MATHMATIQUES FINANCIRES I Cinquime cours 180907 Rappel du

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours 18/09/07

Rappel du dernier cours • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt 18/09/07

Rappel du dernier cours • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant 18/09/07

Rappel du dernier cours • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison 18/09/07

Rappel du dernier cours • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties 18/09/07

Rappel du dernier cours • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties • Équation de valeur 18/09/07

Rappel du dernier cours Si nous connaissons la fonction d’accumulation alors le taux instantané de l’intérêt est 18/09/07

Rappel du dernier cours Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt et le principal, alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation 18/09/07

Rappel du dernier cours Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est 18/09/07

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication du capital 18/09/07

Échéance moyenne: L’échéance moyenne est le moment pour lequel un versement de est équivalent à n versements de respectivement payables aux moments 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t= 0: Rappelons que 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Donc 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) Finalement 18/09/07

Échéance moyenne: (suite) Finalement Autre forme équivalente: 18/09/07

Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé c’est-à-dire 18/09/07

Échéance moyenne approché: Il est possible d’approximer la valeur de par l’échéance moyenne approchée En effet, 18/09/07

Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si et développer 18/09/07 en série

Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement? 18/09/07

Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant du flux financier 18/09/07

Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est 18/09/07

Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est 18/09/07

Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors soit environ après 8 ans, 13 jours, 21 heures et 8 minutes. 18/09/07

Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12 heures et 34 minutes. 18/09/07

Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours 18/09/07

Remarque 1: (suite) L’inégalité est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: 18/09/07

Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double? 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps t nécessaire pour que la valeur accumulée après cette période soit 2 K. En équation, nous avons 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons Finalement 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément, 18/09/07

Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation 18/09/07

Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple? 18/09/07

Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. 18/09/07

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, 18/09/07

Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation 18/09/07

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt. 18/09/07

Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est 18/09/07

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est où 18/09/07

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est où Nous obtenons facilement que 18/09/07

Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, l’équation de valeurs nous permet d’écrire une équation de la forme après avoir transféré tous les termes d’un coté de l’équation de valeurs à l’autre. 18/09/07

Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: • Méthode de bissection • Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. 18/09/07

Exemple 4: Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: 18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons 18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Nous pouvons noter que 18/09/07

Exemple 4: (suite) Donc la fonction a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction au point milieu 5% pour savoir dans quel sousintervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. 18/09/07

Exemple 4: (suite) 18/09/07 i f(i) 4% -833. 0496513 6% 601. 3797796 5% -148. 4830568 5. 5% 218. 011650 5. 25% 32. 690028 5. 125% -58. 410764 5. 1875% -12. 989460 5. 21875% 9. 817942 5. 203125% -1. 593838

Exemple 4: (suite) Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5. 2%. Si nous voulons plus de précision, il faut poursuivre nos calculs dans le tableau précédent. 18/09/07