TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Afinidad Ejercicio N 1 Hallar el

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TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Afinidad

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Afinidad

Ejercicio Nº 1. - Hallar el punto afín del B conociendo el eje de

Ejercicio Nº 1. - Hallar el punto afín del B conociendo el eje de afinidad y un par de puntos afines A y A'.

1. - Tomamos un punto C cualquiera, por C trazamos una paralela a la

1. - Tomamos un punto C cualquiera, por C trazamos una paralela a la dirección de afinidad A-A’, unimos A con C y obtenemos el punto 1 -1’, se une a continuación el punto 1 -1’ con A’ y obtenemos el punto C’ afín del C.

2. - Una vez que tenemos el punto C-C’ de la misma afinidad que

2. - Una vez que tenemos el punto C-C’ de la misma afinidad que la dada. Unimos B con C y obtenemos el punto 2 -2’ que unido con C’ nos determina el punto B’ afín del B.

Ejercicio Nº 2. - Hallar la figura afín del triángulo ABC conociendo el eje

Ejercicio Nº 2. - Hallar la figura afín del triángulo ABC conociendo el eje y un punto A' afín del A.

1. - Unimos los puntos afines A y A’ y obtenemos la dirección de

1. - Unimos los puntos afines A y A’ y obtenemos la dirección de afinidad. Por B y C trazamos paralelas a esta dirección A-A’

2. - Unimos A y B y determinamos el punto 1 -1’, unimos este

2. - Unimos A y B y determinamos el punto 1 -1’, unimos este con el A’ y obtenemos el punto B’ afín del B.

3. - Unimos C y B y determinamos el punto 2 -2’, unimos este

3. - Unimos C y B y determinamos el punto 2 -2’, unimos este con el B’ y obtenemos el punto C’ afín del C.

4. - Unimos A’ C’ y B’ obtenemos la figura afín de la dada.

4. - Unimos A’ C’ y B’ obtenemos la figura afín de la dada. También podríamos obtener el punto C trazando una paralela por A’ al ser la recta A-C paralela al eje también lo es la afín A’-C’.

Ejercicio Nº 3. - Hallar la figura afín del cuadrado ABCD dado.

Ejercicio Nº 3. - Hallar la figura afín del cuadrado ABCD dado.

1. - Determinamos la dirección de afinidad A-A’. Trazamos por los puntos B, C

1. - Determinamos la dirección de afinidad A-A’. Trazamos por los puntos B, C y D paralelas a la recta A-A’.

2. - Como la recta A-B es paralela al eje la recta afín A’-B’

2. - Como la recta A-B es paralela al eje la recta afín A’-B’ será también paralela al eje, por tanto por A’ trazamos la paralela a A-B y obtenemos B’.

3. - Como la recta A-D y B-C cortan al eje las afines A’-B’

3. - Como la recta A-D y B-C cortan al eje las afines A’-B’ y B’-C’ cortaran al eje en el mismo punto. Se une A’ y B’ con el punto donde A-D y B-C corta al eje y obtenemos los punto D’ y C’.

4. - Se unen los puntos A’, B’, C’ y D’ y obtenemos la

4. - Se unen los puntos A’, B’, C’ y D’ y obtenemos la figura afín de la fig. dada.

Ejercicio Nº 4. - Hallar la figura afín de un triángulo ABC, sabiendo que

Ejercicio Nº 4. - Hallar la figura afín de un triángulo ABC, sabiendo que la razón de afinidad es -1 y se trata de una afinidad ortogonal.

1. - Al ser una afinidad ortogonal y de razón -1 se trata en

1. - Al ser una afinidad ortogonal y de razón -1 se trata en realidad de una simetría axial. Por los puntos A, B y C trazamos perpendiculares al eje.

2. - Determinamos los puntos A’, B’ y C’ simétricos de A, B y

2. - Determinamos los puntos A’, B’ y C’ simétricos de A, B y C.

