Moto rotatorio Il moto di un corpo rigido

Moto rotatorio Il moto di un corpo rigido può essere descritto come costituito da un moto traslatorio del suo centro di massa più un moto rotatorio attorno al suo centro di massa. Per moto puramente rotatorio intendiamo quel moto durante il quale tutti i punti del corpo si muovono descrivendo una circonferenza. Ad esempio, il punto P in figura ed i centri di queste circonferenze giacciono su una linea chiamata asse di rotazione che è perpendicolare alla pagina e passa per il punto O. Per indicare la posizione angolare del corpo o di quanto ha ruotato specifichiamo l’angolo θ tra una certa linea particolare del corpo rispetto a una linea di riferimento, come ad esempio l’asse x. Un punto del corpo si muove lungo un angolo θ quando percorre la distanza l misurata lungo la circonferenza tracciata nel suo cammino circolare.

Su una giostra, un bambino è seduto su un cavallo vicino al bordo più esterno e un altro bambino è seduto su un leone a metà tra il bordo e il centro. Quale dei due bambini ha velocità lineare maggiore? Quale dei due bambini ha velocità angolare maggiore?

Il momento torcente

Momento torcente di un bicipite

Momento torcente su una ruota composita Quando su un corpo agisce più di un momento torcente, l’accelerazione α è proporzionale al momento torcente risultante. Se tutti i momenti torcenti agenti su un corpo tendono a ruotarlo nella stessa direzione, il momento torcente risultante è la somma di tutti i momenti torcenti. Se i due momenti torcenti tendono a produrre rotazioni opposte, il momento torcente risultante è la differenza dei due momenti torcenti. Si può assegnare un segno positivo al momento torcente che tende a ruotare il corpo in una certa direzione (diciamo antioraria) e un segno negativo al momento torcente che agisce per ruotare il corpo in direzione opposta (oraria)

Solo la componente di F che agisce nel piano perpendicolare all’asse di rotazione agisce in modo da far girare la ruota attorno al suo asse. La componente parallela all’asse di rotazione tende a far muovere l’asse stesso, che però si assume fisso

Dinamica rotazionale e inerzia

Momento d’inerzia

Problemi di dinamica rotazionale Due pesi di massa 5 Kg e 7 Kg sono montati su una barra leggera (la cui massa può essere ignorata) a una distanza di 4 m l’uno dall’altro. Si calcoli il momento di inerzia del sistema: a. Quando il sistema ruota attorno a un asse equidistante dai due pesi; b. Quando il sistema ruota intorno a un asse posto a 0. 50 m a sinistra della massa di 5 Kg.

Momento d’inerzia di sistemi continui

Un disco uniforme di massa M=2. 5 Kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco m=1. 2 Kg è appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Si calcoli l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito.

Energia cinetica di un corpo rigido

Sfera che rotola lungo un piano inclinato Quale sarà la velocità di una sfera piena di massa M e raggio R quando raggiunge la base di un piano inclinato, se parte da ferma da una altezza H e rotola senza scivolare?

La macchina di Atwood reale

Chi arriva prima? Diversi oggetti rotolano senza scivolare lungo un piano inclinato di altezza H; tutti partono da fermi nello stesso istante. Gli oggetti sono: un anello sottile, una biglia, una pila elettrica a forma di cilindro pieno, una lattina vuota e una piena chiusa. In quale ordine essi raggiungono il fondo del piano inclinato? La scatola che scivola vince sempre; la velocità di una sfera che rotola è minore alla base del piano inclinato di quella di una scatola che scivola poiché l’energia potenziale è trasformata completamente in energia cinetica traslazionale mentre per gli oggetti che rotolano l’energia potenziale iniziale si suddivide tra energia cinetica traslazionale e rotazionale

Lavoro del momento torcente

Il momento angolare

La conservazione del momento angolare

Calcolare il momento torcente risultante rispetto all’asse della ruota mostrata. Si assuma che un momento torcente dovuto all’attrito è 0. 40 m. N si opponga al moto

I bulloni della testata di un motore devono essere serrati con un motore torcente di 80 m. N. Se la chiave è lunga 28 cm quale forza deve esercitare il meccanico alla sua estremità e perpendicolarmente ad essa? Se la testa esagonale del bullone ha un diametro di 15 mm, si calcoli la forza applicata dalla chiave a ciascuno dei sei angoli.

Si calcoli il momento d’inerzia di una ruota da bicicletta del diametro di 66. 7 cm. Il cerchione e il copertone hanno una massa totale di 1. 25 Kg. La massa del mozzo può essere ignorata? Perché? Si calcoli il momento d’inerzia del sistema di oggetti puntiformi mostrati in figura rispetto all’asse verticale e rispetto all’asse orizzontale. Si assuma che gli oggetti siano tenuti insieme da pezzi rigidi di filo metallico molto leggero. Intorno a quale asse sarà più difficile accelerare questo sistema?

Per far sì che un satellite cilindrico piatto e uniforme ruoti alla velocità corretta, gli ingegneri hanno acceso quattro razzi come mostrato. Se il satellite ha massa di 2600 Kg e un raggio di 3 m, quale deve essere la forza stazionaria applicata da ciascun razzo se il satellite deve raggiungere 30 giri per minuto in 5 minuti?

Assumendo che una palla di 1. 50 Kg venga lanciata solo per mezzo dell’avambraccio che ruota intorno all’articolazione del gomito sotto l’azione del muscolo tricipite, la palla viene accelerata da ferma a 10 m/s in 0. 350 s e quindi rilasciata. Si calcoli l’accelerazione angolare del braccio e la forza occorrente al muscolo tricipite. Si supponga che l’avambraccio abbia una massa di 3. 70 Kg e ruoti come un bastone uniforme rispetto a un asse posto alle sue estremità.

La pala del rotore di un elicottero può essere considerata un lungo bastone sottile. Se ciascuna delle tre pale del rotore è lunga 3. 75 m e ha una massa di 160 Kg si calcoli il momento d’inerzia delle tre pale rispetto all’asse di rotazione. Quale momento torcente deve applicare il motore per portare le pale a una velocità di 5 m/s in 8 s?

Si considerino due masse collegate da una corda inestensibile priva di massa che passa sopra una carrucola . Se la carrucola ha raggio R e un momento d’inerzia I rispetto al suo asse, si determini l’accelerazione delle due masse e la si confronti con la situazione in cui il momento d’inerzia della carrucola viene ignorato.

Una persona è ferma in piedi con le braccia distese lungo il corpo su una piattaforma che sta ruotando alla velocità di 1. 30 rad/s. se ora la persona solleva le braccia in posizione orizzontale, la velocità di rotazione decresce a 0. 8 rad/s. Perché? Di che fattore è cambiato il momento d’inerzia della persona?

Il pendolo fisico Una piastra metallica rettangolare omogenea di massa m, con lati b e c, è appesa a un asse orizzontale ad essa e passante per il punto mediano A del suo lato minore. Si determini la legge del moto per piccole oscillazioni; si calcoli, in funzione del tempo, la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari.

Una biglia di massa m e raggio r rotola lungo il percorso ruvido e piegato ad anello come mostrato. Qual è il valore minimo di h perché la biglia raggiunga il punto più alto dell’avvolgimento senza lasciare il percorso? Si consideri prima il caso di r << R ignorando le perdite di energia dovute all’attrito. Si ripeta il problema senza assumere r << R