MATHMATIQUES FINANCIRES I Dixhuitime cours ACT 2025 Cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours ACT 2025 - Cours 18

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours ACT 2025 - Cours 18

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement ACT 2025 - Cours 18

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement ACT 2025 - Cours 18

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement ACT 2025 - Cours 18

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement

Rappel: • Seconde situation de réinvestissement • Taux de rendement d’un fonds de placement • Taux de rendement pondéré par le temps ACT 2025 - Cours 18

Rappel: • • Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement d’un fonds de placement

Rappel: • • Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement d’un fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps Règles de base pour l’amortissement ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Dans celle-ci, l’investisseur verse $1 à la fin de

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Dans celle-ci, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité. ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) La valeur accumulée à la fin de la ne

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) La valeur accumulée à la fin de la ne période de paiement par l’annuité et les versements d’intérêt est ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Si nous notons par r : le taux de

Rappel: Réinvestissement (2 e situation) Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Notons par A: le montant dans le fonds

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Notons par A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période; I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0 s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il s’agit d’un retrait); i: le taux de rendement du fonds. ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Nous avons B=A+C+I où C = t Ct

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Nous avons B=A+C+I où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus. ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation i. A + [ t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0 ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation i. A + [ t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0 Hypothèse: (Intérêt simple) ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée) ACT 2025

Rappel: Taux de rendement d’un fonds Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée) ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Taux de rendement pondéré par le temps Ce taux de rendement i pondéré

Rappel: Taux de rendement pondéré par le temps Ce taux de rendement i pondéré par le temps est défini par (1 + i) = (1 + j 1)(1 + j 2) · · · (1 + jm) où et C 1 , C 2 , . . . , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B 0 est le solde initial et Bm le solde final. ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû • Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté ACT 2025 - Cours 18

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose

Rappel: Règles pour l’amortissement • Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû • Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté • Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser ACT 2025 - Cours 18

Solde restant d’un prêt: Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n

Solde restant d’un prêt: Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P 1, P 2, . . . , Pn faits respectivement aux temps t 1, t 2, . . . , tn , alors le solde restant du prêt immédiatement après le ke paiement est noté Bk. Notons aussi L par B 0. Nous pouvons calculer Bk soit rétrospectivement, soit prospectivement. ACT 2025 - Cours 18

Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps

Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P 1, P 2, . . . , Pk ACT 2025 - Cours 18

Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps

Solde restant d’un prêt: Rétrospectivement Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P 1, P 2, . . . , Pk Prospectivement Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , . . . , Pn ACT 2025 - Cours 18

Portion de principal remboursé: La portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk

Portion de principal remboursé: La portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est Bk-1 - Bk. En effet, nous devions avant le ke paiement: Bk-1 et, une fois le ke paiement fait, nous ne devons plus que Bk. ACT 2025 - Cours 18

Portion d’intérêt: La portion d’intérêt du ke paiement est Pk - (Bk-1 - Bk).

Portion d’intérêt: La portion d’intérêt du ke paiement est Pk - (Bk-1 - Bk). En effet, la portion de principal remboursé dans le ke paiement est (Bk-1 - Bk) et ce qui reste du paiement , à savoir Pk - (Bk-1 - Bk) doit être le montant d’intérêt payé. ACT 2025 - Cours 18

Autre approche pour déterminer les portions d’intérêt et de principal ACT 2025 - Cours

Autre approche pour déterminer les portions d’intérêt et de principal ACT 2025 - Cours 18

Portion d’intérêt: Nous devons au début de la ke période, celle immédiatement après le

Portion d’intérêt: Nous devons au début de la ke période, celle immédiatement après le (k - 1)e paiement, Bk - 1 dollars. Le montant d’intérêt à payer à la fin de la ke période est où i est le taux d’intérêt pour une période. Ceci est donc la portion d’intérêt du ke paiement Pk, si ce paiement est supérieur à ce montant d’intérêt. ACT 2025 - Cours 18

Portion de principal remboursé: Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois

Portion de principal remboursé: Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion d’intérêt soustraite du ke paiement. Donc la portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est où i est le taux d’intérêt pour une période. ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: Un prêt au taux nominal d’intérêt i(12) = 6% capitalisé mensuellement est

Exemple 1: Un prêt au taux nominal d’intérêt i(12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement Retrospectivement ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement ACT 2025 -

Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement Déterminons la portion

Exemple 1: (suite) Déterminons la portion d’intérêt du 24 e paiement Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement car le 24 e paiement est de 500$. ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24

Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441. 52$. D’autre part nous avons prospectivement que ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24

Exemple 1: (suite) Autre approche Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441. 52$. D’autre part nous avons prospectivement que Donc la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement est B 23 - B 24 = 12441. 52 - 12003. 73 = 437. 79$ et la portion d’intérêt sera 500 - 437. 79 = 62. 21$. Notons que le 24 e paiement est de 500$. ACT 2025 - Cours 18

Exemple 1: (suite) Autre approche Nous aurions aussi pu déterminer B 24 rétrospectivement. Nous

Exemple 1: (suite) Autre approche Nous aurions aussi pu déterminer B 24 rétrospectivement. Nous aurions alors que ACT 2025 - Cours 18

Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de

Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de paiement. Le montant emprunté est alors La table d’amortissement est alors ACT 2025 - Cours 18

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Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment

Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas. ACT 2025 - Cours 18

Exemple 2: Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux

Exemple 2: Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux d’intérêt du prêt est le taux nominal i(2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons La table d’amortissement est alors ACT 2025 - Cours 18

Période �Portion Paiement de d’intérêt paiement Portion Solde de restant du principal prêt 5000

Période �Portion Paiement de d’intérêt paiement Portion Solde de restant du principal prêt 5000 1 1123. 14 200 923. 14 4076. 86 2 1123. 14 163. 07 960. 07 3116. 79 3 1123. 14 124. 67 998. 47 2118. 32 4 1123. 14 84. 73 1038. 41 1079. 91 5 1123. 14 43. 20 1079. 94 0 ACT 2025 - Cours 18

Dans certaines situations, il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt

Dans certaines situations, il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant diminue avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans l’exemple suivant ACT 2025 - Cours 18

Exemple 3: Un prêt de 1082. 64$ est remboursé par 2 paiements: le premier

Exemple 3: Un prêt de 1082. 64$ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux d’intérêt du prêt est le taux effectif d’intérêt i = 10% par année. Nous avons alors la table d’amortissement suivante ACT 2025 - Cours 18

Période de paiement Paiement �Portion d’intérêt payé Portion d’intérêt à payer Portion de principal

Période de paiement Paiement �Portion d’intérêt payé Portion d’intérêt à payer Portion de principal payé Solde restant du prêt 1082. 64 1 100 108. 26 -8. 26 1090. 90 2 1200 109. 09 1090. 91 0 ACT 2025 - Cours 18