La recherche en didactique des mathmatiques au service

La recherche en didactique des mathématiques au service de la formation à l’enseignement : Réflexions à partir du contexte de la recherche et de la formation au Québec Hassane Squalli Université de Sherbrooke (Qc, Canada) Faculté d’éducation Département de Pédagogie 23 avril 2013 Centre régional des métiers d’éducation et de formation Rabat-Maroc

Plan Différents types de didactique des mathématiques Quelques fondements des cours de didactique des mathématiques Exemple d’un dispositif de formation Exemples de types de recherches pertinentes pour le système de formation

Didactiques des mathématiques Comme domaine scientifique de recherche Recherches ayant pour finalité le développement de cadres théoriques pour la recherche Comme domaine de recherche sur l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignementapprentissage Recherches ayant pour finalité le développement de modèles théoriques sur l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignementapprentissage Recherches empiriques Comme domaine de formation à la recherche Comme outil de formation à l’enseignement

Quelques fondements de l’approche de formation des enseignants Quels types de connaissances faut-il à un enseignant d’aujourd’hui pour bien enseigner un contenu mathématique (disons un contenu d’algèbre) à une catégorie d’élèves (disons des élèves du secondaire) ?

Développer une culture d’enseignement des mathématiques chez l’enseignant en formation 5 Culture des mathématiques en tant que discipline scientifique Culture des mathématiques en tant que discipline scolaire Culture de l’élève apprenant des mathématiques Sa propre culture des mathématiques

Culture des mathématiques en tant que discipline scientifique Les mathématiques comme activité humaine, vivante toujours en développement, avec une longue histoire, à laquelle ont contribué et contribuent plusieurs civilisations. Les mathématiques possèdent des applications dans divers domaine de la vie. 6 Les mathématiques comme domaine d’esthétique et de beauté.

Culture des mathématiques en tant que discipline scolaire • Programme national d’études de l’école dans le domaine des mathématiques, ses orientations prioritaires, ses fondements; son évolution historique, son ancrage dans les mouvements internationaux • Manuels scolaires, matériels didactiques • Associations et revues professionnelles relatives à l’enseignement des mathématiques 7

Culture de l’élève apprenant des mathématiques • Connaissance de ce que dit la littérature scientifique et professionnelle sur l’apprentissage des élèves des contenus enseignés (raisonnements, obstacles, …) • Développer une sensibilité face aux apprentissages des élèves – Apprécier le génie mathématique des élèves – Voir l’élève, celui en difficulté en particuliers, non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux). – Évaluer le raisonnement de l’élève et non 8 seulement sa réponse

Sa propre culture des mathématiques Prendre conscience de son rapport aux mathématiques, à leur enseignement et à leur apprentissage Développer un rapport positif aux mathématiques 9

Quelques fondements des cours de didactique des mathématique La didactique des mathématiques comme un instrument pour le développement de ces différentes cultures: Une formation à l’enseignement par la didactique et non en ou pour la didactique. L’enseignant comme professionnel: praticien réflexif, intègre, développe et échange des savoirs professionnels L’enseignant en formation est un complexe d’assujettissements institutionnels. Il a une identité multiple. Un dispositifs de formation est perçu comme signifiant par l’enseignant en formation s’il crée, des 10 interactions de connaissances, parfois des confrontations, entre les différentes entités.

Quelle didactique voulons-nous que les futurs enseignants développent durant leur formation initiale ? Nous formons des enseignants des mathématiques, non des chercheurs en didactique des mathématiques Cela ne signifie pas que l’enseignant n’est pas aussi didacticien, c-à-dire grand utilisateur voir producteur de savoirs didactiques. Les questions qui l’occupent sont des questions qui ont une pertinence sociale, reliées à l’enseignement des maths et non nécessairement une pertinence scientifique reliée à l’état d’avancement de la didactique des mathématiques comme domaine de recherche.

