Transformaciones en tres dimensiones Graficacin Transformaciones en tres
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Transformaciones en tres dimensiones Graficación
Transformaciones en tres dimensiones La representación de las transformaciones en tres dimensiones es una generalización de la de dos dimensiones. Los puntos se representan como cuartetos y las matrices de transformación son de 4 x 4. Usaremos el sistema de coordenadas tridimensional de mano derecha, como se muestra en la figura.
Matrices de transformación en 3 D Traslación: Escalamiento:
Rotaciones en 3 D Rotación en z: Rotación en x: Rotación en y:
Corte en 3 D Existen tres matrices de corte en 3 dimensiones, la que se muestra es la de corte en (x, y).
Composición de transformaciones en tres dimensiones Se desea trasladar y girar los segmentos de la figura para hacerlos coincidir con el eje z y el plano yz. Los pasos a seguir son: 1. Trasladar P 1 al origen. 2. Rotación sobre el eje y para que P 1 P 2 este en el plano yz. 3. Rotación sobre el eje x para que P 1 P 2 este en el eje z. 4. Rotación sobre el eje z para que P 1 P 3 este en el plano yz.
Trasladar P 1 al origen La traslación es: T(-x 1, -y 1, -z 1). P 1’=(0, 0, 0) P 2’=(x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) P 3’=(x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1)
Rotación sobre y La rotación es por un angulo de 90 – q. Con estos valores se obtiene la siguiente matriz:
Rotación sobre x La rotación es por un angulo de f. Con estos valores se obtiene la siguiente matriz:
Rotación sobre z La rotación es por un angulo a. Con estos valores se obtiene la siguiente matriz:
Resultado final Con:
Otro método consiste en construir la matriz R. Ya que Rz es el vector unitario a lo largo de P 1 P 2 que rotara en el eje z positivo, Rx es el vector unitario perpendicular al plano formado por P 1, P 2 y P 3 y rotará alrededor de x, entonces Finalmente:
La matriz compuesta
Vista tridimensional Gráficación
Cámara sintética
Pasos de la vista tridimensional • Especificación del tipo de proyección: perspectiva y ortogonal paralela. • Especificación de los parámetros de visualización: posición del ojo del observador y ubicación del plano de proyección. • Recorte en tres dimensiones: definición del volumen de vista canónico y recorte de los elementos fuera de este volumen. • Proyección y presentación: transformación de ventana a puerto de visión.
Modelo conceptual
Proyecciones a) Proyección en perspectiva. b) Proyección paralela
Proyecciones en perspectiva
Construcción de una proyección
Perspectiva de 2 puntos
Proyecciones paralelas Proyección ortográfica
Proyección isométrica
Proyección oblicua
Proyecciones geométricas planas
Especificación de la vista en 3 D El plano de vista se define mediante el punto de referencia de vista (VRP, view reference point) y una normal al plano llamada normal al plano de vista (VPN, view plane normal). Estos se definen en el sistemas de coordenadas de referencia de vista (VRC, viewing-reference-coordinates). El origen del VRC es el VPR. Un eje del VRC es VNP y se denomina n. El vector de vista arriba (VUP, view-up vector) determina el eje v del plano de vista. El eje u se define de tal manera que u, v y n forman un sistema de mano derecha. El centro de la ventana CW, lo determina los valores mínimos y máximos de u y v.
continuación El punto de referencia de proyección (PRP) define el centro de proyección y la dirección de proyección (DOP). Se especifica en el sistema VRC.
continuación El volumen de vista limita la porción del mundo que se recortará y proyectará sobre el plano de vista. El plano de recorte anterior y el plano de recorte posterior definen el volumen finito que se proyectará. Estos se definen por la distancia al plano anterior F y la distancia al plano posterior B.
