TICE et didactique des mathmatiques Claire Cazes UPMC

TICE et didactique des mathématiques Claire Cazes , UPMC Laboratoire A. Revuz P 7 claire. cazes@upmc. fr Année 2009 -2010

Sommaire • Introduction • Panorama croisant technologie et problématique : – – Programmation / théorie de la réification Micromonde / cognition située; TDS Calculatrice/ notion de registre sémiotique CAS /approche instrumentale • Prochain cours: – Ressources en ligne / théorie de l’activité

Introduction

Introduction • Les mathématiques : un domaine a priori privilégié pour étudier les implications éducatives de l’informatique : – les liens originels de l’informatique avec cette discipline, – le développement très précoce de travaux sur les apports possibles des technologies informatiques à l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques, – une prise en compte institutionnelle précoce.

En France, par exemple… • Depuis 1982, l’utilisation raisonnée de calculatrices figure explicitement dans le curriculum ; les calculatrices graphiques sont obligatoires au niveau lycée depuis plus de dix ans ; l’utilisation de logiciels de géométrie dynamique, de tableurs est officiellement au programme ; l’utilisation de systèmes de calcul formel est encouragée ; • Les calculatrices de tout type peuvent être utilisées dans des examens comme le baccalauréat ; • Un système de licences permet aux établissements d’acheter à des tarifs réduits des logiciels reconnus d’intérêt pégagogique ; • Le Ministère a soutenu le développement de logiciels, il soutient l’innovation et la recherche, le développement et la dissémination de ressources

Mais un contraste frappant… • Entre les discours, les analyses et recherches sur les potentialités des technologies informatiques et la réalité du terrain qui montre une progression de l’intégration très lente sans commune mesure avec ce qui est observé au niveau social et professionnel : – des calculateurs et logiciels qui commencent juste à être intégrés alors qu’Internet renouvelle profondément les perspectives éducatives et les questions d’intégration. – un enseignement des mathématiques qui, malgré les apparences, ne prend pas réellement en compte l’évolution technologique et considère la technologie essentiellement comme une aide pédagogique. – des logiques et des légitimités différentes.

Les artefacts influencent la conceptualisation • Exemple : la multiplication 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 Artefacts Tâche 1: écrivez des conjectures sur le rôle spécifique chaque artefact peut jouer dans le conceptualisation de la multiplication.

Ex 1: le rôle des artefacts Table Calculateur Opération On peut induire un processus d’itération Faire le lien avec le nbr de cases Le symbole est donné Commutativité Elle se « lit » Elle se conjecture et vérifie

Qu’apportent les recherches didactiques à: • la compréhension des potentialités des TICE pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques ? • la compréhension des conditions nécessaires à l’actualisation de ces potentialités ? • la compréhension des difficultés récurrentes rencontrées dans l’intégration des TICE ?

Une vision panoramique des recherches et de leur évolution

Recherche didactique et TICE • Un domaine de recherche foisonnant marqué par des théorisations très diverses et dont il est difficile de rendre compte de façon synthétique • Un domaine où la recherche pose des problèmes spécifiques du fait de la rapidité de l’évolution technologique • Un domaine marqué par de nombreuses collaborations interdisciplinaires spécifiques • Un domaine soumis à une forte pression idéologique

Comment approcher ce domaine de recherche ? Plusieurs organisations possibles : • les technologies utilisées • les problématiques de recherche et les cadres théoriques qui les sous-tendent • l’évolution chronologique des travaux • les types de résultats obtenus

Un regard croisant technologies et problématiques sur quelques exemples • Les langages informatiques : la perspective ‘programmation’, les théories de la réification • La notion de micro-monde : de LOGO aux logiciels de géométrie dynamique et de simulation, du constructivisme vers la cognition située • Calculatrices et logiciels graphiques : interaction entre registres sémiotiques et conceptualisation • Logiciels de calcul symbolique, tableurs : des technologies non dédiées à l’enseignement, l’émergence des questions d’instrumentation • Les développements actuels : EAD, ressources en ligne, collaborative learning…

1. Les langages informatiques : la perspective ‘programmation’, les théories de la réification

Réification • De manière générale, la réification consiste à transformer ou à transposer une abstraction en un objet concret, à appréhender un concept, comme une chose concrète. • En informatique la réification consiste à transformer un concept en un objet informatique. Ce terme est surtout utilisé en programmation orientée objet. (Par exemple, soit un objet p d'une classe Point et contenant les deux entiers 2 et 3 dans son état. p est une réification du point de coordonnées (2; 3)).

