Matematika peminatan BAB 4 PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK PECAHAN

Matematika peminatan BAB 4 PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK, PECAHAN, DAN IRASIONAL NAMA : LAI JUNIAWATI KELAS : 10 MIA 2 REMEDIAL KETERAMPILAN

A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT SIFAT- SIFAT URUTAN : Misalkan a, b, dan c bilangan – bilangan real. 1. Jika a > b dan b > c maka a > c 2. Jika a > b maka a + c > b + c 3. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc 4. Jika a > b dan c ˂ 0 maka ac ˂ bc a > b didefinisikan sebagai berikut. a > b ⇔a – b > 0

1. Interval dan penyelesaian pertidaksamaan. Interval atau selang merupakan himpunan – himpunan bagian dari himpunan bilangan real R. Dapat digambarkan dengan ruas garis atau segmen garis pada garis bilangan. Bagian yang menunjukan selang atau interval digambarka dengan garis yang lebih tebal.

Ujung – ujung ruas garis yang digambarlan dengan bulatan berlubang (∘) menunjukn bahwa ujung – ujung itu tidak termasuk dalam interval. Ujung – ujung ruas garis yang digambarkan dengan bulatan tertutup atau noktah ( • ) menujukan bahwa ujung- ujung tersebut termask interval. tanda panah kekanan menyatakan selang menuju kearah positif tak hingga sedangkan kiri negatif tak hingga. Selang yang terletak diantara 2 bulatan (∘) disebut selang terbuka sedangkan jika diantara 2 noktah ( • ) disebut selang tertutup

Perhatikan contoh gambar berikut: a b a ≤ x ≤ b a b a ˂ x ˂ b a a x ≤ a x ˃ b a b a ˂ x ≤ b

2. Pertidaksamaan linear Pertidaksamaan yang memuat satu variabe berderajat 1 disebut pertidaksamaan linear satu variabel. Ada 4 macam bentuk bakunya : a. ax + bx ˂ 0 c. ax + b > 0 b. ax + bx ≤ 0 d. ax + b ≥ 0 Dengan a dan b bilangan real dan a ≠ 0

Sebuah pertidaksamaan memiliki nilai yang sama apabila dilakukan operasi bilangan sebagai berikut : 1. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap. 2. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi atau dikali bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap. 3. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah.

Contoh soal Tentukan himpunan pertidaksamaan berikut, kemudian gambarkan himpunan penyelesaian itu dalam garis bilangan. 2 x + 8 > 0

penyelesaian 2 x + 8 > 0 ⇔ 2 x > -8. . . . ( kedua ruas dikurangi 8) ⇔ x > - 4. . . . (kedua ruas dibagi 2) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x | x > - 4, x ∈ R } Secara geometris -4 { x|x > 4, x ∈ R }

3. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan variabel berderajat dua, dengan bentuk umum: a. ax 2 + bx + c ˂ 0 b. ax 2 + bx + c ≤ 0 c. ax 2 + bx + c > 0 d. ax 2 + bx + c ≥ 0 Dengan a, b, dan c bilangan real dan a≠ 0

Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan: a. Sketsa grafik fungsi kuadrat b. Garis bilangan

a. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan grafik fungi kuadrat Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dengan memakai grafik fungsi kuadrat, lakukan langkah – langkah berikut: 1) Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c. Kemudian tentukan perpotongannya dengan sumbu X (jika ada) 2) Berdasarkan grafik yang diperoleh pada langkah 1, tentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Secara umum dapat dikatakan: 1) Penyelesaian pertidaksamaan ax 2 + bx + c > 0 adalah sebuah interval didalam variabel x, yang menunjukan bagian grafik y = ax 2 + bx + c berada diatas sumbu X 2) Penyelesaian pertidaksamaan ax 2 + bx + c ˂ 0 adalah sebuah interval dalam variabel x, yang menunjukan grafik y = ax 2 + bx + c berada dibawah sumbu X

