Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi Page 1 Pengertian

Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi Page 1

Pengertian Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan Page 2

Bentuk Umum ax 2 + bx + c * 0 Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R Tanda (*) adalah pertidaksamaan yaitu : tanda <, >, ≤, dan ≥ Page 3

Langkah-langkah Penyelesaian a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas kanan sama dengan 0) b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut c. Buatlah garis bilangan yang memuat akar tersebut, tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing interval. d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Page 4

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 + 5 x – 14 < 0 ! dari Penyelesaian. x 2 + 5 x – 14 < 0 ⇔ x 2 + 5 x – 14 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -7 atau x = 2 Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2 -7 2 Page 5

Pengujian Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -7, diambil -10, maka : (-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif) Antara -7 dan 2, diambil 0, maka : (0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif) Sebelah kanan 2, diambil 3, maka : (3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <, maka interval yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan. (+) -7 (-) 2 (+) Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R} Page 6

Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 9 - x 2 ≥ 0 ! dari Penyelesaian. 9 - x 2 ≥ 0 ⇔ 9 - x 2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -3 atau x = 3 Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3 -3 3 Page 7

Pengujian Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -3, diambil -4, maka : 9 - (-4)2 = – 7 (negatif) Antara -3 dan 3, diambil 0, maka : 9 - (0)2 = 9 (positif) Sebelah kanan 3, diambil 4, maka : 9 - (4)2 = -7 (negatif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥, maka interval yang bertanda positif yang memenuhi pertidaksamaan. (-) -3 (+) 3 (-) Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R} Page 8

Latihan Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku paket Erlangga. Jika kalian kelas x Kelompok Bis. Men kerjakan soal latihan halaman 63 no. 1 - 10 Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal latihan halaman 81 - 82 no. 4. Selamat Mencoba Page 9

Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi Page 10

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar Misalkan x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. • Jika kedua akarnya sama (x ( 1 = x 2), maka : ⇔D=0 ⇔ b 2 – 4 ac = 0 ⇔ b 2 = 4 ac • Jika kedua akarnya berlawanan (x 1 = -x 2 ), maka : ⇔ x 1 + x 2 = - b/a ⇔ -x 2 + x 2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔b=0 Page 11

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar • Jika kedua akarnya berkebalikan (x ( 1 = 1/x 2), maka : ⇔ x 1. x 2 = c/a ⇔ 1/x 2. x 2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔c=a Kesimpulan : 1. Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b 2 = 4 ac 2. Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 0 3. Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a Page 12

Menyusun PK yang diketahui Akarakarnya Misalkan : Menggunakan Perkalian Faktor Jika diketahui x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x 1)(x - x 2) = 0 Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya : a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 b. -7 dan 0 d. (5 - √ 3)(5 + √ 3) Page 13

Penyelesaian a. -2 dan 3 ⇔ x 1 = -2 dan x 2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x 2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x 2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d. Page 14

Menyusun PK yang diketahui Akarakarnya Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika diketahui x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X 2 - (x 1 + x 2)x + (x 1. x 2) = 0 Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya : a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 b. -7 dan 0 d. (5 - √ 3)(5 + √ 3) Page 15

Penyelesaian a. -2 dan 3 Persamaan kuadratnya : ⇔ x 2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x 2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x 2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d. Page 16

Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain. Contoh 1 Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar PK x 2 – 8 x + 2 = 0 ! Page 17

Penyelesaian. x 2 – 8 x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2 Misalkan akar-akar PK : x 2 – 8 x + 2 = 0 adalah x 1 dan x 2 Maka : x 1 + x 2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x 1. x 2 = c/a = 2/1 = 2 Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x 1 + 5 dan β = x 2 + 5, sehingga α + β = (x 1 + 5) + (x 2 + 5) α. β = (x 1 + 5). (x 2 + 5) = (x 1 + x 2) + 10 = x 1. x 2 + 5 x 1 +5 x 2 + 5. 5 = 8 + 10 = x 1. x 2 + 5(x 1+x 2) + 25 = 18 = 2 + 5. 8 + 25 = 67 ⇔ x 2 – (α + β)x + (α. β) = 0 ⇔ x 2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x 2 – 18 x + 67 = 0 Page 18

Contoh 2 Akar-akar PK x 2 – 4 x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) ! Penyelesaian Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka : α=p+2⇔p=α– 2 β=q+2⇔q=β– 2 Karena p merupakan salah satu akar persamaan x 2 – 4 x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α 2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α 2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α 2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x 2 – 8 x + 17 = 0 Page 19

Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2, maka : Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru x 1 + m dan x 2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0 x 1 – m dan x 2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0 mx 1 dan mx 2 a(mx)2 + b(mx) + c = 0 Page 20

Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp 612. 000, 00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp 34. 000, 00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut ! Page 21

Penyelesaian Misal jumlah siswa : x Masing-masing siswa membayar sebesar : (612. 000 : x) Setelah 3 temannya masuk, maka {612. 000 : (x + 3)} Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung. sehingga ⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18 x ⇔ x 2 + 3 x = 18 x + 54 – 18 x ⇔ x 2 + 3 x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0 ⇔ x = -9 atau x = 6 Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan Page 22