SAP Eliminasi Persamaan trigonometri sederhana Persamaan trigonometri lanjutan

SAP � � � � Eliminasi � Persamaan trigonometri sederhana � Persamaan trigonometri � lanjutan � Segitiga menurut bentuk dalil segitiga Macam-macam segitiga Garis-garis istimewa pada segitiga Dalil sinus Dalil cosinus Macam-macam grafik fungsi Dalil-dalil siklometri Rumus –rumus fungsi siklometri

ELIMINASI � Sekiranya diketahui dua buah persamaan yang masing-masingnya mempunyai satu bilangan yang tidak dikenal yaitu x. Maka x dapat dihilangkan. Jadi dengan sendirinya tidak akan ada persamaan yang sama dalam kedua persamaan itu, sekiranya koefisien dari kedua persamaan itu tidak mempunyai persyaratan yang mesti dipenuhi keduanya. Syarat yang harus dipenuhi itu ialah menghilangkan x dari kedua persamaan itu. Menghilangkan x dari kedua persamaan itu disebut mengeliminasikans Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL ELIMINASI Eliminasilah x dan y dari persamaan ini: Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL ELIMINASI Umpamakan tg x = t dan tg y = u, maka sehingga dengan permisalan ini di peroleh : Kembali ke SAP

Dari dua persamaan yang pertama diperoleh jika, a≠c dan p≠r: � sehingga mempergunakan keikatannya dengan persamaan yang ketika diperoleh : � atau umpama a = b, maka persamaan yang pertama menjadi palsu, sedangkan kalau a = c, maka persamaan dalam setiap kejadian akan identik. Seterusnya kalau p ≠q, maka y dapat diselesaikan dengan jalan dua penyelesaian dan seterusnya x dapat diselesaikan dari persamaan yang ketiga. Akhirnya diperoleh hasil persamaan dengan eliminasi ini : (a≠b, p≠q) Atau a =b = c (dengan catatan p = q ≠r) Atau p = q = r (dengan catatan a = b ≠c) Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui. Contoh persamaan trigonometri adalah 2 sin x = 1, tan x + = 0, dan cos x = Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah mencari sudut × yang membuat persamaan menjadi benar. Dalam menyelesaikan persamaan trigonometri kita gunakan operasi aljabar dan juga identitas trigonometri jika diperlukan. Beberapa persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran dan menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi trigonometri saja. � Kembali ke SAP

Berikut ini akan diberikan penyelesaian umum dari persamaan trigonometri: 1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positif di kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360°. Dengan demikian, penyelesaian dari persamaan sin x = sin α adalah x = α + k. 360° atau x = (180 – α) + k. 360 °. dengan k = 0, ± 1, ± 2, … 2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyai periode dasar 360°, sehingga penyelesaian dari cos x = cos α adalah x = α + k. 360° atau x = (- α) + k. 360°. dengan k = 0, ± 1, ± 2, … 3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan III serta periode dasarnya adalah 180°, sehingga penyelesaian dari tan x = tan α adalah x = α + k. 180° dengan k = 0, ± 1, ± 2, … Kembali ke SAP �

LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA � Tentukan solusi dari sin x + sin x cos x = 0 untuk 0° ≤ x < 360° � Tentukan solusi dari cos² x + sin x – 1 = 0 untuk 0° ≤ x < 360° Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA � Soal pertama menggunakan penyelesaian pemfaktoran: Sin x + sin x cos x = 0 sin x (1 + cos x) = 0 a. sin x = 0 b. 1 + cos x = 0° cos x = -1 x = 180° Jadi, solusinya adalah 0° dan 180° � Soal kedua menggunakan penyelesaian menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi trigonometri cos² x + sin x – 1 = 0 (subtitusi cos² x = 1 – sin² x) 1 - sin² x + sin x – 1 = 0 sin x - sin² x = 0 sin x (1 – sin x) = 0 a. sin x = 0 b. 1 – sin x = 0°, 180° sin x = 1 x = 90° Jadi, solusinya adalah 0°, 90°, dan 180° Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN Dibawah ini akan di bicarakan persamaan-persamaan yang penyelesaiannya dapat di kembalikan kepada a cos x+b sin x= c tipenya adalah � A tg x+ b cot x + c= 0 (a dan b ≠ c) Persamaan ini dapat di jadikan menjadi kuadrat dalam tg x, namun pendapat tidak secara logaritms dan kurang mantap dalam cara perhitungan. Supaya berbentuk logaritmis dan kedua bagian kiri dan kanan sama-sama di kalikan dengan 2 sinx cos x, sehingga persamaan berbentuk (a-b) cos 2 x-c sin 2 x= a+b. Bentuk dirubah begitu rupa sehingga menjadi bentuk : � Cos (2 x+ϕ) Sin x sin (x-a) = p cos 2 x. Sesudah kedua ruas di kalikan denga 2, maka di peroleh persamaan seperti berkut : Cos a – cos (2 x-a) = p (1+ cos 2 x), bentuk ini serupa dengan bentuk a cos + b sin x = c Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN � Carilah x dari sin x + cos x + tg x + cotg x ≠sec x + cosec x = a! Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN � A sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d. Karena sin x cos x= ½ sin 2 x dan kuadrat dari sin x cos x dapat dikembalikan kepada cos 2 x maka di perbanya kedua ruas dengan 2, dan persamaan di rubah menjadi: A (1 -cos 2 x)+b sin 2 x + c (1 -cos 2 x) = 2 d, (c-a) cos 2 x +b sin 2 x= 2 d-a-c dan seterusnya. Persamaan juga dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat dalam tg x. � Tg (x+a) + tg (x-a) = b. Dengan merubah tg x dengan sin x dan cos x, dalam mengalikan sekalian suku dengan penyebut, maka di peroleh : sin 2 x= b cos (x+a)cos (x-a )= ½ b (cos 2 x+ cos 2 a) : maka di peroleh : -b cos 2 x + 2 sin 2 x = b cos 2 a. Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN � Bentuk soal di atas di tulis dengan sin x dan cos x seluruhnya makan di perolehlah : dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan persamaan terakhir menjadi Kembali ke SAP

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA 1. Jika dua buah sisi sebuah segitiga tidak sama panjang, maka sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang. Pada ΔABC, BC > AB ⇒ ∠BAC > ∠ACB Bukti: B 1 1 A D 2 2 ΔABD samakaki ∠DAB = ∠ADB = ∠DAC + ∠ACD ∠DAB = ∠DAC + ∠ACD sehingga: ∠DAB + ∠DAC > ∠DAC + ∠ACD ∠BAC > ∠ACD atau ∠BAC > ∠ACB Kembali ke SAP C

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA 2. Jika dua buah sudut pada sebuah segitiga tidak sama, maka sisi terpanjang terletak di hadapan sudut terbesar Pada ΔABC, ∠A > ∠C ⇒ BC > AB Bukti: B A C Digunakan bukti tidak langsung. Ada 3 kemungkinan hubungan antara BC dan AB yaitu: 1) BC < AB 2) BC = AB 3) BC > AB 1) Jika BC < AB, maka ∠A < ∠C (menurut Teorema I) 2) Jika BC = AB, maka ∠A = ∠C. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi BCsalah =AB 3) Jadi kemungkinan yang benar BC > AB Kembali ke SAP

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA 3. Dalam sebuah segitiga, jumlah panjang dua buah sisi, lebih panjang dari panjang sisi yang ketiga Jika pada ΔABC, AC yang panjangnya b adalah sisi terpanjang pun, b < a + c Kembali ke SAP

MACAM-MACAM SEGITIGA � Jenis-jenis segitiga dapat ditinjau dari berdasarkan : Panjang sisi-sisinya ; (i) Segitiga sembarang (ii) Segitiga sama kaki (iii) Segitiga sama sisi � Besar sudut-sudutnya (i) Segitiga lancip (0°<x<90°) (ii)Segitiga tumpul (90°<x<180°) (iii)Segitiga siku-siku (90°) � Panjang sisi dan besar sudut (i) Segitiga siku-siku sama sisi (ii) Segitiga tumpul sama kaki � Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA 1. 2. Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut ini a. ∆ ABC dengan < A=60°, < B=60°, dan < C=60° b. ∆ PQR dengan PQ=7 cm, PR=5 cm, RQ=7 cm Dari segitiga yang ada di bawah ini kelompokkan yang mana merupakan Segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga lancip, segitiga siku, segitiga tumpul. a Kembali ke SAP b

JAWABAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA 1. 2. a. segitiga sama sisi : karena < A=< B=< C, masing-masing sudut sama besar. b. segitiga sama kaki : karena besar dari PQ=RQ. - gambar A menunjukkan segitiga sama sisi - gambar b menunjukkan segitiga siku-siku Kembali ke SAP

GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA 1. 2. 3. 4. Garis Tinggi Garis Bagi Garis Berat Garis sumbu c c c A B d d C D d Gambar A , garis cd pada gambar B, garis cd gambar C, garis cd Merupakan Garis bagi. Merupakan garis tinggi Merupakan garis berat Kembali ke SAP

DALIL SINUS � Perhatikan gambar di bawah berikut: � Pada gambar diatas, ΔABC yang adalah segitiga lancip dan tumpul. Pada masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h. Pada gambar (b), <CAD = 180° - A dan sin <CAD = sin (180° - A) = sin A. Untuk kedua segitiga kita dapatkan: � � Sin A = atau h = b sin A dan, Sin B = atau h = a sin B Sehingga a sin B = b sin A. Kembali ke SAP

� � Dengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B diperoleh = Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan cara yang sama diperoleh: = Gabungan dari kedua persamaan diatas kita peroleh aturan sinus berikut ini. Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta isi-isi dihadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c berlaku = = Perlu diperhatikan bahwa aturan sinus tersebut dapat digunakan dalam perhitungan pada segitiga, jika diketahui: 1. Dua sudut dan sembarang sisi 2. Dua sisi dan satu sudut di depan salah satu sisi Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL DALIL SINUS � Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC jika A = 30°, B = 70°, dan a = 4 � Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika a = 2, b = 6, dan A = 20° Kembali ke SAP

Kembali ke SAP JAWABAN SOAL DALIL SINUS � Sketsa segitiga ABC � sudut C dengan mudah ditentukan, yaitu C = 180° - A – B = 180° - 30° – 70° = 80° Untuk mencari b, gunakan pasangan pertama dan kedua dari aturan sinus, yaitu = atau b = = = 7, 52 Gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c, = atau c = = 7, 88 Jadi, C = 80°, b = 7, 52 dan c = 7, 88 Dengan aturan sinus = Sin B = = = 1, 026 Karena nilai sinus tidak mungkin lebih besar dari 1, maka tidak ada segitiga yang memenuhi soal.

DALIL KOSINUS � Perhatikan gambar disamping � Dari titik C tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dan segitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ADC, maka diperoleh Cos A = atau AD = AC x cos A = b cos A � Selain itu, berdasarkan teorema Pythagoras, berlaku DC² = AC² - AD² = b² - (b cos A)² = b² - b² cos² A � Pada segitiga siku-siku BDC berlaku BC² = DC² + BD² = b² – b² cos² A + (BA – AD)² = b² – b² cos² A + (c – b cos A)² = b² – b² cos² A + c² – 2 bc cos A + b² cos² A a² = b² + c² – 2 bc cos A � Kembali ke SAP

� � Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus: b² = a² + c² - 2 ac cos B c² = a² + b² - 2 ab cos C Sehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini: Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta sisi-sisi dihadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c berlaku a² = b² + c² - 2 bc cos A b² = a² + c² - 2 ac cos B c² = a² + b² -2 ab cos C aturan kosinus tersebut dapat diucapkan “kuadrat dari sebarang sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain dikurangi dua kali perkalian sisi itu dikalikan kosinus sudut apit kedua sisi tersebut”. Aturan kosinus tersebut dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga, jika diketahui hal-hal berikut ini: 1. Dua sisi dan sudut apit kedua sisi tersebut 2. Tiga sisi diketahui Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL DALIL KOSINUS � Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika c = 10, b = 40, dan A = 120° � Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a = 7, b = 6, dan c = 8 Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL KOSINUS 1. Dengan aturan kosinus, a² = b² + c² - 2 bc cos A = 40² + 10² - 2(40) (10) cos 120° = 1600 + 100 – 800 (-0, 5) = 2100 a = 45, 825 � Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih mudah jika kita gunakan aturan sinus. Untuk C kita cari dengan rumus = sehingga sin C = = = 0, 189 � Jadi, C = 10, 89° (sudut C harus lancip karena A sudut tumpul) Selanjutnya B = 180° - A –C = 180° – 120° – 10, 89° = 49, 11° Kembali ke SAP