Dans l’exercice de sa fonction, l’enseignant réalise des activités de didacticien, mais son but est de faire progresser sa pratique et non faire avancer la connaissance scientifique. La didactique des mathématiques est nécessaire à la pratique d’enseignement des mathématiques et à la formation à l’enseignement des mathématiques 1. La didactique fournit un cadre de référence (des théories, des concepts et un langage, des analyses conceptuelles) qui permet aux praticiens de problématiser des questions liées à leurs pratiques, de produire et d’échanger des savoirs professionnels (savoirs pratiques, savoirs sur ou pour la pratique avec un discours raisonné sur cette pratique)

2. d’étudier, et quelques fois de proposer des réponses, à des questions qui occupent et préoccupent la pratique d’enseignement des maths, comme la production de connaissances empiriques sur les pratiques d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques

Quelle(s) didactique(s) prenons-nous en considération pour élaborer nos cours de didactique des mathématiques ? La didactique inspire le formateur et non lui impose des contenus à enseigner Les cours de didactique des mathématiques doivent contribuer : 1) au développement d’une culture de l’enseignement des mathématique chez l’enseignant en formation 2) à l’intégration de savoirs théoriques dans la pratique d’enseignement de l’enseignant en formation (notamment dans les phases préactive et postactive, et dans l’articulation entre les formations mathématique, pédagogique et pratique).

Contrat de formation Posture à adopter dans les cours de didactique pour maximiser la formation Se voir et se comporter comme un enseignant en formation qui vise à développer des compétences professionnelles en enseignement des mathématiques Et non (exclusivement) comme un « étudiant universitaire» qui cherche à réussir un programme pour obtenir un diplôme. Cela nécessite de la part de l’enseignant en formation: De maintenir une authenticité d’enseignant des mathématiques lorsqu’ils sont sollicités en tan que tel D’exploiter les apprentissages théoriques réalisées dans les cours comme outil pour comprendre et penser leur enseignement.

Contrat de formation Posture à adopter dans les cours de didactique pour maximiser la formation Cela nécessite de la part du formateur didacticien Ne pas être un prescripteur de la pratique Ne pas agir comme un théoricien déconnecté du contexte de la pratique Développer chez l’enseignant en formation la culture de l’enseignement des mathématiques, l’aider à maîtriser et à exploiter des savoirs de didactiques pour comprendre et penser son enseignement.

Postulats de départ Je pars des postulats suivants 1. Un enseignant en formation (Ef) accorde une pertinence et une signifiance à un dispositif de formation s’il a la perception que ce dispositif va le développer en tant qu’enseignant, 2. La formation pratique est un dispositif signifiant pour les Ef. En revanche, les dispositifs de formation en didactique, en pédagogie et en mathématiques ne sont pas perçus de facto comme signifiants par les Ef. Un travail doit être fait par le formateur pour les rendre signifiants aux yeux des Ef.

L’enseignant en formation : un complexe d’assujettissements institutionnels Mathématicien/ Apprenant des mathématiques Ef. Mat Enseignant de mathématiques Ef. Ens Institution mathématique universitaire Institution scolaire de la pratique d’enseignement Institution formation pratique universitaire Enseignant en formation Étudiant universitaire qui réfléchi sur l’enseignement et l’apprentissage des math Ef. Did Institution didactique universitaire Institution pédagogique universitaire

Conceptions forgées par le métier d’élève, d’étudiant mathématicien et par Entrée par les Po la culture dominante définitions et les l’a stu du milieu scolaire et J’enseigne donc formalisations ét nci re académique d u e ils apprennent Conceptions compatibles Mathématiques avec le milieu universitaire Perspective socio -constructivsite e d e ur nt re t s a i Po tudi sita l’é iver un di n e an él t èv e/ J’enseigne comme on m’a enseigné Enseignement des mathématiques Posture de l’enseignant Enseignant en formation Apprentissage des Grande mathématiques préoccupation Conceptions par la gestion de forgées par la la classe culture du milieu enseignant

