MATHMATIQUES FINANCIRES I Dixhuitime cours ACT 2025 Cours
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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours ACT 2025 - Cours 18
Rappel: • Seconde situation de réinvestissement ACT 2025 - Cours 18
Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement ACT 2025 - Cours 18
Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement • Taux de rendement pondéré par le temps ACT 2025 - Cours 18
Rappel: • • Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement d’un fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps Règles de base pour l’amortissement ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Dans celle-ci, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité. ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Réinvestissement (2 e situation) La valeur accumulée à la fin de la ne période de paiement par l’annuité et les versements d’intérêt est ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement d’un fonds Notons par A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période; I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0 s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il s’agit d’un retrait); i: le taux de rendement du fonds. ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement d’un fonds Nous avons B=A+C+I où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus. ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation i. A + [ t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0 ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation i. A + [ t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0 Hypothèse: (Intérêt simple) ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée) ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Taux de rendement pondéré par le temps Ce taux de rendement i pondéré par le temps est défini par (1 + i) = (1 + j 1)(1 + j 2) · · · (1 + jm) où et C 1 , C 2 , . . . , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B 0 est le solde initial et Bm le solde final. ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû • Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté ACT 2025 - Cours 18
Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû • Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté • Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser ACT 2025 - Cours 18
Solde restant d’un prêt: Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P 1, P 2, . . . , Pn faits respectivement aux temps t 1, t 2, . . . , tn , alors le solde restant du prêt immédiatement après le ke paiement est noté Bk. Notons aussi L par B 0. Nous pouvons calculer Bk soit rétrospectivement, soit prospectivement. ACT 2025 - Cours 18
Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P 1, P 2, . . . , Pk ACT 2025 - Cours 18
Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P 1, P 2, . . . , Pk Prospectivement Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , . . . , Pn ACT 2025 - Cours 18
Portion de principal remboursé: La portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est Bk-1 - Bk. En effet, nous devions avant le ke paiement: Bk-1 et, une fois le ke paiement fait, nous ne devons plus que Bk. ACT 2025 - Cours 18
Portion d’intérêt: La portion d’intérêt du ke paiement est Pk - (Bk-1 - Bk). En effet, la portion de principal remboursé dans le ke paiement est (Bk-1 - Bk) et ce qui reste du paiement , à savoir Pk - (Bk-1 - Bk) doit être le montant d’intérêt payé. ACT 2025 - Cours 18
Autre approche pour déterminer les portions d’intérêt et de principal ACT 2025 - Cours 18
Portion d’intérêt: Nous devons au début de la ke période, celle immédiatement après le (k - 1)e paiement, Bk - 1 dollars. Le montant d’intérêt à payer à la fin de la ke période est où i est le taux d’intérêt pour une période. Ceci est donc la portion d’intérêt du ke paiement Pk, si ce paiement est supérieur à ce montant d’intérêt. ACT 2025 - Cours 18
Portion de principal remboursé: Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion d’intérêt soustraite du ke paiement. Donc la portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est où i est le taux d’intérêt pour une période. ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: Un prêt au taux nominal d’intérêt i(12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement Retrospectivement ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement car le 24 e paiement est de 500$. ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441. 52$. D’autre part nous avons prospectivement que ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441. 52$. D’autre part nous avons prospectivement que Donc la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement est B 23 - B 24 = 12441. 52 - 12003. 73 = 437. 79$ et la portion d’intérêt sera 500 - 437. 79 = 62. 21$. Notons que le 24 e paiement est de 500$. ACT 2025 - Cours 18
Exemple 1: (suite) Autre approche Nous aurions aussi pu déterminer B 24 rétrospectivement. Nous aurions alors que ACT 2025 - Cours 18
Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de paiement. Le montant emprunté est alors La table d’amortissement est alors ACT 2025 - Cours 18
ACT 2025 - Cours 18
Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas. ACT 2025 - Cours 18
Exemple 2: Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux d’intérêt du prêt est le taux nominal i(2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons La table d’amortissement est alors ACT 2025 - Cours 18
Période �Portion Paiement de d’intérêt paiement Portion Solde de restant du principal prêt 5000 1 1123. 14 200 923. 14 4076. 86 2 1123. 14 163. 07 960. 07 3116. 79 3 1123. 14 124. 67 998. 47 2118. 32 4 1123. 14 84. 73 1038. 41 1079. 91 5 1123. 14 43. 20 1079. 94 0 ACT 2025 - Cours 18
Dans certaines situations, il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant diminue avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans l’exemple suivant ACT 2025 - Cours 18
Exemple 3: Un prêt de 1082. 64$ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux d’intérêt du prêt est le taux effectif d’intérêt i = 10% par année. Nous avons alors la table d’amortissement suivante ACT 2025 - Cours 18
Période de paiement Paiement �Portion d’intérêt payé Portion d’intérêt à payer Portion de principal payé Solde restant du prêt 1082. 64 1 100 108. 26 -8. 26 1090. 90 2 1200 109. 09 1090. 91 0 ACT 2025 - Cours 18
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