TRIGONOMETRI disampaikan pada Diklat Guru Matematika SMK se

TRIGONOMETRI disampaikan pada Diklat Guru Matematika SMK se propinsi DIY DI PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA Tanggal 28 Oktober s. d 10 Nopember 2007 0 leh: Drs. Markaban, M. Si Widyaiswara PPPPTK Matematika

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer

Pengalaman Belajar l Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut? 450 300 A B 20 m

APA yang terjadi ? Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi -sisi AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut A. ”

Sekilas ? ? ? l Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? l Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A l Guru merasa tak bersalah

Ruang Lingkup 1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut 2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri 4. Koordinat Kartesius dan Kutub 5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 6. Identitas Trigonometri 7. Persamaan Trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP SINUS

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP KOSINUS

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI KONSEP TANGEN

dst

Sudut Khusus 45 o V 2 45 o 1 90 o 1 sin 45 o = ½ V 2 cos 45 o = ½ V 2 tan 45 o = 1 sin 30 o = ½ cos 30 o = ½ V 3 30 o 2 V 3 60 o 90 o 1 tan 30 o = 1/3 V 3 sin 60 o = ½V 3 cos 60 o = ½ tan 60 o = V 3

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri 1. a. Relasi Kebalikan: cot α = csc α = sec α = b. Relasi Pembagian: tan α = cot α = c. Relasi “Pythagoras”: sin 2α + cos 2α = 1 (dan variasinya) tan 2α + 1 = sec 2α 1 + cot 2α = csc 2α

Sudut Berelasi 2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α 0 cos(180 – α)o = –cos α 0 tan(180 – α)o = –tan α 0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 + α)o = tan αo c. sin(–αo) = –sin αo cos(–αo) = cos αo tan(–αo) = –tan αo sin(360 – α)o = –sin α 0 cos(360 – α)o = cos α 0 tan(360 – α)o = –tan α 0 Bernilai ”+” Sin Tan All Cos

Hal Khusus 1. Jika αo + βo + γo = 180 o , maka: sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo 2. Jika αo + βo + o = 270 o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o

Koordinat Kartesius dan Kutub Y x P( x, y ) Y y o x Koordinat Kartesius O x P( r, ) r y Koordinat Kutub X

Rumus Trigonometri dalam Segitiga 1. Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: 2. Aturan (rumus) kosinus: cos α = atau 2 2 2 a = b + c – 2 bc cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos γ cos β = cos γ =

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT 1. Rumus jumlah l l sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β 2. Rumus sudut rangkap l l Sin 2α = 2 sin α cos α Cos 2α = cos 2α – sin 2α 3. Rumus sudut rangkap tiga l l Sin 3α = 3 sin α – 4 sin 3 α Cos 3α = 4 cos 3α – 3 cos α l l Rumus selisih sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Rumus setengah sudut l l 2 sin 2 ½ α = 1 - cos α 2 cos 2 ½ α = 1 + cos α

Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi Sinus/Kosinus 1. Hasil kali sinus dan kosinus l l 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) – 2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β) 2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus l l sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos A – cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)

IDENTITAS TRIGONOMETRI l Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : sin 2α + cos 2α = 1 l Buktikan !

Persamaan Trigonometri Sederhana Rumus I : 1). Jika sin x sin maka: x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B 2). Jika cos x cos maka : x + k. 360 atau x + k. 360 , k B 3). Jika tan x tan maka : x + k. 180 k B

Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol 1). Jika sin x 0 maka: x k. 180 , k B 2). Jika cos x 0 maka: x 90 + k. 180 , k B 3). Jika tan x 0 maka: x k. 180 , k B

Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin x - sin (- ) maka: x - + k. 360 atau x (180 + ) + k. 360 , k B 2). Jika cos x - cos (180 + ) maka: x 180 + + k. 360 atau x - 180 - + k. 360 , k B 3). Jika tan x - tan (- ) maka: x - + k. 180 , k B

Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah. . B 10 A ? didapat 5 V 3 5 C Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V 3 tan A = 1/3 V 3

Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160 o dan kapal B ke arah 220 o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian? AB 2 = 202 + 322 – 2. 20. 32. cos 60 o = 400 + 1024 – 640 = 784 220 o 160 o O AB = 28 60 o 20 32 B A Jarak antara kedua kapal 28 mil

Soal : 1. Diketahui segitiga ABC, AC = 25 cm, BC = 40 cm, dan panjang garis tinggi dari C, yaitu CD = 24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah. . 2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah. . . km

C 20 37 A 51 Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos A = cos B = sehingga sin A = B