De lart denseigner les mathmatiques la didactique et

De l’art d’enseigner les mathématiques à la didactique et à l’étude des situations ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 1

Des pratiques anciennes… Enseigner des techniques Mathématiques 6000 Ans 0, 5 Million d’années éduquer les enfants 2 à 5 millions d’années ? ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 2

et l’étude de ces pratiques Étude des Mathématiques Didactique Art d’enseigner tout à tous Papyrus Rhind - 18 ième siècle Av. JC Comenius 1632 L’enseignement, l’apprentissage et l’éducation mathématique 18 ième-21 ième siècles Pédagogie Art d’ éduquer les enfants ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 3

Au début du 20 ième siècle, l’éducation n’est toujours pas l’objet d’une Science Didactique Art d’enseigner Mathématiques L’enseignement et l’apprentissage Philosophie L’éducation mathématique Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 4

Elle est un champ (scientifique ? ) pour les sciences constituées Mathématiques Didactique Art d’enseigner Logique Statistique Economie L’enseignement et l’apprentissage L’éducation mathématique Sociologie Anthropologie Psychologie Neurosciences Médecine Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE Linguistique Histoire de l’Éducation Droit, déontologie de l’éducation intro 2 La didactique des mathématiques 5

Didactique Art d’enseigner Mathématiques Méthodologie Description Conception de méthodes D’enseignement Certains proposent de fonder les Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE méthodes d’enseignement sur la connaissance scientifique des processus psychologiques généraux et notamment sur le behaviorisme. Mais en l’absence d’une analyse systématique de stimuli spécifiques, ce domaine ne peut proposer que des prescriptions générales intro 2 La didactique des mathématiques 6

Didactique Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Méthodologie u. De leur côté les mathématiques Description Conception de méthodes D’enseignement Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE se développent, mais aussi elles se renouvèlent : u. Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements, leur structure et la conception de leur mode de fonctionnement et de leur rôle social se modifient profondément… u. Leurs rapports avec la logique, avec les autres sciences, avec l’histoire des concepts mathématiques - et donc avec leur l’enseignement - se renouvellent au sein d’un domaine nouveau de la philosophie : l’épistémologie, la théorie des sciences. intro 2 La didactique des mathématiques 7

Didactique Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Confrontation à la contingence ? Méthodologie Description Pédagogie Conception Histoire des Maths Limitée à l’étude philosophique fondée sur des évènements historiques passés, donc non reproductibles, par définition, l’épistémologie n’est pas une science expérimentale. Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 8

Didactique Art d’enseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Mathématiques Epistémologie Méthodologie Description Histoire des Maths Conception L’épistémologie pourrait proposer de nouvelles conceptions et de nouvelles organisations de l’enseignement des mathématiques Pédagogie mais la méthodologie ne peut pas les étudier de façon expérimentale et scientifique Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 9

Didactique Art d’enseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Mathématiques Epistémologie Méthodologie Description Conception Histoire des Maths Épistémologie génétique Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE Psychologie cognitive intro 2 La didactique des mathématiques De plus, les conceptions pédagogiques et méthodologiques classiques sont l’objet de critiques de la part des sciences psychologiques 10

Didactique Art d’enseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Méthodologie Description Mathématiques Epistémologie élargie Confrontation à la contingence Conception Psychologie cognitive Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE Histoire des Maths Épistémologie génétique Ainsi d’abord prolongée par l’épistémologie génétique (étude du développement des connaissances chez l’enfant) puis par la psychologie génétique et cognitive. l’épistémologie élargie peut tendre à devenir une science expérimentale. intro 2 La didactique des mathématiques 11

u u u Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et de sa genèse, l’épistémologie peut se soumettre à des expériences par l’intermédiaire de la psychologie cognitive et génétique, puis par les neurosciences. Or les processus neurologiques ne déterminent pas seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus individuels et collectifs de la création d’un concept précis. D’autre part les apports de ces deux domaines semblent contredire fortement de nombreux principes de la méthodologie classique Or l’étude de la re-création des connaissances spécifiques au cours de processus didactiques peut fournir à l’épistémologie une confrontation expérimentale plus directe de ses thèses avec la contingence. Cette étude est à la fois plus visible et plus nécessaire lorsque le développement rapide des mathématiques conduit à essayer de modifier la méthodologie de leur enseignement ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 12

Didactique Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie élargie Méthodologie Description Confrontation à la contingence ? Conception L’épistémologie élargie ne peut toujours pas étudier scientifiquement les conditions sociales et culturelles de l’apparition des connaissances spécifiques, ni en concevoir de nouvelles à partir des observations Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE Elle ne peut donc pas être la théorie de la méthodologie intro 2 La didactique des mathématiques 13

