MATHMATIQUES FINANCIRES I Quatrime cours 130907 Rappel du

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours 13/09/07

Rappel du dernier cours • Escompte composé 13/09/07

Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple 13/09/07

Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt 13/09/07

Rappel du dernier cours • • Escompte composé Escompte simple Taux nominal d’intérêt Taux nominal d’escompte 13/09/07

Rappel du dernier cours • • • Escompte composé Escompte simple Taux nominal d’intérêt Taux nominal d’escompte Équivalence de taux 13/09/07

Rappel: Taux nominal d’intérêt Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est 13/09/07

Rappel: Taux nominal d’escompte Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est 13/09/07

Rappel: L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore 13/09/07

Rappel: (suite) en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an. 13/09/07

Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? 13/09/07

Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année? 13/09/07

Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire 13/09/07

Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est c’est-à-dire 13/09/07

Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. 13/09/07

Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois. 13/09/07

Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est 13/09/07

Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est Le montant accumulé après les trois dernières années est 13/09/07

Solution: (a) Anouk aura donc accumulé 17747. 17$ dans son placement après 5 ans. 13/09/07

Solution: (b) Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire l’un de l’autre. 13/09/07

Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 13/09/07

Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est 13/09/07

Solution: (b) Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est 13/09/07

Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel. 13/09/07

Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: (suite) Notons la fonction d’accumulation par Alors le taux instantané de l’intérêt est 13/09/07

Exemple 2: Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera 13/09/07

Exemple 3: Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera 13/09/07

Remarque 1: Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante. 13/09/07

Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet, 13/09/07

Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons montrer que 13/09/07

Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale: 13/09/07

Remarque 3: Dans la situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire nous obtenons que 13/09/07

Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé. 13/09/07

Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé. De plus, nous obtenons que où 13/09/07 est le taux d’intérêt composé équivalent.

Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de l’intérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourd’hui? 13/09/07

Solution: Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt 13/09/07

Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est 13/09/07

Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est Conséquemment la fonction d’actualisation est 13/09/07

Solution: (suite) De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui 13/09/07

Proposition 1: Si et désignent respectivement un taux nominal d’intérêt et un taux instantané de l’intérêt et que ces taux sont équivalents, alors 13/09/07

CHAPITRE II Principes de base 13/09/07

Principe de base: La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé. 13/09/07

Conséquence du principe de base: Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison. 13/09/07

Définition: L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée l’équation de valeur. 13/09/07

Définition de l’équation de valeur: La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison 13/09/07

Exemple 5: Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement. 13/09/07

Solution: Prenons comme date de comparaison Le taux d’intérêt par période de 6 mois est 13/09/07

Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est Alors l’équation de valeur est 13/09/07

Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison alors le diagramme d’entrées et sorties est 13/09/07

Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison alors le diagramme d’entrées et sorties est et l’équation de valeur est 13/09/07

Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en versant 13/09/07

Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons et Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1. 05)10. 13/09/07

Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais le choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de l’intérêt composé. 13/09/07

Exemple 6: Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans. Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement. 13/09/07

Solution: Prenons comme date de comparaison t = 7 périodes de capitalisation = 3. 5 ans. Le taux d’intérêt par période de 6 mois est 13/09/07

Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est Alors l’équation de valeur est 13/09/07

De cette équation, nous obtenons que 13/09/07

De cette équation, nous obtenons que Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun de ces exemples, nous obtenons 13/09/07

Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que Béa versera moins d’intérêt à Alex! 13/09/07