L’enseignant en formation: une entité multiple Ef. Mat Postulat 3 : un dispositif de formation est signifiant s’il favorise l’engagement de l’Ef. Mat, l’Ef. Did et l’Ef. Ens dans des activités d’interactions de connaissances. Ef. Ens Ef. Did

Étude d’un exemple : Journal de bord en résolution de problèmes Le cahier de bord comprend : Une introduction présentant ses propres conceptions, attitudes, souvenirs, etc. à l’égard des mathématiques. Les traces écrites de la résolution, telle qu’elle a été réalisée, d’au moins cinq (5) problèmes pris dans le chapitre 10 du livre l’Esprit mathématique de John Mason. Lorsque opportun lors de la résolution de problèmes, des remarques de nature Cognitive en lien avec le processus de résolution Métacognitive en lien avec le processus de résolution Affective en lien avec le processus de résolution Une conclusion rapportant l’effet qu’a eu ce travail sur sa propre culture mathématique ainsi qu’une réflexion sur tout le processus effectué lors des résolutions de problèmes.

Indications méthodologiques Données analysées: Retour réflexif sur l’activité, objet de la conclusion du travail Journal de bord en résolution de problèmes Analyse : en cohérence avec le modèle théorique de l’Ef, le discours réflexif est considéré comme un dialogue entre les postures épistémologiques (Ef. Mat, Ef. Did et Ef. Ens). Il s’agit alors de reconstruire ce discours en termes d’interactions en mettant en évidence les connaissances en acte et les significations associées chez les différents locuteurs.

Quelques résultats d’analyse Certains étudiants ont éprouvé de la difficulté à décrire de manière spontanée leur démarche de résolution! Leur journal de bord ne contient que des démonstrations. Inter. Le discours réflexif est produit presque uniquement par l’Ef. Mat. Ces Ef ont de la difficulté à engager une interaction féconde entre l’Ef. Mat et l’Ef. Did. Comme si l’Ef. Mat refuse le regard analytique pose l’Ef. Did sur son activité personnelle de résolution de problèmes. Le Journal de bord en résolution de problèmes a donc été un dispositif non signifiant pour ces Ef.

Le dispositif a été signifiant pour plusieurs Ef Une leçon d’humilité «Je dois avouer que l’activité fut une véritable leçon d’humilité. En effet, je ne sais pas si je suis la seule personne dans cette situation, mais j’ai trouvé la plupart des problèmes très difficiles à résoudre, beaucoup plus que ce que j’imaginais. Je ne sais pas si c’est parce que mes cours sont déjà loin, mais je peux affirmer avoir consacré beaucoup de temps à ce travail. Tellement qu’à certains moments je remettais mes aptitudes intellectuelles en question. J’ai décidé à un certain point d’arrêter de m’en faire et de simplement considérer le tout comme une activité d’apprentissage. »

[Je, Ef. Mat] dois avouer que l’activité fut une véritable leçon d’humilité. En effet, [je, Ef. Did] ne sais pas si [je, Ef. Mat] suis la seule personne dans cette situation, mais [j’, Ef. Mat ] ai trouvé la plupart des problèmes très difficiles à résoudre, beaucoup plus que ce que [j’, Ef. Mat] imaginais. [Je, Ef. Did] ne sais pas si c’est parce que [mes, Ef. Mat] cours sont déjà loin, mais [je, Ef. Mat] peux affirmer avoir consacré beaucoup de temps à ce travail. Tellement qu’à certains moments [je, Ef. Mat] remettais mes aptitudes intellectuelles en question. [J’, Ef. Mat] ai décidé à un certain point d’arrêter de m’en faire et de simplement considérer le tout comme une activité d’apprentissage. Inter. Cette prise de conscience importante de l’Ef. Mat, est provoquée par l’analyse critique de l’Ef. Did. D’autres étudiants affirment que cette activité leur a permis de prendre conscience de leurs propres stratégies de résolution « de mieux se connaître en tant que mathématicien » a dit un étudiant.

