ROBOTIQUE ELE 4203 Cours 2 Exercices introduction la

ROBOTIQUE -ELE 4203 - Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe Enseignant: Jean-Philippe Roberge S Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #2 S Bref rappel des principales notions du cours #1 S Fin de la matière sur les transformations homogènes: S Rotation autour d’un vecteur unitaire S Quelques exercices reliés au chapitre 2 – transformations homogènes S Début du chapitre 3 – Cinématique directe: S Notions de bases sur les référentiels: S Pose relative des différents référentiels 2 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #2 S Notions de bases sur les référentiels (Suite): S Angles de roulis, tangage et lacet (Roll, Pitch et Yaw) S Exemple simple de la cinématique directe à l’aide d’un robot- planaire: S Positionnement des repères S Construction des matrices de transformation permettant l’élaboration de la cinématique directe. 3 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (1) S Quelques types de robots: S Robots statiques: Robots ayant une base fixe (e. g. : les robots du laboratoires, les robots typiques d’une chaîne de production). S Robots mobiles: Robots qui se déplacent dans l’espace de travail (par exemple, les robots explorateurs de planètes tels que Curiosity, Spirit & Opportunity, Sojourner, etc…) 4 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (2) S Quelques types de robots (suite): S Robots sériels: Robots composés d’un seul segment articulé formant une chaîne cinématique ouverte. S Robots parallèles: Robots composés de plusieurs segments articulés qui composent ensemble une chaîne cinématique fermée. 5 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (3) S Types d’automatisation: 6 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (4) Types de joint S Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints: S Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement en translation. S Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en rotation. 7 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Bref rappel du cours #1 (5) Géométrie PPP S Le robot PPP (communément appelé le manipulateur cartsien): 8 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (6) Géométrie PRP ou RPP S Le robot PRP ou RPP, communément appelé le manipulateur cylindrique: 9 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (7) Géométrie RRP S Le robot RRP, communément appelé le manipulateur sphérique: 10 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (8) SCARA S Le robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm), qui est aussi un RRP, mais toutefois différent du manipulateur sphérique ordinaire. Il est conçu spécifiquement pour des tâches d’assemblage. http: //www. youtube. com/watch? v=x. M 5 i. Ah. VDVR 4&feature=related http: //www. youtube. com/watch? feature=endscreen&v=v 5 e. R 0 e. Hk n. Zk&NR=1 11 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (9) Géométrie RRR S Le robot RRR (ici c’est un RRRR), communément appelés manipulateurs articulés: 12 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (10) Géométrie RRRRRR S Les robots RRRRRR sont souvent surnommés manipulateurs anthropomorphiques puisqu’ils s’inspirent partiellement du bras humain: ont dit souvent qu’ils ont un épaule, un coude et un poignet. S Leur enveloppe de travail est beaucoup plus complexe que les autres types de robots vu précédemments. Leur 13 cinématique directe ainsi que leur Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (11) (Terminologie et définitions) S Nombre d’axes d’un robot: Le nombre d’axes que possède un robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x, y et z, ainsi qu’en Θx , Θy, Θz. Ceci est souvent relié au nombre de degrés de liberté du robot, mais c’est une notion bien différente, sachez la différencier. S Capacité, vitesse de déplacement, portée, débattement, répétabilité, justesse, résolution spatiale. **Tableau tiré de : http: //www. perceptron. com/index. php/en/ company/university-of-perceptron/80. html 14 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (12) Coordonnées homogènes Note: De manière générale, w=1 15 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (13) Transformations 2 D - translation Un point de coordonnées (x, y), après une translation de (a, b) possède les coordonnées (x+a, y+b). En coordonnées homogènes: Ceci implique: 16 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (14) Transformations 2 D - Rotation Un point de coordonnées (x, y), après une rotation de Θ degrés, possède les coordonnées (x’, y’). En coordonnées homogènes: 17 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (15) Concaténation de transformations Rappel, en général: 18 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (16) Transformations 3 D S Comme dans le cas à deux dimensions, on peut développer les matrices (de transformation) de translation et de rotation: Translation: 19 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Bref rappel du cours #1 (17) Transformations 3 D Rotations: 20 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cours #2 Rotation autour d’un vecteur unitaire (1) S Au dernier cours, nous avons vu comment, en 2 D, bâtir une matrice de transformation qui permet d’effectuer la rotation de point(s) en coordonnées homogènes autour d’un point de coordonnées (a, b) : 21 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (2) S Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3 D: bâtissons une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés d’un point en coordonnées homogènes autour d’un vecteur unitaire. On effectuera cinq rotations: 1 -Une rotation de α degrés en x 2 -Une rotation de β degrés en y Ces deux rotations permettront d’enligner le vecteur avec l’axe z. 3 -Une rotation de θ degrés en z Finalement, les transformations inverses: 4 -Une rotation de -β degrés en y 5 -Une rotation de -α degrés en x 22 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (3) S L’angle α et la transformation sont donnés par: S L’angle β et la transformation sont données par: 23 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Rotation autour d’un vecteur unitaire (4) S Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les transformations inverses sont données par: S Donc, la matrice de transformation permettant d’effectuer une rotation de θ degrés autour d’un axe unitaire u est: 24 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Exercices du chapitre 2 (1) S Exercice #5 – Notions supplémentaires sur les matrices de rotation: S 1) Les matrices de rotation sont dites “orthogonales”. En effet, de par leur S S nature, la norme (euclidienne) de chacune de leur colonne est égal à 1. Similairement, la norme de chacune de leur ligne est aussi égal à 1. 