Pratiques et savoirs didactiques u Comenius avait énoncé une série de principes et de règles fondamentales pour « enseigner toutes les matières – y compris la morale - avec une méthode unique » avec seulement quelques compléments particuliers. • « Un seul maître suffit à n’importe quel nombre d’élèves, ceux d’une même classe font la même chose simultanément, avec le même livre, … • « Tout ce qui doit être su doit être enseigné, comme actuel et utile, directement et sans détour » • « L’enseignement direct fait voir les causes, il commence par les généralités et va ensuite aux détails. Les connaissances doivent être présentées une à une et une seule à la fois • Il faut insister jusqu’à parfaite compréhension… » u Au début du 20 ième siècle la discussion des principes de l’éducation appartient à la Pédagogie, L’étude des méthodes préconisées par les grands éducateurs et/ou pratiquées par les professeurs fait l’objet de la Méthodologie. ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 14

Les situations mathématiques En comparant la résolution des problèmes à l’histoire des concepts mathématiques, il apparaît que certaines conditions, qui disparaissent de l’énoncé final, jouent un rôle essentiel. u Ces conditions peuvent être considérées comme un milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce jeu peut être modélisé par une « situation » . u Ainsi chaque concept mathématique peut être associé à des conditions dans lesquelles un être humain est amené à produire, comme réponse, un comportement spécifique témoignant d’une certaine connaissance d’un concept mathématique u La notion de « situation » que nous définirons et étudierons d’abord, élargit donc la notion de « problème » et permet d’introduire d’autres paramètres que la validité logique (Ex. : efficacité). Cf. énoncés théorèmes problèmes situations u ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 15

Schéma d’une Situation mathématique Figure 1 Connaissances Invention apprentissage Sujet apprenant ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques Milieu matériel, social etc adaptation 16

Connaissances et savoirs mathématiques u u Nos connaissances mathématiques sont le résultat d’activités complexes, individuelles et collectives très diverses. Une partie d’entre elles peut s’exprimer par des termes, des définitions, des théorèmes…, et sont des références culturelles, ce sont les « connaissances - savoir » . Appelons les « savoirs » D’autres interviennent dans les décisions mais elles sont instables, incertaines ou même fausses ou inexprimables, elles naissent et disparaissent selon les circonstances mais elles sont indispensables à la pensée et à l’apprentissage. Appelons les « connaissances » Enseigner les mathématiques consiste à enseigner les savoirs et l’usage des connaissances. Il n’y a donc pas d’autre moyen que de susciter chez les élèves des activités similaires à celles des mathématiciens qui les produisent. Tout apprentissage est un phénomène épistémologique ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 17

u u u De façon classique l’activité mathématique est provoquée par des problèmes et des exercices obtenus en transformant le texte de certains théorèmes. Cette méthode présente l’inconvénient d’instaurer l’organisation standard des textes mathématiques comme le modèle de la pensée mathématique naturelle et vivante et ainsi de réduire cette pensée créative à sa fonction de démonstration. La responsabilité de cette représentation de la pensée mathématique repose entièrement sur le professeur qui est conduit à réprimer tout écart à ce modèle. Les connaissances éventuellement provoquées par le problème doivent être immédiatement traduites en savoirs ou réprimées Toute manifestation d’une connaissance que le professeur sait être une erreur ou une digression, devient une faute qu’il doit réprimer. Il en résulte une tension qui est difficile à supporter pour la plupart des élèves et des professeurs. Les connaissances deviennent sulfureuses et l’activité mathématique devient individuelle et solitaire. ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 18

u u Remplacer certains problèmes par des situations permet de déférer une part cette responsabilité à un milieu chargé de laisser libre cours à la pensée de l’élève, et de lui en montrer les conséquences, indépendamment du professeur… qui devient alors disponible pour une attitude positive. Toute la difficulté de l’ingénierie didactique consiste alors à faire que les réactions du milieu soient instructives, c’est-àdire conduisent assez rapidement à résoudre le problème (souvent caché) en comprenant sa résolution. Autrement dit qu’il produise des réactions non seulement correctes mais suggestives et pertinentes, c’est-à-dire spécifiques de la connaissance à produire et adaptées à la démarche de l’élève. Un milieu faiblement significatif, qui se borne par exemple à indiquer « réussite/échec » sans que chaque expérience apporte d’autre information que l’élimination d’une issue possible est un milieu très dispendieux et inefficace La relation didactique peut être modélisée par un système composé d’un élève et d’un milieu dont le professeur n’est qu’une partie. Ce modèle permet de mieux analyser les observations des épisodes de classe ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 19

L’épistémologie expérimentale Les situations retiennent des ensembles de conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui rend possible leur reproduction et leur analyse à l’aide de leurs effets sur les décisions des élèves. u Noter bien qu’il s’agit d’une étude des situations et non pas d’une étude des élèves. u Ainsi les situations permettent, - de reproduire à volonté des phénomènes pour les étudier, ce qui fonde l’épistémologie expérimentale des mathématiques - d’éprouver et d’améliorer des dispositifs pour l’enseignement d’une connaissance, ce qui fonde l’ingénierie didactique - d’étudier les dispositifs pour la psychologie du développement des connaissances des élèves u ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 20

Didactique Art d’enseigner Mathématiques Epistémologie Expérimentale Méthodologie Description Confrontation à la contingence ? Conception Étude des Situations mathématiques Observation Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE Ingénierie des dispositifs Méthodes d’observation des situations mathématiques intro 2 La didactique des mathématiques 21