Ejemplos de vistas 3 D Gráficación
Proyección de una casa Proyección en perspectiva de dos puntos de una casa (figura 1), la casa esta definida en coordenadas de mundo de acuerdo con la figura 2. Figura 1 Figura 2
Vista por omisión Parámetros valor VRP(WC) (0, 0, 0) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (0. 5, 1. 0) Ventana (0, 1, 0, 1) Tipo paralela
Proyecciones en perspectiva Parámetros valor VRP(WC) (0, 0, 0) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (8, 6, 84) Ventana (-50, 50) Tipo perspectiva
continuación Parámetros valor VRP(WC) (0, 0, 54) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (8, 6, 84) Ventana (-1, 17, -1, 17) Tipo perspectiva
Dos posibles definiciones
Perspectiva de un punto Parámetros valor VRP(WC) (16, 0, 54) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (20, 25, 20) Ventana (-20, -5, 35) Tipo perspectiva
Perspectiva de 2 puntos Parámetros valor VRP(WC) (16, 0, 54) VPN(WC) (1, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (0, 25, 20 2) Ventana (-20, -5, 35) Tipo perspectiva
Proyecciones paralelas Parámetros valor VRP(WC) (0, 0, 0) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (8, 8, 100) Ventana (-1, 17, -1, 17) Tipo paralela
Volúmenes de vista finitos Parámetros valor VRP(WC) (0, 0, 54) VPN(WC) (0, 0, 1) VUP(WC) (0, 1, 0) PRP(WC) (8, 6, 84) Ventana (-1, 17, -1, 17) Tipo perspectiva F(VRC) +1 B(VRC) -23
Matemáticas de las proyecciones Puede verse que se cumplen las siguientes razones debido a la semejanza de triángulos:
Matriz de la proyección La forma matricial de esta transformación es: El punto real es: El punto homogéneo es:
Volúmenes canónicos Volumen de vista canónico en proyección paralela: Volumen de vista canónico en proyección en perspectiva:
Implantación
Caso de proyección paralela Los pasos para efectuar la proyección paralela son: 1. Traslade VRP al origen 2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y. 3. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z. 4. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección paralela.
continuación El paso 1 se realiza mediante una matriz de traslación T(-VRP). El paso 2 se realiza mediante una matriz de rotación R dada por: Donde:
continuación El paso 3 es efectuado con una matriz de corte dada por Donde:
Corte para alinear al volumen de vista.
continuación El paso 4 se hace mediante una traslación seguida de un escalamiento. Las transformaciones son: En suma, las transformaciones para obtener Npar son:
Volumen de vista después de los pasos de transformación 1 a 3.
Resultados de las transformaciones Situación original
Paso 1, trasladar VRP al origen:
Paso 2, alinear sistema (u, v, n) con (x, y, z).
Paso 3, hacer DOP paralelo a eje z.
Paso 4, escalado y traslación a volumen canónico.
Imagen resultante
Proyección en perspectiva 1. Traslade VRP al origen 2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y. 3. Traslade para que el centro de proyección (COP), dado por PRP, este en el origen. 4. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z. 5. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección en perspectiva, la pirámide truncada definida por los 6 planos definida anteriormente. Los pasos 1 y 2 son los mismos que para el caso paralelo. El paso 3 es solo una traslación T(-PRP). Es fácil ver el paso 4 es la matriz de corte SHpar.
Sección transversal del volumen de vista después de los pasos 1, 2 y 3 de la transformación.
Sección transversal del volumen de vista antes y después del escalamiento.
Situación original:
Paso 1, trasladar VRP al origen:
Paso 2, alinear sistema (u, v, n) con (x, y, z).
Paso 3, traslación del centro de proyección COP al origen.
Paso 4, hacer DOP paralelo a eje z.
Paso 5, escalado y traslación a volumen canónico.
Imagen resultante
Tarea Genere las vistas de la casa que se muestran en los acetatos.
Tarea Escriba una archivo de texto con la especificación de un objeto en 3 D, el formato es: Número de puntos Lista de coordenadas de puntos Número de aristas Lista de aristas Datos para un cubo 8 000 110 001 111 011 12 12 23 34 41 15 26 37 48 56 67 78 85
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