2. Kita hitung dahulu sudut yang terbesar (sudut dihadapan sisi terpanjang) yaitu sudut C c² = a² + b² - 2 ab cos C 8² = 7² + 6² - 2(7) (6) cos C 64 = 85 – 84 cos C = 21 Cos C = 0, 25 Karena cos C positif, maka C = 75, 52² � Untuk mencari A dan B kita gunakan aturan sinus = ↔ sin B = = = 0, 726 � � Sehingga B = 46, 55° Dengan demikian A = 180° – B – C = 180° – 46, 55° – 75, 52° = 57, 93° Jadi A = 57, 93°, B = 46, 55°, dan C = 75, 52° Kembali ke SAP

MACAM – MACAM GRAFIK FUNGSI � Grafik sinus Kembali ke SAP

MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI � Grafik kosinus Kembali ke SAP

MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI � Grafik tangen Kembali ke SAP

PENGERTIAN SIKLOMETRI Dalam penyelesaian dari persamaan trigonometri, biasanya yang ditemui adalah bentuk-bentuk seperti berikut : sin X= a, cos Y= b, tg Z= c. Selain diketahui bahwa |a|≤ 1, maka dapat dicari besar X dari sin x= a, dan tidak mungkin dicari X sembarang yang tidak memenuhi harga mutlak dari a tersebut. Pengertian tersebut dapat dituliskan dengan kalimat seperti berikut : - X = adalah sebuah sudut, yang sinusnya sama dengan a - X = sudut dengan sinusnya = a - X = sudut sin a Untuk menuliskan pengertian di atas dengan singkat, maka dibuatlah sebuah sepakatan ditulis sebagai notasi, yaitu: arc sin a, atau dalam bahasa indonesia x = busur sin a (arc adalah kependekan dari arcus). Arc sin x adalah inversi dari sin x dan seturusnya. Arc sin x, arc cos x, dan arc tg x dinamakan fungsi siklometri, sedangkan x dalam fungsi siklometri itu disebut argumen. Kembali ke SAP

FUNGSI SIKLOMETRI Fungsi siklometri yang paling sederhana adalah y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = sec x, y = coses x, dan y = cot x. x f y g Relasi f dari x dan y merupakan fungsi siklometri. Masalahnya: relasi apakah g dari y ke x ? Mari ikuti uraian berikut: x X dalam radian, x = arcus (busur) AB (arcus di baca arkus). Misal: � Sin , pernyataan tersebut dapat dibaca: adalah suatu sudut yang sinusnya sama dengan atau ⅙ Atau: adalah arcus yang sinusnya sama dengan � Maka berarti: sin <----> = arc sin Kembali ke SAP

Umumnya: y sin x <----> x � Definisi: Jika f: X Y relasi goniometri maka g: Y X merupakan relasi siklometri. Bila f: y sin x dan g: x + arc sin y, dinyatakan dengan notasi himpunan: jika maka atau g yang merupakan relasi siklometri tersebut disebut invers dari f, yang biasanya ditulis f-1 (g = f-1 dan g-1 = f). lebih lanjut kita bicarakan relasi siklometri <----> Kembali ke SAP

, � � Ternyata suatu relasi yang bukan fungsi, karena terdapat banyak nilai x yang memenuhi. Agar relasi merupakan fungsi maka x harus tunggal, syaratnya: jika atau untuk membedakan relasi X: arc sin y, fungsi fungsi siklometri. Dengan demikian atau Misal atau dinamakan harga utama atau harga utamanya Kembali ke SAP

RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI Fungi goniometri (f) Fungsi siklometri (f 1) Domain Range { (x, y) y = sin x} {(x, y) y = arc sin x} {y|-1 ≤ y ≤ 1 } {x| ½ ∏ ≤ x ½∏} {(x, y) y = cos x} {(x, y) y= arc cos x} {y| -1 ≤y ≤ 1} {x| 0≤ x ≤ x∏ } {(x, y) y = tan x} {(x, y) y = arc tan x} {y| -~ ≤ y <~} {x| ½ ∏ ≤ x ½∏} {(x, y) y = cot x} {(x, y) y = arc cot x} {y| -~ ≤ y <~} {x|0 ≤ x ≤ ∏} {(x, y) y = sec x} {(x, y) y = arc sec x} {y| y ≤ -1 } {y | y ≥ 1} {x|0 ≤ x ≤ ½∏} {x| ½ ∏ ≤ x ≤∏} {(x, y) y = csc x } {(x, y) y = arc csc x} {y| y ≤ -1 } {y | - y ≥ 1} {x|½ ∏≤ x ≤ 0} {x|0 ≤ x ≤ ½∏} Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI � X =? � Π , x = ? � x utama = ? Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI a. b. c. Kembali ke SAP