Graphes kpartis et conception de circuits VLSI Pierre
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Graphes k-partis et conception de circuits VLSI Pierre Fouilhoux Maitre de Conférences Université Pierre et Marie Curie - LIP 6 Directeur: A. Ridha Mahjoub Université Blaise Pascal - LIMOS Ecole Doctorale Sciences pour l’Ingénieur
Optimisation Combinatoire Trouver un meilleur élément dans un ensemble fini valué
Optimisation Combinatoire Placement d’émetteurs hertziens
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Optimisation Combinatoire Problème du Voyageur de commerce
Optimisation Combinatoire Problème du Voyageur de commerce
Optimisation Combinatoire Réseau Points terminaux Conception de circuits intégrés (VLSI) Composant
Optimisation Combinatoire Conception de circuits intégrés (VLSI)
Optimisation Combinatoire T G A T T C G A T C Reconstruction du génome
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T C Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T Stable dans un graphe = Sommets isolés C Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T C Stable dans un graphe Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T C k-partition dans un graphe Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T C Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire C T G A Recherche Opérationnelle T C bipartition dans un graphe (k=2) Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire C T G A Recherche Opérationnelle T C bipartition dans un graphe (k=2) Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire T G A Recherche Opérationnelle T C Théorie des Graphes
Optimisation Combinatoire PB(G)=conv { x. W T G A Recherche Opérationnelle T C Théorie des Graphes Programmation mathématique Approches polyédrales
Assemblage SNP d’haplotypes T G A Organismes diploïdes 2 haplotypes T Molécule d’ADN T G A A T C C Polymorphisme génétique SNP : Single Nucleotide Polymorphism Reconstituer les 2 haplotypes et les SNP ATCGATGCATGAATGCA ATCGATGTATGCAAGCA
Assemblage SNP d’haplotypes Détection des SNP Fragments fi SNP sj S 1 Reconstituer les deux haplotypes S 3 ff 11 ATCGATGCATGA ff 22 TCGATGGAT GG AAT ATGCAT GTATG GCAA TATGCAA ATGCATGTAT ff 33 ATGCAT ATGAATGCAT GCA ff 44 ATGAATGCAT f 5 CATGCA f 5 H 1 Objectif S 2 CATGCA H 2
Assemblage SNP d’haplotypes Enlèvement minimal de fragments S 1 S 2 S 3 est équivalent au f 1 ATCGATGCATGA f 2 TCGATGAAT f 3 ATGCATGTATGCAA f 4 ATGAATGCA f 5 CATGCA Problème de bipartisation de graphe Lippert, Schwartz, Lancia, Istrail (2001) f 2 f 3 f 1 f 4 f 5 fi Haplotype 1 fj Haplotype 2
Résolution informatique du problème de bipartisation v 1 v 2 v 3 v 10 v 9 v 4 v 6 v 5 v 8 v 7
Résolution informatique du problème de bipartisation v 1 v 2 v 3 v 10 v 9 v 4 v 6 v 5 v 8 v 7
Résolution informatique du problème de bipartisation v 1 v 2 v 10 v 9 vi v 3 v 4 v 6 v 5 v 8 v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 1 1 1 conservé 0 ôté v 5 v 6 1 1 v 7 1 v 8 v 9 1 v 10 1 1
Résolution informatique du problème de bipartisation v 1 v 2 v 10 v 9 vi v 3 v 4 v 6 v 1 v 2 v 3 v 4 1 1 1 0 C 1 conservé 0 ôté v 5 v 6 1 1 v 7 1 v 8 v 9 1 v 5 v 8 Ce n’est pas une solution v 7 v 10 0 1
Résolution informatique du problème de bipartisation v 1 v 2 v 10 v 9 vi v 3 v 4 v 6 v 1 v 2 v 3 v 4 0 1 1 conservé 0 ôté v 5 v 6 1 v 7 1 v 5 v 8 C’est une solution v 7 1 v 8 v 9 1 v 10 1 1
Résolution informatique du problème de bipartisation Une première idée: Enumération de toutes les solutions n sommets 2 n=2 x 2 x…x 2 solutions à énumérer n fois n 2 n Temps de calcul Blue Gene Ordinateur du futur 10 1024 0, 00000… 1 seconde … 20 1 048 576 1 milliardième de sec … 50 1, 26 million de milliards 16 minutes quelques sec 100 1 267 milliards de milliards 1, 1 milliard de milliards d’années 1 milliard d’années 1000 10301 … …
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes Formulation en un programme linéaire en nombres entiers Soit G=(V, E) un graphe c un vecteur-poids sur les sommets de V. Pour B V, on pose
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes v 2 v 3 v 1 (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 1, 1)
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes v 2 v 3 v 1 On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0, 0, 1) (1, 1, 1) (0, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0)
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes v 2 v 3 v 1 On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0, 0, 1) (1, 1, 1) (0, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0)
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes v 2 v 3 v 1 On associe à chaque solution un point saillant d’un (hyper)-cube (0, 0, 1) (1, 0, 1) (0, 1, 1) (0, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0)
Formulation mathématique: Approche polyèdrale et algorithme de coupes PB(G)=conv { x. W | W V, (W, E(W)) est biparti }
Complexité des problèmes Est-ce que ce problème de bipartisation est difficile ou non? On dit que ces problèmes sont faciles ou polynomiaux et les autres problèmes sont donc dans P dans Non-P On ne sait pas dire si de nombreux problèmes célèbres sont dans P ou dans Non-P La classe de problème la plus célèbre est la Classe NP (Non-Deterministic Polynomial) C’est la classe des problèmes dont on peut facilement savoir si une solution quelconque est valide ou non valide. P=NP ?
Problème de Via Minimization Circuit électronique Croisement Ensemble de composants avec un ou plusieurs points terminaux reliés par des pistes rassemblées en réseaux. Deux pistes de réseaux différents qui se croisent doivent être affectées à des couches différentes dans le but d’éviter les connexions interdites. Croisement
Problème de Via Minimization Une affectation valide est une affectation des pistes sur les couches de manière à ce que deux pistes de réseaux différents qui se croisent, soient sur des couches différentes. Via Trou à percer pour connecter deux pistes d’un même réseau. Fil sur couche A B
Problème de Via Minimization Le problème de Via Minimization contraint Déterminer une affectation valide des segments de pistes sur les couches avec un nombre minimum de vias sans déplacer les pistes.
Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C
Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C
Problème de Via Minimization Pour tout cycle impair C de G. Un via doit être percé à l’emplacement correspondant à un des sommets du cycle impair C. C
Problème de Via Minimization Le problème de Via Minimization sur 2 couches est équivalent au Le problème du sous-graphe biparti induit
Problème de Via Minimization 88 réseaux 1695 croisements nb sommets 6579 Temps de calcul 7 min 50 nb coupes 7551 328 vias
Problème de Via Minimization 729 réseaux 73166 croisements nb sommets 291993 nb coupes 10481 Temps de calcul 4 h 05 2089 vias
Conclusion Modélisation d’un problème de séquençage des génomes diploïdes Modélisation du problème de Via Minimization Etude polyédrale du problème de bipartisation de graphe Elaboration de logiciels de résolution pour le problème de génomique et d’électronique.
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