PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI Klik Shapes Untuk

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI Klik Shapes Untuk ke subbab materi Atau keluar Keluar Program

VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri Suatu sudut dalam derajat atau radian. Dari bentuk-bentuk rumus periodisasi fungsi trigonometri untuk fungsi sinus, cosinus dan tangen klita dapat menentukan penyelesaian persamaan trigonometri. A. Persamaan trigonometri berbentuk sin x°= sin α°. persamaan sin x = sin α, dapat ditentukan himpunan penyelesaianya dengan menggunakan Rumus persamaan: I. sin x = sin α , yaitu : x 1= α + k. 360°, atau x 2 = (180 – α) + k. 360 , k ⋵ bil bulat Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan sin x = 0. 5 , interval 0° ≤ x ≤ 360° Jawab: sin x= sin 30° X 1= α + k. 360°, atau x 2 = (180 – α) + k. 360° X 1= 30° + k. 360°, atau x 2 = (180 – 30°) + k. 360° Untuk k = 0 , x 1 = 30° atau x 2 = 150° k = 1 , x 1 = 390° atau x 2 = 510° Karena interval 0° ≤ x ≤ 360°, maka untuk k = 1 tidak termasuk. Jadi, Hp = {30°, 150°} Ke Menu Utama

B. Persamaan trigonometri berbentuk cos x°= cos α°. persamaan tan x = tan α, dapat ditentukan himpunan penyelesaianya dengan menggunakan Rumus persamaan: I. cos x = cos α , yaitu : x 1= α + k. 360°, atau x 2 = (-α )+ k. 360 Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan cos x – cos 120°, interval 0° ≤ x ≤ 360° Jawab: cos x = cos 120°, x 1= α + k. 360°, atau x 2 = (-α )+ k. 360 x 1= 120° + k. 360°, atau x 2 = (– 120°) + k. 360° Untuk k = 0 , x 1 = 120° atau x 2 = – 120° k = 1 , x 1 = 480° atau x 2 = 240° Karena interval 0° ≤ x ≤ 360°, maka untuk x= 480° dan x= – 120° , tidak termasuk. Jadi, Hp = {120°, 240°} Ke Menu Utama

C. Persamaan trigonometri berbentuk tan x°= tan α°. persamaan tan x = tan α, dapat ditentukan himpunan penyelesaianya dengan menggunakan Rumus persamaan: I. tan x = tan α , yaitu : x 1= α + k. 180° Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan tan 2 x = tan �� interval 0° ≤ x ≤ 2�� Jawab: tan 2 x = tan 180° x= α + k. �� 2 x= �� + k. �� x= ½�� + k. ½�� Untuk k = 0 , x = ½�� k = 1 , x = �� k = 2, x= 1½�� k = 3, x= 2�� k = 4, x= 2½�� Karena interval 0° ≤ x ≤ 2�� , maka untuk x= 2½�� tidak termasuk. Jadi, Hp = {½�� , 1½�� , 2�� } Ke Menu Utama

D. Penyelesaian Persamaan trigonometri sin px°= a, cos px°= a, dan tan px°= a Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin px°= a, cos px°= a, Dan tan px°= a, terlebih dahulu kita mengubah konstanta a menjadi perbandingan Trigonometri yang sama dengan perbandingan trigonometri pada ruas kiri. Catatan : Persamaan-persamaan trigonometri sin px°= a, cos px°= a, Dan tan px°= a berlaku pula dinyatakan dalam radian Ke Menu Utama Selanjutnya

Contoh : 1. Himpunan penyelesaian dari 2 sin (2 x + 120)° + 1 = 0 dengan 0°≤ x ≤ 360° adalah… Jawab! Ke Menu Utama Sebelumnya

E. Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus. Rumus-rumus. (!) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α β) 2 cos α sin β = sin (α + β) sin (α β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = cos (α + β) + cos (α – β) (!!) sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A B) sin A sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A B) cos A cos B = 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A B) Untuk menyelesaikan Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus. Maka kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selish dalam trigonopmetri Untuk lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini……………! Ke Menu Utama Selanjutnya

