Rotacin de un cuerpo rgido Fsica I Contenido

Rotación de un cuerpo rígido Física I

Contenido • • • Velocidad angular y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional Cálculo de los momentos de inercia Teorema de los ejes paralelos Ejemplos de momento de inercia Momento de torsión y aceleración angular Trabajo, potencia y energía

Velocidad angular y aceleración angular Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa por O. El punto P se mueve a lo largo de un círculo de radio r. El arco que describe esta dado por: y P r O q x Donde q está medido en radianes. La velocidad angular promedio se define como:

La velocidad angular instantánea es: La aceleración angular promedio se define como: La aceleración angular instantánea es: Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.

Cinemática rotacional Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por q, v por w, a por a. De esta forma si w = w 0 y q = q 0 en t 0 = 0 se tiene:

Relaciones angulares y lineales La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera: Similarmente para la aceleración:

Ejemplo En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1. 3 m/s. Calcule la rapidez en las pistas interior y exterior. El tiempo de reproducción es de 74 min y 38 s ¿Cuántas revoluciones de el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleración angular durante todo el intervalo?

La velocidad v siempre es tangente a la trayectoria La aceleración lineal en un punto es a = at +ar y y a v O q P ar P r at x r O q x

Energía rotacional Un objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular w. La energía cinética de la partícula es: La energía total del objeto es: Donde I es el momento de inercia definido como: La energía total de rotación es la suma de todos los Ki: y vi ri O q mi x

Ejemplo Molécula de oxígeno z m. O = 2. 66 x 10 -26 kg d = 1. 21 x 10 -10 m d w = 4. 60 x 1012 rad/s x y Calcular I, KR

Ejemplo Calcular Iy e Iz m b M a b m

Cálculo de los momentos de inercia El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante la integral: Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen: Entonces:

Teorema de los ejes paralelos El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es I = ICM + MD 2

Ejemplos de momento de inercia Aro o cascarón cilíndrico Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro. Cilindro sólido o disco Cilindro hueco Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el extremo. Placa rectangular Esfera sólida Esfera hueca

Momento de torsión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a hacer girar se le llaman momento de torsión t. El momento de torsión asociado con la fuerza F es: t r. Fsen f = Fd Donde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F. F F sen f r f F cos f La fuerza F 1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F 2 a favor de las manecillas del reloj. El momento de torsión es: d 1 tneto = t 1 + t 2 = F 1 d 1 - F 2 d 2 f F 1 O O d Línea de acción d 2 F 2

Ejemplo y Calcular momento de torsión neto F 1 R 2 x z F 2 F 1 = 5 N, R 1 = 1 m, F 2 = 15 N, R 2 = 0. 5 m

Momento de torsión y aceleración angular Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r, el momento de torsión alrededor del centro del círculo es: t = Ftr = (mat)r = (mar)r = mr 2 a O bien: Ft t = Ia m El momento de torsión que actúa sobre la partícula es proporcional a su aceleración angular. Fr r

Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración angular at. Entonces d. Ft = (dm)at El momento de torsión será: dt = rd. Ft = (r dm)at = (r 2 dm)a y El momento de torsión total es la integral de este diferencial: d. Ft r O dm x

ejemplo El momento de torsión es: t = Fd = Mg(L/2) L/2 La aceleración angular es pivote Mg La aceleración lineal del extremo es a = La = 3/2 g

Ejemplo M T La 2 a ley de Newton R T m M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9. 90 kg m 2, m = 0. 5 kg

T 2 Máquina de Atwood Segunda ley m 1 g – T 1 = m 1 a + T 1 T 3 – m 2 g = m 2 a T 3 Momento de torsión sobre las poleas m 1 m 2 + (T 1 – T 2) = Ia (T 2 – T 3) = Ia T 1 m 1 g T 3 n 1 T 2 n 2 m 2 g T 1 m. P g T 3 Resolviendo se obtiene para la aceleración

Trabajo, potencia y energía El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es: d. W = F · ds = (F sen f) r dq = t dq F La tasa a la cual se hace trabajo es: f ds dq P Es fácil mostrar que: r O El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girar un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del objeto.

Ejemplo Ei = U = Mg. L/2 Ef = KR = Iw 2/2

Ejemplo R DK = Kf – Ki = (½m 1 vf 2 + ½m 2 vf 2 + ½Iwf 2 ) – 0 DK + DU 1 + DU 2 = 0 DU 1 = m 1 gh m 2 h DU 2 = m 2 gh h m 1