Contoh soal Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 + x – 2 ≤ 0

penyelesaian Skestsa grafik fungsi kuadrat dengan rumus f(x) = x 2 + x – 2 -2 -1 0 1 2 -1 -2 Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu x adalah x 2 + x – 2 ⇔ (x – 1)(x + 2) ⇔ x = 1 atau x = -2

b. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan 1) Tentukan pembuatan nol ruas kiri pertidaksamaan (bagian yang memuat bentuk kuadrat) 2) Lukislah nilai – nilai pembuatan nol diatas sebuah garis bilangan 3) Ujilah satu titik anggota interval, misal x = 0, diperoleh penyelesaian negatif. Berilah tanda negatif pada interval yang memuat nol. Berilah tanda positif atau negatif pada daerah interval yang lain dengan catatan setiap melompati pembuat nol maka tanda berganti 4) tentukan nilai interval yang sesuai dengan daerah yang diminta.

Contoh soal Tentukan himpunan penyelesaian -x 2 + 4 x – 3 = 0

penyelesaian -x 2 + 4 x – 3 = 0 ⇔ (-x + 3)(x – 1) ⇔x = 3 atau x = 1 1 3

B. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Contoh soal

penyelesaian + X ˃ 2 -2 X ˃ -3 -3 Daerah yang sama terkena arsiran adalah X ˃ 2

X ˂ 2 2 -3 X ˂ -3 Daerah yang sama - sama terkena arsiran adalah X ˂ -3

C. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Jika p dan q ∈ R dengan 0 <p < q maka p 2 < q 2 Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar: 1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan itu (tada ketidaksamaan tetap). Kemudian selesaikan 2. Tentukan syarat bahwa bentuk akar dimasing – masing ruas terdefinisi atau bernilai real, yaitu bilangan dibawah tanda aka bernilai positif atau nol 3. Tentukan interval yang memenuhi penyelesaian pada langkah pertama dan kedua (cari irisannya)

Contoh soal

penyelesaian 11 -5 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah { x | -5 ≤ x ˂ 11, x ∈ R }

D. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Nilai mutlak dari suatu bilangan real x dilambangkan dengan |x|, nilai itu merupakan nilai tak negatif dari bilangan x itu. Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x, ditulis |x| diartikan: |x| = { x untuk x ≥ 0 } -x untuk x ˂ |x|˂ a , untuk a ≥ 0 ⇔ x 2 ˂ a 2 0 |x|> a , untuk a ≥ 0 ⇔ x 2 ˃ a 2

Contoh soal Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan: |3 x – 7 | = ≤ 8

penyelesaian

E. PERTIDAKSAMAAN POLINOMINAL (PENGAYAAN) Bentuk polinominal adalah anxn + an-1 x n-1 + an-2 xn-2 +. . + a 1 x + a 0 Langkah-langkah menyelesaikan polimonominal 1. Faktorkan suku banyak itu 2. Tentukan pembuat nol suku banyak 3. Gambarkan garis bilangan yang memuat pembuat nol 4. Tentukan interval daerah positif dan negatif 5. Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan polinominal yang diminta

Contoh soal

penyelesaian

F. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Langkah – langkahnya: 1. Menentukan variabel dari besaran – besaran yang ada 2. Merumuskan odel pertidaksamaan 3. Menyelesaikan pertidaksamaan 4. Menafsirkan hasil yang diperoleh

Contoh soal Sebuah sepeda melaju dijalan raya dengan persamaan lintasan jarak tempuh s(t) = t 2 – 10 t + 39. jika s dalam meter dan t dalam detik, tentukan interval waktu agar sepeda itu telah berada sekurang – kurangnya 15 meter dari garis start`

penyelesaian Sepeda itu dapat berada sekurang – kurangnya 15 meter, artinya s(t) ≥ 15. jadi, model matematika nya adalah t 2 – 10 t + 39 ≥ 15. t 2 – 10 t + 39 – 15 ≥ 0 ⇔t 2 – 10 t + 24 ≥ 0 ⇔(t – 6)(t – 4) ≥ 0 ⇔t ≤ 4 atau t ≥ 6 Dengan demikian interval waktu agar sepeda itu telah berada sekurang – kurangnya 15 meter dari garis start adalah t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik