BAB 2 Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Standar

BAB 2 Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat Standar Kompetensi: q Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat Kompetensi Dasar: q Memahami konsep fungsi q Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat q Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat q Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat q Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat q Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat dan penafsirannya.

Fungsi A. Fungsi atau Pemetaan a p b c q A f r B Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A B), maka: i. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f, ii. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f, iii. himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

C. Beberapa Macam Fungsi Khusus 1. Fungsi Konstan Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya. f : x f(x) = k dengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan. 2. Fungsi Identitas Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. 3. Fungsi Linear Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

4. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c R, a 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola. 5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut. Definisi Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan 1 x 1 = x, jika x ≥ 0 x, jika x < 0

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif 1. Fungsi Surjektif g f 1 2 3 4 a b c d A B A 1 2 3 4 a b c B Definisi Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan f B atau W = B. Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W B.

2. Fungsi Injektif 1 2 3 A f a 1 g a b 2 b c 3 c B A B Definisi Fungsi f : A B disebut fungsi satu-satu atau 1 fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a 1 dan a 2 A dengan a 1 a 2 berlaku f(a ).

3. Fungsi Bijektif g f 0 a 0 1 b 1 2 c A B 2 A a b c B Definisi Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x. Y Contoh: 4 (0, 4) y = f(x) = -2 x + 4 3 y = f(x) = 2 x + 4 2 1 0 -1 1 (2, 0) 2 3 4 5 -2 -3 -4 (4, -4) 6 X

Fungsi Kuadrat Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f(x) = ax 2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Contoh: • f(x) = x² - 1 • f(x) = 2 x² - 6 x • f(x) = x² - 4 x + 3 • f(x) = -3 x² + 4 x – 3

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat a. Titik Potong dengan Sumbu X X X X q Jika b 2 4 ac 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. q Jika b 2 4 ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit. q Jika b 2 4 ac 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

b. Titik Potong dengan Sumbu Y Y Y 0 X Y Y X 0 Y Y 0 X 0 0 X X 0 X q Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0. q Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0. q Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.

2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri Mari kita tinjau persamaan parabola berikut y = ax 2 + bx + c b y = a (x 2 + a x)+ c 2 b b 2 y = a (x + a x + 2 ) 2 + c 4 a 4 a 2 b y = a (x + 2 a )2 b 4 ac 4 a 1. Parabola y = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c R dan a 0, mempunyai titik puncak atau titik balik b (b 2 4 ac) 2 a’ 4 a 2. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola ke bawah. 3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax 2 + bx + c adalah x = b 2 a

Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Langkah 1 Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y. Langkah 2 Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya. Langkah 3 Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

Membentuk Fungsi Kuadrat a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x 1, 0) dan B (x 2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x x 2) b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x x 1)2 c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x xp)2 + y d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x 1 , y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3). y = f(x) = ax 2 + bx + c

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Definisi Misalkan a, b, c R dan a 0, maka persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, - a adalah koefisien dari x 2 - b adalah koefisien dari x - c adalah suku tetapan

Akar-Akar Persamaan Kuadrat Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara: a. memfaktorkan b. melengkapkan kuadrat sempurna, c. menggunakan rumus kuadrat, dan d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax 2 + bx + c. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a 0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ditentukan oleh x 1 = b b 2 4 ac 2 a atau x 2 = b b 2 4 ac 2 a

Diskriminan Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b 2 4 ac, 1. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional. b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional. 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 (a 0) ditentukan dengan rumus kuadrat: x 1 = b b 2 4 ac 2 a atau x 2 = b b 2 4 ac 2 a Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0; dengan a 0, Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus: x 1 + x 2 = b a dan x 1 · x 2 = c a

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya a. Memakai Faktor apabila x 1 dan x 2 merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus: b. Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk

Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu: 1. ax 2 + bx + c < 0 2. ax 2 + bx + c ≤ 0 3. ax 2 + bx + c 0 4. ax 2 + bx + c ≥ 0 dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a 0. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu: a) Sketsa grafik fungsi kuadrat b) Garis bilangan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Y 4 y = x 2 4 x + 3 3 y 0 2 1 y =0 y <0 0 1 1 2 3 4 5 X 2 Langkah 1 Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c atau parabola y = ax 2 + bx + c Langkah 2 Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c ≤ 0, ax 2 + bx + c 0, atau ax 2 + bx + c ≥ 0.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 4 x + 3 < 0 Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan x 2 4 x + 3 = 0 (x 1)(x 3) = 0 x = 1 atau x = 3 1 + 0 3 + 1 2 3 4 nilai-nilai uji Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = xl 1 < x < 3}