 5478 0. 0. 5000. 5040. 5080 0. 1. 5398. 5438. 5478 0. 2. 5793. 5832. 5871 0. 3. 6179. 6217. 6255 Statistika – predavanje 6 0. 00 Z 0. 12 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće § Pretpostavimo da je X normalno raspoređena varijabla sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0 § Sada nađi P(X > 8. 6) X 8. 0 8. 6 Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće (nastavak) § Nađi P(X > 8. 6)… P(X > 8. 6) = P(Z > 0. 12) = 1. 0 - P(Z ≤ 0. 12) = 1. 0 - 0. 5478 = 0. 4522 0. 5478 1. 000 Z 0 0. 12 Statistika – predavanje 6 1. 0 - 0. 5478 = 0. 4522 Z 0 0. 12 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće § Pretpostavimo da je X normalno raspoređena varijabla sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0. Nađi P(8 < X < 8. 6) Izračunati Z-vrijednosti: 8 8. 6 X 0 0. 12 Z P(8 < X < 8. 6) = P(0 < Z < 0. 12) Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Rešenje: Nađi P(0 < Z < 0. 12) Tablica standardizovane P(8 < X < 8. 6) normalne raspodjele vjerovatnoće = P(0 < Z < 0. 12) = P(Z < 0. 12) – P(Z ≤ 0) Z. 00. 01. 02 = 0. 5478 -. 5000 = 0. 0478 0. 0. 5000. 5040. 5080 0. 1. 5398. 5438. 5478 0. 0478 0. 5000 0. 2. 5793. 5832. 5871 0. 3. 6179. 6217. 6255 0. 00 Z 0. 12 Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće § Pretpostavimo da je X normalno raspoređena varijabla sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0. § Nađi P(7. 4 < X < 8) 7. 4 Statistika – predavanje 6 8. 0 X 16. 03. 2020.

Određivanje vjerovatnoće Nađi P(7. 4 < X < 8)… P(7. 4 < X < 8) = P(-0. 12 < Z < 0) 0. 0478 = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0. 12) = 0. 5000 - 0. 4522 = 0. 0478 Normalna raspodjela je simetrična, i ova vjerovatnoća je ista kao i P(0 < Z < 0. 12) Statistika – predavanje 6. 0. 4522 7. 4 8. 0 -0. 12 0 X Z 16. 03. 2020.

Određivanje vrijednosti X za poznatu vjerovatnoću § Koraci za određivanje vrijednosti X kada je poznata njena vjerovatnoća: 1. Odrediti Z vrijednost za datu vjerovatnoću 2. Pretvori u X vrijednost pomoću formule: Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Određivanje vrijednosti X za poznatu vjerovatnoću (nastavak) Primjer: § Pretpostavimo da je X normalno raspoređena varijabla sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0. § Nađi vrijednost X tako da je samo 20% svih vrijednosti manje od ovog X. 0. 2000 ? ? Statistika – predavanje 6 8. 0 0 X Z 16. 03. 2020.

Određivanje Z vrijednosti 1. Nađi Z vrijednost za datu vjerovatnoću Tablica standardizovane normalne§ 20% površine je konzistentno sa Z raspodjele vjerovatnoće vrijednosti od -0. 84 Z …. 03. 04. 05 -0. 9 …. 1762. 1736. 1711 -0. 8 …. 2033. 2005. 1977 -0. 7 0. 2000 …. 2327. 2296. 2266 ? 8. 0 -0. 84 0 Statistika – predavanje 6 X Z 16. 03. 2020.

Određivanje X vrijednosti 2. Pretvori u X vrijednost koristeći formulu: Dakle, 20% vrijednosti slučajne varijable koja ima distribuciju sa sredinom 8. 0 i standardnom devijacijom 5. 0 je manje od 3. 80. Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Procjenjivanje normalnosti § Nemaju sve kontinuirane slučajne varijable normalnu raspodjelu § Važno je procijeniti (vrednovati) koliko dobro se podaci iz uzorka aproksimiraju pomoću normalne rasporedjele Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Procjenjivanje normalnosti (nastavak) § Nacrtaj tabelu ili grafike § Za skupove podataka koji su mali ili umjereno mali provjeriti da li je dijagram rasturanja simetričan? § Za velike skupove podataka, provjeriti da li histogram ili poligon imaju oblik zvona? § Izračunaj deskriptivne sumarne mjere § Da li aritmetička sredina, medijan i modus imaju slične vrijednosti? § Da li interval varijacije približno iznosi 6 σ? Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Procjenjivanje normalnosti (nastavak) § Osmotri distribuciju podataka § Da li približno 2/3 observacija leži u intervalu sredina 1 standardna devijacija? § Da li približno 80% observacija leži u intervalu sredina 1. 28 standardne devijacije? § Da li približno 95% observacija leži u intervalu sredina 2 standardne devijacije? § Procijeni dijagram normalne vjerovatnoće § Da li je grafik normalne vjerovatnoće privližno linearan sa pozitivnim nagibom? Statistika – predavanje 6. 16. 03. 2020.

Dijagram normalne vjerovatnoće § Aranžiraj podatke kao uređeni niz § Nađi odgovarajuće standardizovane normalne vrijednosti kvantila § Ucrtaj parove tačaka vrijednosti podataka na vertikalnoj osi i vrijednosti standardizovanih normalnih quantila na horizontalnoj osi § Provjeri da li je dijagram aproksimira linearnost Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.

Dijagram normalne vjerovatnoće (nastavak) Dijagram normalne vjerovatnoće za podatke iz normalne distribucije aproksimira linearnost: X 90 60 30 -2 Statistika – predavanje 6. -1 0 1 2 Z 16. 03. 2020.

Dijagram normalne vjerovatnoće (nastavak) Ulijevo-ispupčen Udesno-ispupčen X 90 60 60 30 30 -2 -1 0 1 2 Z Rektangularni Nelinearan dijagram ukazuje na devijaciju od normalnosti X 90 60 30 -2 -1 0 Statistika – predavanje 6 1 2 Z 16. 03. 2020.

Rezime predavanja § Kontinuirana slučajna promjenljiva § Normalna raspodjela – osobine • Simetrična • Slučajna varijabla definisana od - do + § Standardizovana (Z) raspodjela § Izračunavanje nepoznate vjerovatnoće § Određivanje nepoznate vrijednosti (X) za poznatu vjerovatnoću Statistika – predavanje 6 16. 03. 2020.