La perspective programmation • L’hypothèse clef : la programmation dans un langage adapté : – permet une prise de distance par rapport à l’action et favorise la conceptualisation – favorise le passage de l’action au processus, l’encapsulation de processus en objets • Un exemple paradigmatique : la théorie APOS et le langage ISETL

L’APOS theory (Dubinski…) Action Internalisation Processus Encapsulation Objet Schemas La « décomposition génétique » Exemple: la dérivation • Calculer un nombre dérivé • Penser la dérivation comme un processus • Considérer l’objet « dérivée »

Dualité processus/objet APOS et ISETL (Dubinsky) SCHEMA Combinaison, Inversion Intériorisation Processus Action Encapsulation Objet

Utilisation de ISETL : deux exemples Interactive SET Language • Les étudiants écrivent des programmes qui correspondent aux opérations sur un groupe fini (ex. Z/12 Z), puis des programmes qui permettent de vérifier que ces opérations vérifient les axiomes des groupes. • Les étudiants écrivent des programmes associés à des fonctions particulières puis des programmes qui opèrent sur des fonctions (opérations, vérification de propriétés…) • La programmation en ISETL est perçue comme un moyen de passer de l’action au processus, puis d’encapsuler le processus en objet réinvesti dans de nouvelles actions. • PB il faut commencer par apprendre à programmer

2. La notion de micromonde : de LOGO aux logiciels de géométrie dynamique et de simulation, du constructivisme vers la cognition située

Les micromondes • Une structure qui réifie des objets mathématiques et des opérations sur ces objets, en permettant une « manipulation directe » des abstractions mathématiques • L’exemple paradigmatique de LOGO : la géométrie de la tortue • Les perspectives constructivistes sous-jacentes et les pédagogies de la découverte.

2. 1. Exemple de Logo

Seymour Papert (né en 1928) • Collabore avec Piaget • Développe une théorie de l’apprentissage le constructionnisme : « L’acquisition des connaissances est meilleure quand l’apprenant est engagé dans la construction d’un objet externe ou partageable » • Un des inventeurs du langage logo.

Piaget (1896 -1980) Psychologue et epistémologue Constructivisme, théorie de l’apprentissage qui suppose que les connaissances de chaque sujet ne sont pas une simple "copie" de la réalité, mais une "(re)construction" de celle-ci. Le constructivisme s'attache à étudier les mécanismes et processus permettant la construction de la réalité chez les sujets à partir d'éléments déjà intégrés.

Efficacité de Logo? • Environnement motivant mais… • Peu de transfert à d’autres situations de résolution de problème sans activités explicites • Excellente préparation à la programmation

Micromondes : avantages Engagement Activités motivantes L’apprenant découvre les règles plutôt que de les recevoir Réification Raisonnement hypothético-déductif Règles formelles qui peuvent être inférées d’un résultat visible Résultat Un apprentissage fortement ancré dans l’action et l’expérience Une représentation opératoire du domaine Des stratégies de raisonnement

Théorie de l’action située • Le terme "situated action" sous-tend l'idée que toute action dépend étroitement des circonstances matérielles et sociales dans lesquelles elle a lieu. • Plutôt que de tenter d'abstraire une structure de l'action pour la représenter sous la forme d'un plan rationnel, l'approche préconisée par Suchman (1987) et les théoriciens de l'action située consiste à comprendre comment l'homme parvient à produire des plans en cours d'action.

