MATHMATIQUES FINANCIRES I Cinquime cours ACT 2025 Cours

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours ACT 2025 - Cours 5

Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt ACT 2025 - Cours 5

Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant ACT 2025 - Cours 5

Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison ACT 2025 - Cours 5

Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties ACT 2025 - Cours 5

Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties • Équation de valeur ACT 2025 - Cours 5

Rappel: Si nous connaissons la fonction d’accumulation A(t) alors le taux instantané de l’intérêt est ACT 2025 - Cours 5

Rappel: Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation ACT 2025 - Cours 5

Rappel: Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est ACT 2025 - Cours 5

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication du capital ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: L’échéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s 1 + s 2 +. . . + sn) dollars est équivalent à n versements de s 1, s 2, . . . , sn dollars respectivement payables aux moments t 1, t 2, . . . , tn. ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est : Rappelons que ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Donc ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons ou encore ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne: (suite) Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé i, c’est-à-dire e = (1 + i) ou encore = ln(1 + i) ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne approché: Il est possible d’approximer la valeur de t* par l’échéance moyenne approchée: En effet, ACT 2025 - Cours 5

Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si , x sont des nombres réels et -1 < < 1 et développer t = (1 + i)-t en série. ACT 2025 - Cours 5

Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement? ACT 2025 - Cours 5

Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant: ACT 2025 - Cours 5

Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est i = 6% par année. L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est 1500(1. 06)-5 + 3500(1. 06)-7 + 3000(1. 06)-8 + 2500(1. 06)-12 || 10500(1. 06)-t* ACT 2025 - Cours 5

Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors t* = 8. 038029924 années soit environ après 8 ans, 13 jours, 21 heures et 8 minutes. ACT 2025 - Cours 5

Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12 heures et 34 minutes. ACT 2025 - Cours 5

Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours ACT 2025 - Cours 5

Remarque 1: (suite) L’inégalité est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double? ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: (suite) Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2 K. En équation, nous avons K(1 + i)t = 2 K ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) Finalement ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. ACT 2025 - Cours 5

Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément, ACT 2025 - Cours 5

Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double ACT 2025 - Cours 5

Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation ACT 2025 - Cours 5

Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple? ACT 2025 - Cours 5

Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est ACT 2025 - Cours 5

Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. ACT 2025 - Cours 5

Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, ACT 2025 - Cours 5

Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple ACT 2025 - Cours 5

Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation ACT 2025 - Cours 5

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt. ACT 2025 - Cours 5

Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est ACT 2025 - Cours 5

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i)n = A où P, A et n sont connus. ACT 2025 - Cours 5

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i)n = A où P, A et n sont connus. Nous obtenons facilement que ACT 2025 - Cours 5

Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, l’équation de valeur nous permet d’écrire une équation sous la forme f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue après avoir transféré tous les termes d’un côté de l’équation de valeur à l’autre. ACT 2025 - Cours 5

Situation 2: (suite) Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: • Méthode de bissection • Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000(1 + i)9 + 5000(1 + i)7 || 4000(1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000 ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) Nous pouvons noter que f(4%) = -833. 0496513 et f(6%) = 601. 3797796 Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) Nous pouvons noter que f(4%) = -833. 0496513 et f(6%) = 601. 3797796 Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sousintervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons le tableau. ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) i 4% 6% 5% f(i) -833. 0496513 601. 3797796 -148. 4830568 5. 5% 5. 25% 5. 1875% 5. 21875% 5. 203125% 218. 011650 32. 690028 -58. 410764 -12. 989460 9. 817942 -1. 593838 ACT 2025 - Cours 5

Exemple 4: (suite) Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5. 2% par période de capitalisation. Si nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos calculs en subdivisant de plus en plus l’intervalle de départ. ACT 2025 - Cours 5