2) Soit une matrice R 1 orthogonale, alors: det(R 1) = ± 1. 3) Si on considère seulement les repères “main droite”, alors on dira de R qu’elle est spéciale-orthogonale. Soit une matrice R 2 spéciale-orthogonale, alors : det(R 2) = 1. Dans le cours, nous travaillerons uniquement avec les matrices spécialesorthogonales. 4) Pour une matrice spéciale-orthogonale R 2, (R 2(θ))-1=R 2(-θ)=R 2 T S Exercice #1, #2 25 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Exercices du chapitre 2 (2) S Exercice #3 – Notions supplémentaires: S Soit une matrice de transformation T tel que: S Alors: S Exercice #10 (survol) 26 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (1) S Qu’est-ce que la cinématique directe? S La cinématique directe concerne la détermination de la position et de l’orientation de l’effecteur (pose de l’effecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot. S Il s’agit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet d’obtenir la pose de l’effecteur en fonction de ce que l’on appelle les “variables articulaires”. S Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux variables / transformations homogènes. 27 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (2) S Aperçu très peu exhaustif de la démarche: S Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous intéresserons tout d’abord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple: 28 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (3) S Aperçu très peu exhaustif de la démarche (suite): S Par la suite, nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas d’un robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera: S La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale: 29 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (4) S Suite et fin du survol: exemple de la cinématique directe du robot Kuka: 30 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (5) S À quoi sert la cinématique? S Comme vous devez vous en doutez, il est nécessaire de connaître la position et l’orientation de l’effecteur pour effectuer une panoplie de tâches. S Concrètement: S Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables articulaires. Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront d’obtenir directement les angles de chacune des articulations. S Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et l’orientation de l’effecteur. S Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe. 31 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (6) Référentiels S Commençons par introduire certains concepts liés aux référentiels. S Considérons les référentiels et le point suivant: La question que nous posons d’abord est: Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C? 32 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (7) Référentiels S Voici les étapes de la solution. S Tout d’abord, il faut déterminer la matrice de rotation qui permet de “passer” du repère C au repère B. Nous noterons celle-ci : CTB S Les transformations qui permettent de passer du repère C au repère B sont des rotations et une translation, donc: 33 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (8) Référentiels S Rappel sur les coordonnées homogènes: S Un vecteur en coordonnée homogène: peut subir une translation et/ou une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. S Un vecteur en coordonnée homogène: ne peut subir qu’une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation. S Une matrice de transformation homogène identité : est une matrice de transformation qui représente un système de coordonnées qui coïncide avec le référentiel de base (aucune transformation). 34 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (9) Référentiels 35 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (10) Référentiels 36 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (11) Référentiels S Voici quelques propriétés de la matrice de rotation et de la matrice de transformation: 37 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (12) Référentiels S Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: S Référentiel U: il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail. S Référentiel R: C’est le référentiel associé à la base du robot. S Référentiel H: il est surnommé le référentiel “Hand”, c’est le référentiel associé à la main (porte-outil). S Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à l’outil. S Référentiel P: Référentiel associé à la pièce. 38 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (13) Référentiels S Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique: 39 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (14) Référentiels S Tel que mentionné, l’ordre de multiplication est important lorsqu’il s’agit de multiplier des matrices de transformation homogènes. S De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci: S Lorsqu’on pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe. S Lorsqu’on post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile. 40 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (16) Référentiels S Il existe plusieurs façon pour décrire l’orientation d’un repère. Pour représenter l’orientation de l’outil, une convention est d’utiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw). 41 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (17) Exemple du robot planaire S Pour terminer le cours, effectuons la cinématique directe d’un robot “simple”, puisqu’il s’agit d’un robot-planaire à trois degrés de liberté: 42 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (18) Exemple du robot planaire 43 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Cinématique directe (19) Exemple du robot planaire 44 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Au prochain cours… S Suite et fin de la cinématique directe S On introduira une manière assez simple et surtout efficace d’effectuer la cinématique directe basée sur les paramètres de Denavit-Hartenberg. S On étudiera par la suite des exemples de robot un peu plus complexe. S Le robot PUMA (six degrés de liberté – tous des joints rotoïdes) S Le robot Stanford (six degrés de liberté – cinq joints rotoïdes et un joint prismatique) 45 Jean-Philippe Roberge - Août 2012

Références S [1] Absolute Beginner’s Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003 S [2] http: //spectrum. ieee. org/automaton/robotics- software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE 3202) – Richard Gourdeau & John Thistle S [3] http: //www. geekologie. com/2008/12/thats-it-im-moving-robotic-sta. php S [4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al. , 2006. S [5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE 4203, Richard Gourdeau, juillet 2012. 46 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011