Aula 06 Dimensionamento de eixos Notas de Aulas

Aula 06 – Dimensionamento de eixos Notas de Aulas 2018 Elementos de Máquinas I André Ferreira Costa Vieira andrefvieira@usp. br

INTRODUÇÃO EIXOS: Elemento sobre o qual se assentam partes giratórias de uma máquina e que recebe destas as cargas de trabalho que devem ser descarregadas na estrutura da máquina. Esforços Actuantes: Flexão (Mf, V), Torção (Mt), Axiais (N) Formas construtivas cheios secção circular articuladas vasados secção retangular telescópicos lisas secção hexagonal flexíveis escalonados perfilados 23/10/20 2

INTRODUÇÃO Redução de peso e custos Eixos mais curtos possíveis: L Mf d $ Eixos vasado permitem redução de peso: Módulo de resistência à flexão 23/10/20 3

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Definição: A transmissão entre dois elementos tem por objetivo transferir ou transformar os movimentos e forças em outras com direções e valores diferentes. As transmissões por engrenagens: - permitem a transmissão de potência entre eixos relativamente próximos um do outro; - transmissão de torque sem deslizamento; - razão de engrenamento constante; Relação da transmição: relação entre a velocidade angular do eixo motriz e a velocidade angular do eixo movido Momento torsor (Torque): momento de uma força aplicado a elementos giratórios, onde o ponto base do momento é o centro de rotação Partes de uma engrenagem 23/10/20 4

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens cilindricas) Aplicações • eixos paralelos • um par tem relação de transmissão i até 4 (normal) , até 8 (extremo) e uso de mais pares 2 pares i até 45 Engrenagem cilíndrica reta Características Engrenagem cilíndrica helicoidal Engrenagem bi-helicoidal • altas potências ( até 25. 000 CV) • rotações elevadas (até 100. 000 rpm) • altas velocidades tangenciais (até 200 m/s ) • rendimento é de 96 a 99 % 23/10/20 Engrenagem interna Engrenagem dentes V Cremalheira Engrenagem planetária 5

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens cónicas) Engrenagem cônica reta Engrenagem cônica dentes inclinados Engrenagem cônica de dentes helicoidais Aplicações • eixos concorrentes • relação de transmissão i até 6 Características • mais caras que as engrenagens cilíndricas 23/10/20 6

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens descentradas) Aplicações • eixos reversos com pequena distância a entre eles. • uso típico em eixos traseiros ( diferenciais) de veículos automotivos. • grande capacidade de carga. Características • grau de recobrimento maior diminui os ruídos de funcionamento 23/10/20 Engrenagem hipóide 7

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Formas construtivas de transmissões por engrenagens (engrenagens reversas) Aplicações • eixos reversos • carga pequena Características • grandes ângulos de hélice • grau de recobrimento grande • eficiência menor 23/10/20 Engrenagem reversa 8

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Formas construtivas de transmissões por engrenagens (parafuso e coroa sem-fim) Aplicações • eixos reversos • grandes relações de transmissão , i até 30 (normal) até 100 (extremo) Características • coroa de bronze para grande velocidade de deslizamento • rendimento é menor ( 45 % para i maiores, subindo até 90% para i pequenas ) • transmissão silenciosa e grande amortecimento • para grandes relações de transmissão mais baratas que as eng cilíndricas Parafuso e coroa sem-fim • transmite grandes torques • potências de até 1. 000 CV • rotações até 30. 000 rpm 23/10/20 9

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Nomenclatura 23/10/20 10

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Nomenclatura Módulos usados em transmissões 1, 5 a 5 mm 23/10/20 11

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Pares de dentes em contato 23/10/20 12

TRANSMISSÕES POR ENGRENAGENS Pares de dentes em contato 23/10/20 13

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Pares de dentes em contato 23/10/20 14

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Pares de dentes em contato 23/10/20 15

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Força tangencial Engrenagens cilíndrica reta Momento torsor Potência transmitida Apenas a componente Velocidade linear nos tangencial da força de contato diâmetros primitivos participa na transmissão de Wt (lbf) potência ou: H (hp) No eixo a atua um força Fa 2 (que contraria a força no contato F 32) e um momento torsor Ta 2 (componente tangencial de F 32 x r 2) 23/10/20 V (ft/min) Wt (k. N) H (k. W) d (mm) n (rpm) V (ft/min) d (mm) n (rpm) 16

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Engrenagens cónicas Força tangencial: Força radial: Força axial: Apenas a componente tangencial da força de contato participa na transmissão de potência Wt (lbf) H (hp) V (ft/min) Wt (k. N) H (k. W) d (mm) n (rpm) 23/10/20 17

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Engrenagens cilíndricas helicoidais Força tangencial: Força total: Força radial: Força axial: Apenas a componente tangencial da força de contato participa na transmissão de potência Wt (lbf) H (hp) V (ft/min) 23/10/20 Wt (k. N) H (k. W) d (mm) n (rpm) 18

ESFORÇOS TRANSMITIDOS POR ENGRENAGENS Parafuso e coroa sem-fim Componentes da força de contacto Wx, Wy e Wz: Componentes tangencial (t), radial (r) e axial (a), do parafsuso (W) e da coroa (G) : Força de atrito: 23/10/20 Apenas a componente tangencial da força de contato participa na transmissão de potência 19

