Material de apoio corpo rgido q Corpo rgido

Material de apoio: corpo rígido q Corpo rígido Ø q sistema que mantêm fixas as distâncias entre as partículas que o constituiem, mesmo sob a acção de forças e momentos de forças externos Tipo de movimento a considerar Ø translação – todas as partículas descrevem trajectórias rectilíneas paralelas com a mesma velocidade Ø rotação – todas as partículas descrevem trajectórias circulares em torno do eixo de rotação, com a mesma velocidade angular Ø combinação dos movimentos de translação e rotação em torno de um eixo que passa pelo CM

Material de apoio : corpo rígido q Energia cinética do movimento de translação CM move-se com a velocidade comum a todas as partículas Nota: as demonstrações são feitas para sistemas discretos; para sistemas contínuos as demonstrações seriam absolutamente análogas, com os somatórios substituídos por integrais; por simplicidade omitimos a dependência explícita no tempo das grandezas físicas

Material de apoio: corpo rígido q Energia cinética do movimento de rotação mi descreve uma trajectória circular com velocidade angular em torno de Oi - ponto de intersecção do eixo de rotação (eixo dos zz) com o plano de rotação (plano da trajectória) z Oi O x y distância ao eixo de rotação momento de inércia referido ao eixo de rotação

Material de apoio : corpo rígido q Energia cinética do movimento combinado Ø translação relativamente a um sistema exterior S , com velocidade Ø rotação em torno de um eixo que passa pelo CM , com velocidade angular CM s velocidade da partícula i em S’ – referencial do CM energia cinética no referencial do CM, onde o objecto só tem movimento de rotação

Material de apoio: corpo rígido q Cálculo dos momentos de inércia em casos simples r w Ø z m 3 O 2 distância ao eixo é m 2 que é constante O 1 m 1 y x mi (i=1, 2) descrevem trajectórias circulares com velocidade angular em torno de Oi Ø m 3 em repouso sobre o eixo de rotação a distância ao eixo é que é constante

Material de apoio: corpo rígido q Cálculo dos momentos de inércia em casos simples Ø disco homogéneo de raio R, roda no plano xy, em torno do eixo dos zz Ø cada dm descreve um trajectória circular no plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade Ø distância de cada dm ao eixo

Material de apoio: corpo rígido q Cálculo dos momentos de inércia em casos simples Ø disco homogéneo de raio R, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro Ø cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade Ø distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz

Material de apoio: corpo rígido q Cálculo dos momentos de inércia em casos simples Ø placa homogénea de dimensões a e b, roda no plano xy, em torno do eixo dos zz Ø cada dm descreve um trajectória circular no plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade Ø distância de cada dm ao eixo

Material de apoio: corpo rígido q Cálculo dos momentos de inércia em casos simples Ø placa homogénea de dimensões a e b, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro Ø cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade Ø distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz

Material de apoio: corpo rígido q Teorema dos eixos paralelos z z’ D momento de inércia relativo ao eixo paralelo ao eixo que passa pelo CM CM x’ O x y’ y distância entre os dois eixos momento de inércia relativo eixo que passa pelo CM

Material de apoio : corpo rígido q Equações do movimento Ø taxa de variação do momento linear resultante das forças externas a taxa de variação do momento linear do corpo rígido é determinada pela resultantes das forças externas a aceleração do CM do corpo rígido é determinada pela resultante das forças externas Nota: a resultante é independente do ponto de aplicação das forças

Material de apoio : corpo rígido q Equações do movimento Ø taxa de variação do momento angular momento resultante das forças externas a taxa de variação do momento angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas Nota: o momento resultante dependente do ponto de aplicação das forças

Material de apoio : corpo rígido q Equações do movimento Ø taxa de variação do momento angular corpo plano que roda em torno de um eixo que lhe é perpendicular com velocidade angular cada dm descreve um movimento circular em torno de O com aceleração angular a aceleração angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas

Material de apoio : corpo rígido q Equações do movimento Ø taxa de variação do momento angular corpo de forma arbitrária (3 dimensões) que roda em torno de um eixo com velocidade angular cada dm descreve um movimento circular num plano paralelo ao plano xy em torno de Oi com E

Material de apoio : corpo rígido Ø MAS – a componente z do momento angular ainda é proporcional aw NOTA: é independente do ponto do eixo de rotação em relação ao qual o momento angular é calculado

Material de apoio : corpo rígido Ø q SE o sistema rodar em torno de um eixo principal de inércia (eixo de simetria do corpo) tem-se ainda Nota: a aceleração angular terá a mesma direcção e sentido da velocidade angular, se a velocidade angular mantiver constante a sua direcção e sentido: Ø sistema roda em torno de um eixo fixo (apenas movimento de rotação) Ø sistema roda em torno de um eixo com movimento de translação (movimento combinado de translação e rotação)

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo Ø condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto Ø condições iniciais CM § § movimento inicia-se com o movimento de translação através da comunicação de § força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de translação § C - ponto de contacto Ø 1ª equação do movimento – movimento de translação Ø força de atrito confere aceleração de translação que faz diminui a velocidade de translação

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo Ø 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) relativamente ao CM força de atrito: única força que tem momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo Ø cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação CM C - ponto de contacto Ø Condição de não derrapagem cumprida em

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo e não realizam trabalho Ø para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se Ø Ø movimento continuaria ideal e indefinidamente com Ø Exemplo: lançamento de uma bola de bowling

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo Ø condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto CM Ø condições iniciais § § C - ponto de contacto § movimento inicia-se com o movimento de rotação através da comunicação de § força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de rotação Ø 1ª equação do movimento – movimento de translação Ø corpo adquire movimento de translação sob a acção da força de atrito

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo Ø 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) relativamente ao CM força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que vai diminuir a velocidade angular inicial

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo Ø cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação CM C - ponto de contacto Ø Condição de não derrapagem cumprida em

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo e não realizam trabalho Ø para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se Ø Ø movimento continuaria ideal e indefinidamente com Ø Exemplo: roda que é posta a rodar e depois colocada numa superfície horizontal, sem lançamemto (sem velocidade de translação)

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo Ø condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto CM Ø condições iniciais § § movimento inicia-se com o movimento de translação sob a acção do peso § força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de translação § C - ponto de contacto Ø 1ª equação do movimento – movimento de translação

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo Ø 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) relativamente ao CM força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo Ø cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação CM - ponto de contacto Ø condição de não derrapagem cumprida para se

Material de apoio : corpo rígido q Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo não realiza trabalho Ø realiza trabalho mas é conservativa Ø se se cumprir a condição de não derrapagem, a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo para todo o t energia mecânica conserva-se Ø Ø a energia cinética aumenta, enquanto a energia potencial diminui, h (altura da bola) diminui Ø Exemplo: bola de bowling largada no topo de um plano inclinado