MATHMATIQUES FINANCIRES I Sixime cours ACT 2025 Cours

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • Échéance moyenne ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • Échéance moyenne approchée ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • Échéance moyenne approchée • Duplication du capital ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • • Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • • • Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • • • Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 ACT 2025 - Cours 6

Rappel: • • Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 Méthode de bissection ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3 e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4 e année et 3000$ à la fin de la 6 e année. Déterminer le taux d’intérêt par la méthode de bissection. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: L’équation de valeur à la date de comparaison t = 6 est 10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Cette équation de valeur 10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000 peut être réécrite sous la forme f(i) = 10000(1 + i)6 - 4000(1 + i)3 - 5000(1 + i)2 - 3000 = 0 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Ainsi le taux d’intérêt recherché est un zéro de la fonction f(x) = 10000(1 + x)6 - 4000(1 + x)3 - 5000(1 + x)2 - 3000 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux tels nombres a et b. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4. 3% par année et 4. 9% par année, nous remarquons que f(4. 3%) = -103. 98 et f(4. 9%) = 205. 27 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4. 3% par année et 4. 9% par année, nous remarquons que f(4. 3%) = -103. 98 et f(4. 9%) = 205. 27 Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4. 3% et 4. 9%. Ceci est la première étape de la méthode de bissection. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous aurons pu prendre d’autres valeurs que 4. 3% et 4. 9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée à ces valeurs connait un changement de signe. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu du segment [a, b] et d’évaluer la fonction f à ce point milieu. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Dans notre cas, nous avons que le point milieu est et la fonction f évaluée à ce point milieu est f(4. 6%) = 49. 19 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Comme f n’a pas le même signe lorsque évaluée à a et à b, alors seulement une et une seule des extrémités du segment [a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à la fonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celui de ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: (a + b)/2 et b. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous avons dans notre exemple f(4. 3%) = -103. 98, f(4. 9%) = 205. 27, f(4. 6%) = 49. 19 Comme f prend des valeurs de signes différents à 4. 3% et 4. 6%, nous poursuivons la méthode en répétant l’étape 2 mais avec le segment [4. 3%, 4. 6%]. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant x f(x) 4. 3% -103. 98 4. 9% 205. 27 4. 6% = (4. 3% + 4. 9%)/2 49. 19 4. 45% = (4. 3% + 4. 6%)/2 -27. 76 4. 525% = (4. 45% + 4. 6%)/2 10. 63 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant x f(x) 4. 4875% = (4. 45% + 4. 525%)/2 -8. 59 4. 50625% = (4. 4875% + 4. 525%)/2 1. 01 4. 496875% = (4. 4875% + 4. 50625%)/2 -3. 79 4. 5015625% = (4. 496875% + 4. 50625%)/2 -1. 39 4. 50390625% = (4. 5015625% + 4. 50625%)/2 -0. 19 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement i ≈ 4. 50% ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement i ≈ 4. 50% Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante (celle de millième), c’est-à-dire tout ce que nous savons concernant le taux d’intérêt i est que 4. 50390625% < i < 4. 50625 % ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si i ≈ 4. 503%, i ≈ 4. 504%, i ≈ 4. 505%, i ≈ 4. 506% ACT 2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite) Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si i ≈ 4. 503%, i ≈ 4. 504%, i ≈ 4. 505%, i ≈ 4. 506% Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusqu’au moment où celleci, la troisième décimale, ne changerait plus avec les étapes subséquentes. En poursuivant, nous obtiendrions le taux d’intérêt i = 4. 504271967% ACT 2025 - Cours 6

Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement de courte durée. ACT 2025 - Cours 6

Méthode « actuel/actuel » : Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 365 jours. Ainsi ACT 2025 - Cours 6

Méthode « 30/360 » : Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours où A 1 (resp. A 2) est l’année du début (resp. de la fin) de l’investissement, M 1 (resp. M 2) est le mois du début (resp. de la fin) de l’investissement et J 1 (resp. J 2) est le jour du début (resp. de la fin) de l’investissement. ACT 2025 - Cours 6

Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier: Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 360 jours. Ainsi ACT 2025 - Cours 6

Remarque 1: • L’intérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour d’un placement, mais pas les deux. • Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans d’autres. • Pour une année bissextile, l’année a 366 jours dans certains cas et 365 dans d’autres. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 2: Déterminons l’intérêt versé dans le cas d’un placement rémunéré au taux d’intérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/actuel » : Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier). Ainsi et l’intérêt versé est ACT 2025 - Cours 6

Exemple 2: (suite) Méthode « 30/360 » : Dans ce cas, nous avons et l’intérêt versé est ACT 2025 - Cours 6

Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/360 » : Dans ce cas, et l’intérêt versé est ACT 2025 - Cours 6

CHAPITRE III Annuités simples ACT 2025 - Cours 6

Définition 1: Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu d’annuité. ACT 2025 - Cours 6

Types d’annuité: • Annuités certaines ACT 2025 - Cours 6

Types d’annuité: • Annuités certaines • Annuités éventuelles ACT 2025 - Cours 6

La période de paiement d’une annuité est l’intervalle entre deux paiements. ACT 2025 - Cours 6

Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que • les paiements de l’annuité sont tous égaux ACT 2025 - Cours 6

Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que • les paiements de l’annuité sont tous égaux • la période de capitalisation de l’intérêt coïncide avec la période de paiement de l’annuité ACT 2025 - Cours 6

Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. ACT 2025 - Cours 6

Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Nous dirons que c’est une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé « annuitiesimmediate » . ACT 2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par ACT 2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par ACT 2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par Nous laisserons tomber l’indice i de ces notations lorsqu’il n’y aura aucune confusion sur ce qu’est le taux d’intérêt i. ACT 2025 - Cours 6

Nous avons alors le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT 2025 - Cours 6

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité: Nous obtenons que ACT 2025 - Cours 6

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité: Nous obtenons que En utilisant la formule connue suivante: ACT 2025 - Cours 6

Calcul de la valeur actuelle: (suite) Nous obtenons que ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: Zénon fait l’achat d’une moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 10% par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après l’achat. Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total d’intérêt payé pour chacune des options. ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 9%/12 = 0. 75% ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 9%/12 = 0. 75% Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année! ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 1 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) L’équation de valeur est où ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est P 1 = 548. 22 $ et le montant total d’intérêt est 24(548. 22) - 12000 = 1157. 28 $ ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 10%/12 = 0. 83333333% ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est i = i(12)/12 = 10%/12 = 0. 83333333% Là aussi il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année! ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 2 ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) L’équation de valeur est où ACT 2025 - Cours 6

Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est P 2 = 387. 21 $ et le montant total d’intérêt est 36(387. 21) - 12000 = 1939. 42 $ ACT 2025 - Cours 6