MATHMATIQUES FINANCIRES I Huitime cours ACT 2025 Cours

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours ACT 2025 - Cours 8

Rappel: • Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période ACT 2025 - Cours 8

Rappel: • Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période • Annuité simple constante de début de période ACT 2025 - Cours 8

Rappel: • Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période • Annuité simple constante de début de période • Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période ACT 2025 - Cours 8

Rappel: • Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période • Annuité simple constante de début de période • Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période • Valeur accumulée d’une annuité simple constante de début de période ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons ainsi vu quatre formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons ainsi vu quatre formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons ainsi vu quatre formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons ainsi vu quatre formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Ces différentes valeurs sont représentées dans le diagramme: ACT 2025 - Cours 8

Ce dernier diagramme nous permet de relier ces différentes valeurs. ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons les formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons les formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons les formules: ACT 2025 - Cours 8

Rappel: Nous avons les formules: ACT 2025 - Cours 8

Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n. ACT 2025 - Cours 8

Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n. La bonne stratégie est d’utiliser ce que nous avons développé jusqu’à maintenant pour exprimer ces valeurs. ACT 2025 - Cours 8

Annuité différée: • Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci ACT 2025 - Cours 8

Annuité différée: • Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci • Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci ACT 2025 - Cours 8

Annuité différée: • Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci • Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci • Valeur d’une annuité à un paiement de celle-ci ACT 2025 - Cours 8

Premier cas: Déterminons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$ dont le début est différé de m périodes. ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = 0 est donnée par la formule: ACT 2025 - Cours 8

Exemple 1: Yvan Sankrédi a fait l’achat d’une chaine de magasins au montant de 20 000$. Il finance cet achat en faisant un prêt au même montant, prêt qu’il remboursera par 30 versements annuels égaux au montant de R dollars. Il commencera ces versements dans quatre ans. Le taux effectif du prêt est de 7% par année. Quel est le paiement annuel R fait par Yvan? ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

Nous avons bien une annuité simple constante. La période de paiement est la même que la période de capitalisation de l’intérêt. Le taux d’intérêt est de 7% par période de capitalisation. ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est ou encore ACT 2025 - Cours 8

Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons R = 1 974 436. 19$ ACT 2025 - Cours 8

Deuxième cas: Déterminons la valeur accumulée m périodes après le dernier paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$. Nous supposons que le montant accumulé au moment du dernier paiement est investi dans un placement rémunéré au même taux d’intérêt que l’annuité. ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = m + n est donnée par la formule: ACT 2025 - Cours 8

Exemple 2: Anastasia déposera dans un compte de banque 100$ par mois pendant 15 ans. Elle fait ces versements à la fin de chaque mois et le taux d’intérêt auquel ce compte est rémunéré est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé mensuellement. Si elle compte retirer complètement le capital accumulé 4 ans après le dernier versement, quel montant retirera-t-elle? ACT 2025 - Cours 8

Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est ACT 2025 - Cours 8

Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est Il y aura 15 x 12 = 180 versements dans le compte de banque. Ensuite Anastasia retire son capital 4 x 12 = 48 périodes plus tard. ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est ou encore ACT 2025 - Cours 8

Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons que le capital accumulé est X = 36 948. 20$ ACT 2025 - Cours 8

Exemple 3: Barnabé emprunte 50000$ qu’il remboursera en faisant 32 versements trimestriels: les 8 premiers paiements sont au montant de R dollars, les 16 suivants sont au montant de 0. 9 R dollars et les 8 derniers au montant de (R + 1000) dollars. Les paiements sont faits à la fin de chaque trimestre, le premier est fait trois mois après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminons R. ACT 2025 - Cours 8

Exemple 3: (suite) Le taux d’intérêt par trimestre est ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est ACT 2025 - Cours 8

L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons alors que R = 2 037. 05$. ACT 2025 - Cours 8

Mais nous aurions aussi pu écrire cette équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 sous la forme Nous obtenons aussi que R = 2037. 05$ ACT 2025 - Cours 8

Troisième cas: Déterminons la valeur au me paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$. ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

La valeur de cette annuité à t = m est donnée par la formule: ACT 2025 - Cours 8

Rente perpétuelle: Une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais est une rente perpétuelle. Les paiements sont faits à la fin de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement. ACT 2025 - Cours 8

Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant: ACT 2025 - Cours 8

Rente perpétuelle: (suite) Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par ACT 2025 - Cours 8

Rente perpétuelle: (suite) Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que ACT 2025 - Cours 8

Interprétation: Nous pouvons interpréter la formule au moyen de rentes perpétuelles. ACT 2025 - Cours 8

Interprétation: (suite) Une annuité de fin de période consistant en des paiements de 1$ peut être vu comme une rente perpétuelle auquel nous soustrayons une rente perpétuelle différée de n périodes. ACT 2025 - Cours 8