Tbbdimenzis sklzs MDS Informatikai Tudomnyok Doktori Iskola 192022

Többdimenziós skálázás (MDS) Informatikai Tudományok Doktori Iskola 1/9/2022 1

Többdimenziós skálázás Multidimensional Scaling = MDS Adott: egy olyan adatállomány, amelyet valamilyen megadott külső objektumokra (pl. tárgyakra, személyekre) vonatkozó hasonlósági vagy különbözőségi adatok (általában skálázott szubjektív vélemények, vagy észlelt különbségek) alkotnak. Cél: olyan geometriai reprezentációk létrehozása a hasonlósági vagy különbözőségi adatokból, amelyek az adott külső tárgyak (észlelt) viszonyát egy megfelelő dimenzió-számú geometriai térben a lehető legpontosabban tükrözik vissza. Az eljárás eredménye mindig egy ponthalmaz egy adott dimenziószámú geometriai térben. A ponthalmaz képe alapján kísérletet tehetünk koordinátatengelyek megadására, amivel rejtett dimenziókat tárhatunk fel. 1/9/2022 2

Bevezetés 1. Egy-egy problémánál pl. a rejtett dimenziók az alábbiak lehetnek: • Gépkicsivásárlásnál milyen szempontokat vesznek figyelembe az emberek? (A gazdaságosságot? A megbízhatóságot? A kényelmet? A sportosságot? ) • Egy politikusra történő szavazásnál milyen szempontok alapján döntenek a szavazók? (Párthoz tartozása alapján? Az adózásról, az oktatásügyről vagy az egészségügyről vallott személyes nézetei alapján? Sajtóbeli ismertsége alapján? ) • Milyen tényezők befolyásolják egy munkacsoport tagjainak egymás közötti beszélgetésének a módját? (A beszélgetők formális státusza, szakmai tudása, szocio-ekonómiai helyzete vagy személyes dominanciája? ) 1/9/2022 3

Bevezetés 2. • Milyen tényezők határozzák meg az emberek munkahelyi közérzetét? (A fizetés? Az emberi kapcsolatok? A munkahely fizikai jellemzői? , Az előmeneteli lehetőség? A munka tartalma? ) • Milyen szempontok alapján kategorizálják az emberek az egyes foglalkozásokat, népcsoportokat, nemzeteket vagy országokat? (Közismert sztereo-típiák, saját tapasztalataik, a médiumok sugalmazása vagy tekintélyes közszereplők véleménye alapján? ) • Milyen szempontok alapján ítélik meg a felhasználók az egyes termékek minőségét vagy vonzerejét és hogyan azonosíthatók ezek közül a legfontosabbak? (Az ára, a márkája, divatszempontok vagy a tényleges szükségletek alapján? 1/9/2022 4

Bevezetés 3. Ilyen és hasonló kérdésekre próbál az MDS alkalmazása választ adni, többnyire sikerrel. Az MDS alapgondolata az, hogy az emberek döntéseiket és ítéleteiket a fejükben - kognitív vagy érzelmi rendszerükben - létező belső dimenzióik alapján hozzák meg. Ezek a dimenziók többnyire rejtve vannak még az aktuális döntéshozók vagy véleményalkotók előtt is, de megfelelő technikákkal - faktoranalízissel vagy az MDS módszereivel feltárhatók és megismerhetők. 1/9/2022 5

Az MDS alkalmazásának szempontjai • A faktoranalízis alkalmazása mellett szól, hogy abba - bizonyos feltételek teljesülése esetén - igen sokféle és eredetileg más célra összegyűjtött adatokból konstruált változó bevonható, • míg az MDS alkalmazásához speciálisabb „távolság” vagy „hasonlóság” jellegű adatokra van szükség, amelyek általában csak erre a célra tervezett kísérletekben vagy felmérésekben nyerhetők. • Ugyanakkor a faktoranalízis modellje feltételezi az egyes faktorok lineáris összegződését - ún. lineáris kombinációját - amit a gyakorlatban gyakran semmi sem támaszt alá. • A tapasztalat az, hogy ha sikerül alkalmas hasonlósági mértékeket definiálni és azokat megfelelő pontossággal megmérni, akkor az MDS sokszor lényegesen jobb eredményt adhat, mint a faktoranalízis. Az eredmények meglepően pontosak és igen jól reprodukálhatóak lehetnek. 1/9/2022 6