Cognition située • ". . . every cognitive act must be viewed as a specific response to a set of circumstances". • Ainsi, l'expérimentation en laboratoire ne peut plus prétendre mettre en évidence des capacités cognitives valables en toute situation. • En conséquence il n’existe pas toujours de transferts d’apprentissage.

Exemple de micromonde : La géométrie dynamique • Un concept revitalisé par le développement de logiciels spécifiques. • Une des technologies qui a sans doute eu le plus d’impact sur la vision d’un domaine mathématique et la réflexion sur son enseignement.

Les rapports entre perception et géométrie • Les rapports entre dessin et figure, comme illustration des rapports complexes entre perception et géométrie • Les premiers contacts avec l’espace : perception, action guidée et contrôlée par la perception • L’entrée dans le monde géométrique : la nécessité de dépasser ces premiers rapports • L’évolution de visions en termes d’opposition à des visions plus dialectiques des rapports entre perception et géométrie. • Les potentialités dans ce domaine des DGS : un milieu pour poser la question des rapports entre perception et géométrie et faire évoluer les conceptions des élèves.

TP géométrie dynamique Que peut-on dire de la droite joignant les milieux de deux côtés d’un triangle? • Tâche mathématique: Répondre à la question en utilisant les logiciels de GD. • Tâche ergonomique : Comparer les logiciels. Logiciels fournis : Géogebra, Casyopée, Mathgraph 32

Bilan TP

Les apports de la TSD Théories des Situations Didactiques (G. Brousseau 1986) Quelques mots clé (illustrations issues du TP) • Situation • Contrat didactique - Dévolution • Milieu didactique (notion de rétroaction) Situation a-didactique • Décontextualisation • http: //pagesperso-orange. fr/daest/guybrousseau/textes/Glossaire_Brousseau. pdf

Contrat didactique On appelle contrat didactique, l’ensemble des comportements de l’enseignant qui sont attendus de l’élève, et l’ensemble des comportements de l’élève qui sont attendus de l’enseignant…Ce contrat est l’ensemble des règles qui déterminent explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement, ce que chaque partenaire de la relation didactique va avoir à gérer et dont il sera, d’une manière ou d’une autre, comptable devant l’autre.

Dévolution La dévolution consiste pour l’enseignant, non seulement, à proposer à l'élève une situation qui doit susciter chez lui une activité non convenue, mais aussi à faire en sorte qu'il se sente responsable de l’obtention du résultat proposé, et qu’il accepte l’idée que la solution ne dépend que de l’exercice des connaissances qu’il possède déjà.

• « Une situation est caractérisée dans une institution par un ensemble de relations et de rôles réciproques d’un ou de plusieurs sujets (élèves, professeur, …) avec un milieu visant la transformation de ce milieu selon un projet. • Le milieu est constitué des objets (physiques, culturels, sociaux, humains avec lesquels le sujet interagit dans une situation. • Le sujet détermine une certaine évolution parmi des états possibles et autorisés de ce milieu vers un état terminal qu’il juge conforme à son projet. »

Analyse a priori de la tâche • Double tâche : mathématique et analyse réflexive (comparaison de logiciel) • Analyse a priori de la tâche math complexe avec plusieurs sous-tâches – penser à construire une figure associée à la question (plusieurs commandes : points libres, segments, milieux, droite) – faire varier les triangles en utilisant la GD, – En déduire une conjecture – La tester, éventuellement, en utilisant le logiciel.

Analyse a priori de la tâche ergonomique • Comparaison : ouverte aucune indication de méthode ni réf à un cadre théorique si ce n’est le titre ergonomique. • Comparer – les fonctionnalités possibles – Les « signes » (icones, vocabulaire, …) utilisés – Les rétroactions – Les requêtes possibles

Exemple • Projet Européen : Remath http: //remath. cti. gr/default_remath. asp • The project addresses the task of integrating theoretical frames on mathematical teaching and learning with digital technologies at the European level, taking a ‘learning through representing’ approach and focusing on the didactical functionality of digital media.