Ef. Ens Ef. Did Ef. Mat En tant qu’enseignante, il [m’, Ef. Ens] arrive à l’occasion d’expliquer une notion et de [me, Ef. Ens] dire : « Voyons, il [me, Ef. Ens] semble que ce n’est pas si compliqué…» et de ne pas comprendre pourquoi les élèves ne comprennent pas. Cette activité [m’, Ef. Ens] a permis de [me, Ef. Ens] mettre dans la peau de [mes, Ef. Ens] élèves c’est-à-dire de se retrouver face à une situation dont [je, Ef. Mat] n’avais aucune idée par où commencer et comment faire pour résoudre le problème. [J’, Ef. Did] ai pu voir comment un élève peut se sentir dans une telle situation, comment il se sent face au syndrome de la page blanche. Bien sûr, [je, Ef. Mat] ne veux pas dire que [j’, Ef. Mat] ai toujours eu de la facilité à résoudre des problèmes mathématiques, au contraire, mais c’était la première fois que [je, Ef. Did] [me, Ef. Mat] questionnais autant sur [ma, Ef. Mat] façon de penser et de cher une solution.

Exemple d’interactions de connaissances La réalisation du journal de bord n’a fait que me confirmer que nous disposons au fond de nous d’un processus métacognitif pour résoudre les problèmes que nous rencontrons tous les jours. Ef. Ens Ef. Did Ef. Mat [Ef. Did] : La réalisation du journal de bord par l’Ef. Mat n’a fait que me confirmer que nous disposons au fond de nous d’un processus métacognitif pour résoudre les problèmes que nous rencontrons tous les jours. Mais le grand défi est de savoir comment transposer ces habilités mentales à nos jeunes. [Ef. Ens]: Mais le grand défi est de savoir comment transposer ces habilités mentales à nos jeunes. En obligeant les élèves à connaître les démarches de résolution de problèmes et à les utiliser fréquemment, on leur permet de gérer plus efficacement les diverses opérations cognitives d’ordre supérieur requises pour être efficaces, tout en stimulant leur esprit critique C’est de la métacognition en action. [Ef. Did] : En obligeant les élèves à connaître les démarches de résolution de problèmes et à les utiliser fréquemment, l’enseignant leur permet de gérer plus efficacement les diverses opérations cognitives d’ordre supérieur requises pour être efficaces, tout en stimulant leur esprit critique C’est de la métacognition en action. Sans oublier l’apport psychologique procure une résolution efficace d’un problème mathématique, à savoir une légitime fierté et une estime de soi de plus en plus considérables. [Ef. Mat] : Sans oublier l’apport psychologique procure une résolution efficace d’un problème mathématique, à savoir une légitime fierté et une estime de soi de plus en plus considérables.

Interprétation Ces interactions de connaissances sont constructives, car elles s’appuient sur un référent expérientiel (apporté par l’Ef. Mat), une justification épistémique (apportée par l’Ef. Did) et une solution à un problème de pratique (préoccupation de l’Ef. Ens). Si l’on ne tient pas compte de la valeur des connaissances en actes, ces interactions constructives sont un indicateur de la signifiance de cette activité pour l’Ef. Tout se passe comme si pour l’Ef. Ens la valeur pour la pratique d’une connaissance de l’Ef. Did est renforcée quand celle-ci est validée par une expérience significative de l’Ef. Mat et qu’une interaction soit engagée entre ces trois entités à propos du sens de cette connaissance.

Quelques exemples de questions ’’mathématiques’’ qui créent une confrontation des 3 postures épistémologiques

Exemples de types de recherches pertinentes pour le système de formation Recherches sur les apprentissages des élèves Recherches sur les manuels, les programmes Recherches sur les pratiques d’enseignement Recherches ethnologiques (ethnomatics) sur les pratiques mathématiques dans la société (pratiques culturelles et pratiques sociales de référence) Recherches sur les pratiques mathématiques du patrimoine historique Recherche sur l’étudiant en formation La recherche-action comme dispositif de formation

MERCI! Hassane. Squalli@USherbrooke. ca