Les situations didactiques u u u Les situations mathématiques sont utilisées pour faire produire et apprendre aux élèves des connaissances mathématiques. Ces connaissances apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui leur est spécifique et qui permet à l’élève de les reconnaître, de les comprendre, de les apprendre et de les utiliser. Aucune intervention extérieure n’est nécessaire pour la construction historique des mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par contre, dans les processus d’apprentissage, l’intervention du professeur et de la société sont indispensables et le sens des mathématiques enseignées peut en être changé. Il faut donc reprendre l’étude des situations mathématiques en considérant chacune comme une partie d’une situation didactique. Celle-ci sera définie comme « un système de conditions qui permet à un professeur et à un groupe d’élèves de s’acculturer à une partie déterminée des mathématiques » . ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 22

Le « triangle didactique » Figure 2 Transposition didactique Savoir scolaire Système Educatif apprentissage Elève communication ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 23

La situation didactique utilise des situations mathématiques Figure 3 Savoir scolaire Système Educatif Connaissances organisation Elève Ce schéma évite la confusion des fonctions Milieu matériel, social etc. Sujet apprenant Et l’éviction du milieu ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 24

u u u Note sur le milieu, les situations et les problèmes. La situation est composée de règles (d’un jeu) proposées par le professeur et d’un milieu composé de contingences matérielles et des savoirs de l’élève Le milieu et les règles déterminent ensemble la trouvaille probable de la réponse et de la solution. Mais la validité des « informations » qui apparaissant dans les rapports de l’élève avec le milieu ne sont plus de la responsabilité du professeur. Celui n’étant donc plus obligé de dénoncer et de rectifier immédiatement celles qu’il sait fausses, comme il est obligé de le faire dans le cas de la résolution d’un problème, peut laisser se développer une activité mathématique authentique et publique de la part de l’élève, sans déroger à sa mission de professeur, garant de la vérité de qui apparaît Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de son rôle, une situation devient un simple problème, c’est-à-dire une reconstitution de texte suivant la logique de l’exposé d’un texte. Ce qui ne simule et ne développe qu’une des composantes de l’activité mathématique et qui en modifie la signification et l’usage ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 25

Mathématiques Didactique Art d’enseigner Epistémologie Expérimentale Situations mathématiques Méthodologie Description Conception Etudes situations didactiques en mathématiques Situations didactiques en mathématiques Observation Ingénierie didactique Méthodes d’observation des situations didactiques Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 26

Mathématiques Didactique Art d’enseigner Epistémologie Expérimentale Méthodologie Description Conception Etudes situations didactiques et des curriculums en mathématiques Domaines de la Didactique des Mathématiques abordés dans ce cours Microdidactique Macrodidactique Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 27

Approches globales Didactique Art d’enseigner Méthodologie Description Mathématiques Epistémologie Expérimentale Théorie Conception Approches théoriques et expérimentales de la Didactique des Mathématiques anthropo logique Théories des situations Champs conceptuels Registres Pédagogie Approches locales Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 28

Mathématiques Epistémologie Expérimentale Didactique Art d’enseigner Méthodologie Description Conception Didactique empirique des mathématiques Didactique théorique et expérimentale des Mathématiques Pédagogie Art d’ éduquer ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 29

L’étude des situations Programme du cours ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 30

1ère Partie 2ème Partie Situations mathématiques Observation Méthodes d’observation des situations mathématiques Méthodologie de l’observation ULYSSE Ingénierie mathématique et didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations mathématiques Curriculums mathématiques Observations longitudinales Méthodes d’observation des curriculums didactiques Théorie des Méthodologie situations de la recherche mathématiques expérimentale à usages didactiques intro 2 La didactique des mathématiques Ingénierie Mathématique et didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des curriculums Théorie des curriculums didactiques en mathématiques 31

3ème Partie 4ème Partie Situations didactiques en mathématiques Observation d’épisodes didactiques Méthodes d’observation des situations didactiques Méthodologie de la recherche expérimentale en didactique ULYSSE Ingénierie didactique Macrodidactique des mathématiques Observations macrodidactiques cadres conceptuels Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations didactiques Modélisation des phénomènes systèmes à agents didactiques Théorie des situations didactiques en mathématiques -Théories Anthropologiques du Didactique -Théories behavioristes et économiques - Ethno mathématiques intro 2 La didactique des mathématiques 32

4 ième Partie : Phénomènes de Macro didactique u u u La microdidactique étudie comment les connaissances humaines sont diffusées, reproduites et utilisées par les individus et par les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée à la microéconomie. La théorie des situations didactiques appartient à la microdidactique. Elle étudie la relation didactique Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique, c’est-à-dire l’étude scientifique de tous les phénomènes en rapport avec la diffusion des connaissances mathématiques dans les différentes sociétés humaines? Dans ce cas, l’ethnomathématique serait la partie anthropologique de la macrodidactique des mathématiques - La Théorie Anthropologique du Didactique (Anthropologie des savoirs) fera l’objet d’un chapitre introductif à part ULYSSE intro 2 La didactique des mathématiques 33