3. - Unimos los puntos A’, B’ y C’ y tenemos la fig. afín

3. - Unimos los puntos A’, B’ y C’ y tenemos la fig. afín de la dada.

Ejercicio Nº 5. - Conocidas dos figuras afines ABC y A‘ B‘ C' determinar

Ejercicio Nº 5. - Conocidas dos figuras afines ABC y A‘ B‘ C' determinar el punto afín de un punto dado P.

1. - Unimos los puntos A y A’ ( o B-B’ o C-C’) y

1. - Unimos los puntos A y A’ ( o B-B’ o C-C’) y tenemos la dirección de afinidad.

2. - Prolongamos A-B y A’-B’ que se cortan en el punto 1 que

2. - Prolongamos A-B y A’-B’ que se cortan en el punto 1 que es un punto del eje, prolongamos también C-B y C’-B’ y obtenemos el punto 2 que resulta otro punto del eje, se unen y se determina el eje de afinidad.

3. - Se une por ejemplo P con A, que se cortan en el

3. - Se une por ejemplo P con A, que se cortan en el punto 3, se une este punto con el A’ y determinamos el P’ afín del punto P.

Ejercicio Nº 6. - En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y

Ejercicio Nº 6. - En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L / AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF.

1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es

1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje

2º. - Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm. )

2º. - Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm. ) punto s y trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm. ) punto t, unimos s y t.

4º. - Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este

4º. - Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada en la razón de afinidad 3/4.

5º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B'

5º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la razón de 3/4.

6º. - Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con

6º. - Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto con B' y determinamos el vértice A'.

7º. - Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos

7º. - Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice D'.

8º. - Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos

8º. - Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos con D' y obtenemos el vértice F'.

9º. - Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

9º. - Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

10. - Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura

10. - Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afín del exágono dado.

Ejercicio Nº 7. - Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce

Ejercicio Nº 7. - Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'

1º. - Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C

1º. - Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos paralelas al eje.

2º. - Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto

2º. - Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el eje con B' y obtenemos el vértice A'.

3º. - Unimos a continuación C con B y el punto de corte con

3º. - Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con B' y obtenemos el vértice C'.

4º. - Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con

4º. - Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y obtenemos el vértice que nos falta D'

Ejercicio Nº 8. - Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines

Ejercicio Nº 8. - Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las figura afín de la dada.

1º. - La dirección de afinidad es la recta A-A'

1º. - La dirección de afinidad es la recta A-A'

2º. - Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H

2º. - Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la dirección de afinidad d. a.

3º. - Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y

3º. - Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el vértice B'.

4º. - Unimos B con G que pasa por C y F hasta que

4º. - Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con B' y obtenemos los vértices C', F' y G' 5º. - Unimos 2 con C', · 3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'. 6º. - Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

7º. - Unimos 2 con C', · 3 con F' y 4 con G'

7º. - Unimos 2 con C', · 3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.

8º. - Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

8º. - Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

Ejercicio Nº 9. - Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje

Ejercicio Nº 9. - Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del A.

1º. - La dirección de afinidad es la recta A-A'.

1º. - La dirección de afinidad es la recta A-A'.

2º. - Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las

2º. - Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección afinidad A-A'.

3º. - Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto

3º. - Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el punto A' y obtenemos el punto B'.

4º. - Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al

4º. - Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y D', que son los otros dos vértices de la figura afín.

5º. - También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje

5º. - También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son sus afines A'-D' y B'-C' Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.

Ejercicio Nº 10. - Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A

Ejercicio Nº 10. - Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:

1º. - Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2: 1

1º. - Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2: 1

2º. - Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.

2º. - Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.

3º. - Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección

3º. - Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.

4º. - Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el

4º. - Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el vértice B'.

5º. - Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el

5º. - Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando obtenemos el punto C'.

6º. - Prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto

6º. - Prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este con C' y obtenemos el vértice D'.

Ejercicio Nº 11. - Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes

Ejercicio Nº 11. - Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elipse

1º. - La dirección de afinidad (d. a. ) es la recta que une

1º. - La dirección de afinidad (d. a. ) es la recta que une P y P' puntos donde se cortan r-s y r'-s'.