D i d i r e m Exemple of task Optimization Pb a, b, c, 3 parameters >0 A(-a, 0); B(0, b); C(c, 0) Find a rectangle MNPQ of maximal area (with M on [OA] ; Q on [OC] ; N on [AB] and P on [BC])

Aspects a-didactique • Construction de la figure : elle doit être stable par déplacement • Erreur dans l’expression du calcul de l’aire mise en évidence par des variations inadéquate • Choix de la variable • Vérifier si la solution trouvée est correcte

Micromondes : limites • Réflexivité difficile : apprendre à partir du résultat de ses actions dans un domaine peu connu … • Persistance des conceptions erronées Focalisation sur des aspects non pertinent • Apprentissage « coûteux » : Temps de développement et temps d’apprentissage. Se justifie dans les cas où l’enseignement de la règle ne suffit pas, où l’on nécessite une connaissances en profondeur • Prise de conscience : croissante du caractère « situé » des connaissances. développement d’approches de l’apprentissage mettant l’accent sur : la construction de connections , la communication

3. Calculatrices et logiciels graphiques : interaction entre registres sémiotiques et conceptualisation

La dimension sémiotique de l’activité mathématique • Les objets mathématiques sont accessibles et manipulables par l’intermédiaire de représentations sémiotiques. (La sémiotique étudie le processus de signification c'est-à dire la production, la codification et la communication de signes) • Cette caractéristique est prise en compte dans les recherches à travers différentes constructions théoriques : – la dialectique entre ostensifs et non-ostensifs (Chevallard et Bosch) – la notion de registre sémiotique et de conversion entre registres (Duval) – La théorie de la médiation sémiotique (Bartolini et Mariotti)

Ostensif et non ostensif • Ostensif : qui peut être manipulé : objet, geste mot, schéma • Non ostensif : ne peut pas être manipulé : notion concept, idée. Mais peut être évoqués à travers la manipulation ex (2^x=10, on prend le ln de x) • « toute technique suppose l’activation d’objets les uns ostensifs ils seront manipulés, les autres non ostensifs ils seront évoqués

Registres sémiotiques • Un registre sémiotique est défini par R. Duval comme un système permettant la formation de représentations sémiotiques suivant des règles précises, leur transformation à l’intérieur de ce registre et leur conversion en représentations d’autres registres. • Le processus de conceptualisation passe par la distinction entre un objet et ses diverses représentations sémiotiques possibles. La conversion entre registres en est donc un moteur essentiel. • Le jeu entre registres de représentation est, comme le jeu entre cadres (Douady) un levier clef pour la construction des connaissances mathématiques.

Exemple : les registres du cadre fonctionnel • Le travail dans le cadre fonctionnel peut mobiliser différents registres : – le registre de la langue naturelle, – le registre des tableaux, – le registre graphique, – le registre des écritures algébriques, – le registre symbolique intrinsèque.

l’exemple le passage entre différents registres Vert : groupe 1 ; Rouge : groupe 2 Noir : groupe 3 Bleu : groupe 4 Geometrical frame Covariation Algebraical frame Graphical frame Numerical register

Les outils graphiques et l’articulation de registres de représentations • Une centration sur les possibilités offertes par la visualisation et les articulations entre registres sémiotiques. • Le développement de logiciels spécifiques. • Mais aussi de nombreuses recherches sur les calculatrices graphiques : une technologie plus ordinaire et la confrontation de la recherche à des contextes plus usuels.

4. Logiciels de calcul symbolique, tableurs : des technologies non dédiées à l’enseignement, l’émergence des questions d’instrumentation

Les logiciels de calcul symbolique • Une technologie qui pose des problèmes spécifiques car : – non conçue à des fins éducatives – bouleversant davantage les valeurs éducatives • Une technologie qui va conduire à mieux problématiser : – les rapports entre technique et conceptuel – les questions d’instrumentation • Le développement d’une approche instrumentale combinant approche anthropologique du didactique et approche ergonomique de l’instrumentation

Quelques caractéristiques des situations observées Ø La tension entre deux tendances opposées: 1. la première favorisant le travail réflexif et stratégique attendu, 2. la seconde favorisant l’action sans réflexion et la perte de sa cohérence globale. Ø Le coût cognitif important de l’interprétation des feed back et ses effets. Ø La permanence d’un important travail technique.