TRANSMISSÕES FLEXIVEIS Definição: A transmissão entre dois elementos tem por objetivo transferir ou transformar os movimentos e forças em outras com direções e valores diferentes. As transmissões por elementos flexíveis: - permitem a transmissão de potência entre eixos relativamente distantes um do outro; - baixo custo; - permitem acionar vários eixos em simultâneo Relação da transmissão: relação entre a velocidade angular do eixo motriz e a velocidade angular do eixo movido Momento torsor: momento de uma força aplicado a elementos giratórios, onde o ponto base do momento é o centro de rotação 23/10/20 20

TRANSMISSÃO POR CORREIAS Variação da força tensora ao longo do comprimento da correia 23/10/20 21

ROTEIRO GERAL DE PROJETO DE EIXOS 23/10/20 22

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Cálculo de Tensão equivalente (seq ) sob Solicitação Estática para eixo circular Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d) no caso de secção circular: 23/10/20 23

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d), no caso de secção circular, considerando torção pura, e conhecendo a potência transmitida (N): N - HP Mt - kgf. mm n - rpm 23/10/20 24

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Cálculo de Tensão equivalente ( s’ ) sob Solicitação Estática Considerando flexão e torção combinadas Critério Energia Distorção (Von Mises) no caso de secção circular: então: Cálculo perliminar do diâmetro do eixo (d) : sendo: 23/10/20 25

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Sob Solicitação Dinâmica 23/10/20 Considera carragemento cíclico e dano por fadiga 26

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Critério de Soderberg Critério de Godman simplificado Critério de Gerberg Critério de ASME Critério de Langer 23/10/20 27

CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES Qualquer descontinuidade geométrica num componente altera localmente a distribuição de tensões. Estas descontinuidades geométricas são designadas de concentradores de tensões. O coeficiente de concentração de tensões (nominal) permite relacionar a tensão máxima local com a tensão nominal, verificada num ponto afastado da descontinuidade e calculada recorrendo às equações de análise de tensões. 23/10/20 28

COEFICIENTE DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES O coeficiente de concentração de tensões depende do material (Kf ou Kfs). Alguns materiais são menos sensíveis às descontinuidades geométricas. O coeficiente de sensibilidade q varia entre 0 (Kf=1), quando o material é insensível às descontinuidades geométricas e 1 (Kf=Kt) quando o material é totalmente sensível: 23/10/20 29

COEFICIENTE DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 23/10/20 30

COEFICIENTE DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 23/10/20 31

COEFICIENTE DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 23/10/20 32

VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA MEC NICA Considerando o critério de Godman simplificado, e apenas momentos fletor M e torsor T, é possivel determinar o diâmetro do eixo: 23/10/20 33

VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ Relação linear entre força (ou momento) e deslocamento (ou giro) na mesma direcção no ponto de aplicação 23/10/20 34

VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ A grande maioria dos eixos é escalonada e é possível calcular as flexas nos pontos críticos de diversas forma: a) Método da Integração Gráfica eixo carregamento 23/10/20 diagrama de Mf Escala Integração 1/EI gráfica 35

VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ b) Método de Madigan A flecha e a inclinação de cada secção em separado são passadas à secção seguinte. c) Pelo princípio dos trabalhos virtuais considerando que 23/10/20 36

VERIFICAÇÃO DA RIGIDEZ Onde: m = módulo da engrenagem = entreferro do motor elétrico L = distância entre os apoios do eixo 23/10/20 37

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Considerando uma força vertical F aplicada a meio do vão, desprezase: peso do eixo, inércia do eixo e momento centrífugo k Como: ou quando (rpm) 23/10/20 38

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Considerando um disco de inércia suportado de massa m a meio do vão (despreza-se: peso do eixo, inércia do eixo e momento centrífugo) Como: (rpm) NOTAS: A dedução vale para meixo << mdisco Ntrabalho deve estar fora da faixa 0, 7 ~ 1, 3 Ncrit. Pode-se trabalhar numa rotação “A”, superior à Ncrit (correspondente ao 1º modo de vibração natural), passando-se pela Ncrit 1 com potência suficiente e amortecimento alto. 23/10/20 39

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA 23/10/20 40

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA A velocidade do peso é dada por: v = y 0⋅ω. cos(ωt). A energia cinética atinge o máximo quando a velocidade é máxima, isto é, quando cos(ωt)=1. Então, a energia cinética máxima é dada por: Igualando as expressões da energia cinética e potencial máxima obtém-se a seguinte relação: 23/10/20 41

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Método de Rayleigh O método de Rayleigh é aplicado a um sistema multi-massas composto pelos pesos P 1, P 2, etc. , admitindo-se como anteriormente, uma deflexão estática de cada massa de acordo com a equação y = y 0⋅sen(ωt). As deflexões máximas são, então, y 01, y 02, etc. , e as velocidades v 1, v 2, etc. A energia potencial máxima para o sistema é: A energia cinética máxima é: Igualando, novamente, as expressões da energia cinética e potencial máximas, e resolvendo em ordem a ω obtém-se: 23/10/20 42

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Rearranjando: 23/10/20 43

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Método de Dunkerley 23/10/20 44

VERIFICAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA Da mesma forma que flexional, existe Ncrit torcional especialmente para eixos d << L. neste caso (eixo em balanço) - rigidez torcional - inércia do disco G - mod. Elast. Transv. 23/10/20 45

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