2º. - Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan

2º. - Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r - r' y s-s' puntos 1 -1' y 2 -2'.

3º. - Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a

3º. - Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este punto trazamos la recta 3 -3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por 3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la anterior en C' afín del C.

4º. - Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y

4º. - Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.

5º. - Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este

5º. - Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.

6º. - Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A',

6º. - Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A', punto M’

7º. -Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto

7º. -Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’ que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N.

8º. -Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N'

8º. -Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N

9º. - Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.

9º. - Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.

10º. - Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las

10º. - Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.

11º. - Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus puntos

11º. - Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse paralelas a los ejes tal como vemos en la figura.

Ejercicio Nº 12. - Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que

Ejercicio Nº 12. - Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2: 1

1º. -Dibujamos los datos a escala 2: 1

1º. -Dibujamos los datos a escala 2: 1

2º. - La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.

2º. - La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.

3º. - Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad

3º. - Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son puntos de los ejes.

4º. - Unimos N y M con O y O' y estas rectas son

4º. - Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de la circunferencia.

5º. - Determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D.

5º. - Determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D. Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.

6º. - Por ultimo se dibuja la elipse.

6º. - Por ultimo se dibuja la elipse.

Ejercicio Nº 13. - Obtener la figura transformada del pentágono regular ABCDE de lado

Ejercicio Nº 13. - Obtener la figura transformada del pentágono regular ABCDE de lado AB conocido, tras aplicarle primero una afinidad de eje e y conocido un punto A' afín del A y posteriormente una homotecia de centro O y siendo A'' el transformado de A'. Dibuja el pentágono regular a la izquierda del lado AB.

2º. - Comenzamos por construir el pentágono regular como ya sabemos.

2º. - Comenzamos por construir el pentágono regular como ya sabemos.

3º. - Seguimos la construcción del pentágono.

3º. - Seguimos la construcción del pentágono.

4º. - Se termina el pentágono.

4º. - Se termina el pentágono.

5º. - Determinamos la dirección de afinidad A-A’.

5º. - Determinamos la dirección de afinidad A-A’.

6º. - Por los vértices C, D y E trazamos paralelas a la dirección

6º. - Por los vértices C, D y E trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A’.

7º. - Unimos E-A y prolongamos para que corte al eje y se une

7º. - Unimos E-A y prolongamos para que corte al eje y se une con A’ para determinar E’.

8º. - Unimos D con A hasta que corte al eje y se une

8º. - Unimos D con A hasta que corte al eje y se une este punto del eje con A’ y nos determina D’.

9º. - Prolongamos el lado D-C para que corte al eje y se une

9º. - Prolongamos el lado D-C para que corte al eje y se une este punto del eje con D’ y nos determina C’, como el punto B es un punto doble B-B’, tenemos la figura afín de la dada.

10º. - La homotecia tiene la propiedad de que los puntos se encuentran en

10º. - La homotecia tiene la propiedad de que los puntos se encuentran en línea recta con el centro de homotecia y las rectas son paralelas, tal como vemos con O-A’-A’’.

11º. - Unimos O con E’ y por A’’ trazamos una paralela al lado

11º. - Unimos O con E’ y por A’’ trazamos una paralela al lado A’-E’ y determinamos el vértice E’’.

12º. - Unimos O con D’ y por E’’ trazamos una paralela al lado

12º. - Unimos O con D’ y por E’’ trazamos una paralela al lado D’-E’ y determinamos el vértice D’’.

13º. - Unimos O con C’ y por D’’ trazamos una paralela al lado

13º. - Unimos O con C’ y por D’’ trazamos una paralela al lado D’-C’ y determinamos el vértice C’’.

14º. - Unimos O con B’ y por A’’ trazamos una paralela al lado

14º. - Unimos O con B’ y por A’’ trazamos una paralela al lado A’-B’ y determinamos el vértice B’’. Unimos B’’ con C’’ y tenemos la transformada solicitada.