L’ approche instrumentale • Instrument = artefact + schèmes d’utilisation (Rabardel) Réorganisation de l’activité (avec et sans l’artefact) Un artefact Un sujet ses potentialités ses contraintes ses connaissances La genèse instrumentale (à travers l'activité propre du sujet et l'activité organisée par le maître) Les schèmes d'utilisation Un instrument

Exemples : les schèmes de cadrage f(x)=x(x+7)+9/x

L’approche instrumentale Ø Le souci de ne pas minimiser le rôle des techniques et médiations instrumentales dans l’apprentissage. Ø Le souci de conjuguer une approche cognitive et institutionnelle. Approche anthropologique Approche ergonomique

Techniques • Une manière d’effectuer un type de tâche • un assemblage complexe de raisonnement et de routine. • Elles ont -une valeur pragmatique -une valeur epistémique • Elles évoluent durant l’apprentissage – Elaboration – Pratique – Routinisation Types de. Tâches pragmatique Techniques epistémique Théories

Les apports principaux de l’approche anthropologique Ø Une sensibilité aux rapports institutionnels, à leur évolution nécessaire, aux conflits potentiels. Ø Des outils d’analyse via la notion de praxéologie. Mais aussi : Ø La reconnaissance de la double valence pragmatique et épistémologique des techniques. Ø La reconnaissance que l’avancée de la connaissance passe par la routinisation de tâches et de techniques et leur naturalisation, ceci induisant une démathématisation des gestes associés.

Pourquoi faire interagir ces deux cadres ? Ø Le fait que la recherche didactique a construit ses cadres théoriques en référence à des environnements technologiques pauvres, à l’inverse de l’ergonomie cognitive. Ø Le fait qu’il existe des différences essentielles entre l’apprentissage instrumenté en situation de travail et l’apprentissage instrumenté scolaire, en termes de légitimité et valeurs.

La vie ordinaire des techniques dans leur relation avec la conceptualisation Rencontre de nouveaux problèmes Exploration Techniques artisanales Selection, amélioration, institutionnalisation de certaines techniques Techniques officielles Techniques personnelles Developpement d’un discours « théorique » Routinisation et investissement dans des situations plus complexes

Des difficultés spécifiques… Ø La diversité des commandes et des techniques possibles et les réactions dominantes face à cette diversité. Ø Le mélange de connaissances mathématiques (certaines nouvelles) et «machine » engagé nécessairement dans un discours explicatif et justificatif. Ø L’accessibilité problématique de certaines de ces connaissances. Ø La distance existante avec les normes et valeurs usuelles de l’enseignement des mathématiques.

Ceci amène à différencier deux catégories de situations Celles issues de l’usage de la technologie elle -même et en particulier exploitant les nouveaux besoins de connaissance résultant de la transposition informatique. Ø Celles exploitant le potentiel pragmatique des CAS pour susciter des questions et développer des activités de mathématisation, pour motiver des généralisations, pour attaquer des problèmes plus complexes. Une littérature qui favorise trop exclusivement les secondes et n’exploite pas toutes les potentialités épistémiques des techniques instrumentées Ø

Les retombées et prolongements Ø La relecture à la lumière de ces constructions des ingénieries didactiques réalisées et une vision plus claire des problèmes délicats d’écologie des CAS dans l’enseignement secondaire. Ø Le développement de logiciels plus spécifiques à la résolution de certains types de tâches, s’appuyant sur des noyaux de CAS existants.

Les évolutions plus récentes • Des micromondes vers des outils intégrant des modèles de l’apprenant et une plus forte interaction didactique : le logiciel Aplusix, le projet LINGOT • La mutation liée à Internet et le développement de nouvelles formes d’interactivité et de travail collaboratif : le modèle des communautés de pratiques