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5 x + sin 3 x = 0, dalam interval 0≤ x ≤ 360°. Jawab. ! Sin 5 x + sin 3 x = 0 ⇔ 2 sin ½ (5 x + 3 x) cos ½ (5 x 3 x) ⇔ sin 4 x cos x = 0 ⇔ sin 4 x = 0 atau cos x = 0 Dari persamaan itu diperoleh : sin 4 x = 0 = sin 0° Cos x = 0 = cos 90° ⇔ 4 x = k × 360° atau 4 x = 180° + k. 360° ⇔ x = ± 90° + k. 360° ⇔ x = k × 90° atau x = 45° + k. 90° ⇔ x = 90° +k. 360° atau x = - 90° +k. 360° ⇔ untuk k = 0, x = 0° atau x = 45° ⇔ untuk k = 0 x = 90° atau x = - 90° k = 1, x = 90° atau x = 135° k = 1, x = 470° atau x = 270° k = 2, x = 180° atau x = 215° k = 3, x = 270° atau x = 315° k = 4, x = 360° atau x = 405° Jadi Hp = {0°, 45°, 90°, 180°, 135°, 215°, 270° , 315°, 360°} Ke Menu Utama Sebelumnya

F. Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen. persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen akar-akarnya Dapat ditentukan dengan cara 1. Dengan memfaktorkan 2. Dengan melengkapi kuadrat sempurna 3. Dengan menggunakan rumus ABC Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan Menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum. 2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan 3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4 ac) b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}. Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi maka persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong). Agar lebih jelas lihatlah contoh berikut…. ! Ke Menu Utama Selanjutnya

Contoh 1. Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360° Jawab ! 2 sin²x = 3 sin x - 1 ⇔ 2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0 ⇔ 2 x² - 3 x + 1 = 0 misal sin x = x ⇔ (2 x - 1) (x -1)= 0 x= ½ x = 1 a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½ ⇔ sin x = sin 30° ⇔ x = 30° + k. 360° atau x = (180°- 30°) + k. 360° ⇔ k=0, x= 30° atau x = 150° k=1, x= 390° atau x= 510° b. Dari persamaan diperoleh sin x =1 ⇔ sin x = sin 90° ⇔ x= 90 + k. 360° atau x = (180 – 90) ° + k. 360 ° ⇔ k=0, x=90° k=1, x=450° Maka Hp = {30°, 90°, 150°} Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Contoh. 2 Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤ 90°, maka cos x adalah……. . Jawab ! 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 ⇔ 2 x² - 7 x +3 = 0 diterima ⇔ (2 x – 1)(x – 3)=0 ⇔x=½ x=3 ditolak Maka, sin x =½ dan sin x = 3 Sin x = ½ = sin 30° x = 30° + k. 360° atau x = 150° + k. 360° Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150° dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30° Ke Menu Utama Sebelumnya

G. Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam Sinus, cosinus dan tangen. Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan. Perhatikan contoh dibawah ini. 1. Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2 x – 10 sin x = - 11 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360° solusi ! Cos 2 x – 10 sin x = -11 ⇔ 1 - 2 sin²x – 10 sin x = -11 Ingat cos 2 x = 1 – 2 sin²x ⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0 ⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0 ⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima) ⇔sin x = 1 = 90° x = 90° + k. 360° Untuk k = 0 maka x = 90° Jadi penyelesaianya adalah 90° Ke Menu Utama Selanjutnya

G. PERTIDAKSAMAAN FUNGSI TRIGONOMETRI A. Pertidaksamaan Fungsi trigonometri. Pertidaksamaan trigonometri adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri dengan peubah sudutnya belum diketahui Himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dapat ditentukan. Dengan 2 cara: 1. Diagram Garis Bilangan. 2. Sketsa Kurva Fungsi Trigonometri. Agar lebih jelas perhatikan copntoh dibawah ini……! Misal : Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x ≤ ½ dalam interval 0 ≤ x ≤ 360°. Cara 1. Diagram Garis Bilangan. Langkah 1: tentukan nilai batas dari pertidaksamaan, nilai tersebut diperoleh dengan menyelesaikan persamaan trigonometri. Sin x = ½ = sin 30° x = 30° + k. 360° atau x = (180 – 30)° + k. 360° Untuk k = 0 maka x = 30° atau x = 150° Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Langkah 2 : Gambarkan setiap batas nilai dari satu periode tersebut pada garis bilangan. • 0 • 30° • • 150° 360° x Langkah 3 : tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval. Dari garis bilangan diatas terbagi 3 interval yaitu : 1. 0≤ x ≤ 30° 3. 150°≤ x ≤ 360° misal kita ambil nilai x = 0 maka : nilai x = 180° maka: ⇔ x = 30° + k. 360° ⇔ 0 = 30° + k. 360° ⇔ 180° = 150° + k. 360° - 30° = k. 360° k= , 2. 30° ≤ x ≤ 150° misal kita ambil nilai x = 120° maka: ⇔ x = 30° + k. 360° ⇔ 120° = 30° + k. 360° 90° = k. 360° k= + , • 0 ( ) • (+) • ( ) • 30° 150° 360° Catatan : dalam menentukan tanda pada interval ambil nilai x yang lebih dengan batas nilai. Ke Menu Utama x dekat Sebelumnya Selanjutnya

Langkah 4 : tentukan Hp pertidaksamaan, yaitu mengambil tanda sama dengan tanda dari pertidaksamaan. sin x ≤ ½ , maka yang diminta kurang dari sama dengan 0, maka diambil Interval yang bertanda negatif. Karena pertidaksamaan tersebut memiliki tanda kurang dari sama dengan maka batas nilai dari pertidaksamaan tersebut masuk. • 0 ( ) (+) • 30° 150° • (x = 30° + k. 360°) Ke Menu Utama ( ) • 360° x (x = 150° + k. 360°) Sebelumnya Selanjutnya

Cara II. Seketsa grafik fungsi trigonometri Cara menentukan tanda, untuk x = π, maka sin π ≤ berarti daerah 150° ≤ x ≤ 360° bertanda negatif (-), tanda daerah ini berubah pada daerah Disebelahnya, tetapi apabila pertidaksamaan itu berpangkat genap maka Tanda daerah tetap (tidak berubah tanda pada daerah disampingnya ) Oleh karena tanda pertidaksamaan adalah ≤ maka daerah yang memnuhi Adalah bertanda negatif. Jadi Hp adalah {x | 0 ≤ x ≤ 30° atau 150°≤ x ≤ 360°} O° Ke Menu Utama 30° 150° 360° Sebelumnya Selanjutnya

A. Bentuk a cos x° + b sin x° I. Mengubah bentuk a cos x° + b sin x° menjadi bentuk k cos ( x – a). Bentuk a cos x° + b sin x° dapat diubah ke dalam bentuk k cos (x – α)° dengan k adalah konstanta positif dan 0 ≤ x ≤ 360°, nilai-nilai k dan α ditentukan oleh nilai-nilai a dan b dengan cara pengerjaan: a cos x° + b sin x° = k cos (x – α)° a cos x° + b sin x° = k cos x° cos α° + k sin x° sin α° Maka : a = k cos α° , b = k sin α° k² cos²α° + k² sin²α° = a²+ b² k² (cos²α° + sin²α° ) = a²+ b² k² = a²+ b² Ketentuan : 1. α° di kuadran I jika a˃0 & b˃0 2. α° di kuadran II jika a˂0 & b˃0 3. α° di kuadran III jika a˂0 & b˂0 4. α° di kuadran IV jika a˃0 & b˂0 Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Contoh : 1. Ubahlah bentuk 4 cos x – 4 sin x ke dalam bentuk k sin (x+α) , dengan k ˃ 0 dan 0 ≤ x ≤ 360°. Solusi. 4 cos x – 4 sin x = k sin (x+α) 4 cos x – 4 sin x = k sin x cos α + k cos x sin α k sin α = 4 → a = 4 K cos α = - 4 → b = - 4 Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

II. Penyelesaian Persamaan a cos x° + b sin x° = c Untuk menentukan penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk a cos x° + b sin x° = c, dengan a, b dan c �� R dan ≠ 0 , dapat diselesaikan Dengan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1 : ubahlah bentuk trigonometri a cos x° + b sin x°, kedalam bentuk k cos (x – α)° dengan dan atau ke dalam bentuk k sin (x – α)° dengan dan . Langkah 2 : kemudian dengan mengganti a cos x° + b sin x°= c dengan k cos (x – α)° atau k sin (x – α)° maka persamaan itu menjadi Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Langkah 3 : Syarat persamaan dapat diselesaiakan Perhatikanlah contoh dibawah ini. ! Contoh 1: Agar persamaan (a+1) cos x + a sin x = a + 2, memiliki Penyelesaian, tentukan batas a! Jawab ! + Ke Menu Utama -1 • - 3 • + Sebelumnya Selanjutnya

III. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x°. Nilai-nilai stasioner (nilai maksimum atau minimum) fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x° + b sin x°. Dengan dan Adalah. ! Contoh 1: Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

IV. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c Nilai-nilai stasioner (nilai maksimum atau minimum) fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x° + b sin x°+ c = k cos ( x – α) + c Dengan dan adalah! Contoh !. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = 8 cos x° + 6 sin x° + 5 Solusi! Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

V. Menggambar Grafik Fungsi y = f(x) Langkah – langkah menggambar grafik fungsi: Langkah 1 : Ubahlah fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x°+c menjadi fungsi f(x) = k cos ( x – α)°+c. Lankah 2 : Tentukan titik-titik stasionernya. 1. Titik maksimum. 2. Titik minimum. Langkah 3 : Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat. - titik potong dengan sumbu –x diperoleh bila y =0 - titik potong dengan sumbu –y diperoleh bila x =0 Langkah 4 : Gambarkan titik-titik (x, y) yang diperoleh pada langkah 2 dan 3 pada bidang kartesius. Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

2 y 1 0 30° 120° 210° 300° 360° x 1 -2 Catatan : dalam menggambar grafik fungsi trigonometri dapat juga menggunakan cara Tabel dan Tranlasi grafik fungsi. Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

VI. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dalam fungsi Trigonometri. Contoh !: Seketsalah kurva fungsi y=f(x)= 2 sin²x – 2 sin x + 1 dalam interval -180 ≤ x ≤ 180° Solusi ! 1. Menentukan titik potong dengan sumbu kordinat. a. Titik potong dengan sumbu x , jika y = 0 D = b² - 4 ac 2 sin²x – 2 sin x + 1 = 0 D = (-2)² - 4. 2. 1= - 4 Karena D ˂ 0, maka grafik tidak memotong sumbu –x. ( ingat sifat-sifat grafik fungsi kuadrat). b. Titik potong dengan sumbu y jika x = 0. y = 2 sin²x – 2 sin x + 1 = 0 y = 2 sin² 0 – 2 sin 0 + 1 = 1 Titik potong dengan sumbu- y adalah (0, 1) Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

2. Menentukan titik Stasioner. y = 2 sin²x – 2 sin x + 1 y’= 4 sin x cos x – 2 cos x = 2 sin 2 x – 2 cos x ( Turunan pertama). y’’= 4 cos 2 x + 2 sin x (Turunan Kedua). Nilai Setasioner dicapai jika y’ = 0, maka: 4 cos 2 x + 2 sin x = 0 ⇔ 2 cos x (2 sin x – 1) = 0 ⇔ cos x = 0 atau sin x = ½ cos x = 0 = cos 90° Sin x = ½ = sin 30° x = 90°+k. 360° or x = 90°+k. 360° x = 30°+k. 360° or x = 150°+k. 360° Untuk k = 0 maka x=90° or x = -90° Untuk k = 0 maka x=30° or x = 150° *Untuk x = 90° ⇔ y’’= 4 cos 2 x + 2 sin x = 4 cos 2. 90° + 2 sin 90° ⇔ 4 cos 180° + 2 sin 90° = 4. (-1) + 2(1) = -2 -2 ˂ 0 maka fungsi f adalah maksimum. X = 90°→ y maks = 2 sin² 90° - 2 sin 90° + 1 = 1 Titik maksimumnya adalah (90° , 1) Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

*Untuk x = - 90° ⇔ y’’= 4 cos 2(-90°) + 2 sin (-90°) = 4 cos 180° + 2 - sin 90° ⇔ 4 (-1)- 2 (1) = 4. (-1) - 2(1) = -6 ˂ 0 (fungsi maksimum) X = -90°→ y maks = 2 sin²( -90°) -2 sin (-90°) + 1 = 5 Titik maksimumnya adalah (-90° , 5) *Untuk x = 30° ⇔ y’’= 4 cos 2(30°) + 2 sin (30°) = 4 cos 60° + 2 sin 30° ⇔ 4 (½)- 2 (½) = 2+ 1 = 3 ˃ 0 (fungsi minimum) X = 30°→ y maks = 2 sin²( 30°) - 2 sin (30°) + 1 = ½ Titik maksimumnya adalah (30° , ½) *Untuk x = 150° ⇔ y’’= 4 cos 2(150°) + 2 sin (150°) = 4 cos 300° + 2 sin 150° ⇔ 4 (½)- 2 (½) = 2+ 1 = 3 ˃ 0 (fungsi minimum) X = 30°→ y maks = 2 sin²( 150°) - 2 sin (150°) + 1 = ½ Titik maksimumnya adalah (150° , ½) CATATAN : COS (-Β) = COS Β SIN (-Β) = - SIN Β TAN (-Β) = TAN Β Ke Menu Utama Sebelumnya Selanjutnya

*Untuk x = - 180°→ y = 2 sin² (-180°) – 2 sin (-180°)+1 = 1, titiknya (-180°, 1) *Untuk x = 180°→ y = 2 sin² (180°) – 2 sin (180°)+1 = 1, titiknya (180°, 1) y (-90°, 5) 5 y=f(x)= 2 sin²x – 2 sin x + 1 4 3 2 (-180°, 1) -180° Ke Menu Utama 1 (0, 1) ½ - 90° 0 (90°, 1) (150°, ½) (30°, ½) 30° (180°, 1) 90° 150° x 180° Sebelumnya