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 1. „Egy kép akár ezer szót is megér ” Vajon hány oldalon lehet szavakban elmondani, amit egy vizuális élmény nyújt? • Általános törekvés a tudományokban valamilyen szemléletes módon úgy ábrázolni adatokat, hogy az egymáshoz valamilyen szempontból közelibbnek érzékelt vagy gondolt objektumok az ábrázolásban is közel kerüljenek egymáshoz, a távolibbnak felfogottak pedig az ábrázolásban is távol legyenek egymástól. • Ezek az ábrázolások valamiféle geometriai reprezentációk, amelyek az ábrázolt objektumok viszonyát valamilyen szempontból helyesen - vagy közelítőleg helyesen - tükrözik vissza. 1/9/2022 7

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 2. • A MDS módszerei arra szolgálnak, hogy segítségükkel adott objektumokra vonatkozó észlelt hasonlósági vagy különbözőségi adatokból szisztematikus módon létrehozhassunk olyan geometriai reprezentációkat, amelyek ezen objektumok észlelt viszonyát egy megfelelő dimenziószámú geometriai térben a lehetőség szerinti legkisebb torzítással tükrözik vissza. • Az eljárás eredménye tehát mindig egy ponthalmaz „képe” „térképe” - egy előre meghatározott típusú geometriai térben, amelyben az egyes pontok úgy helyezkednek el, hogy egymás közötti távolságaik ismert pontossággal megfelelnek azon objektumok észlelt tulajdonságai közötti különbözőségeknek, amelyekhez ezek a pontok tartoznak. 1/9/2022 8

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 3. • Már sokszor ez a szemléletes ábrázolás önmagában is sokat segít az adott jelenség megértésében, ha valamilyen szabályszerűség vagy „mintázat” fedezhető fel benne, de ez még önmagában nem skálázás. • Ha azonban az adott térben sikerül olyan koordináta tengelyeket találni, amelyek mentén az objektumok elhelyezkedése jól értelmezhető, akkor ezeknek a tengelyeknek az alkalmas beskálázásával minden objektumhoz skálaértékeket rendelhetünk az adott dimenziók mentén. 1/9/2022 9

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 4. • Az MDS fő ereje abban áll, hogy a tisztán pszichológiai eszközökkel nyert különbözőség-érzékelési adatok alapján lehetővé teszi korábban nem ismert, de esetenként meghatározó szerepű dimenziók felismerését. • Ezek a különbözőség-érzékelési adatok pedig természetesen akkor is jól mérhetők, ha semmilyen előzetes elképzelésünk nincs arról, hogy az érzékelt különbözőséget milyen dimenziók határozzák meg. 1/9/2022 10

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 5. • A létrehozott geometriai reprezentáció „a lehetőség szerinti legkisebb torzítással”, illetve „ismert pontossággal” kell, hogy leképezze az érzékelt különbözőségeket, mert - amint az a következő egyszerű két dimenziós példán könnyen belátható az érzékelt különbözőségeknek pontosan megfelelő geometriai konfiguráció nem mindig állítható elő, azaz a feladatnak nem mindig létezik egzakt megoldása az adott térben. • Célunk ezért az, hogy legalább a lehetséges legjobb közelítő megoldást - az ún. optimális konfigurációt -találjuk meg. 1/9/2022 11

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 6. Egy p-dimenziós sokaságot lehet egy k=1, 2 vagy 3 dimenziós Euklideszi ponthalmazzal vizualizálni. A ponthalmaz távolságviszonyai az eredeti sokaság eseteinek távolságviszonyaival nagymértékben egyezik. A vizualizálás révén tanulmányozható a statisztikai sokaság térbeli struktúrálódása. Jellegzetes tömörülések, irányokfedezhetők fel az elkészült scatter-grafikonon. 1. eset 2. eset n. eset 1/9/2022 12

Az MDS szemléleti és matematikai alapjai 7. Az esetvektorok egymástól vett nxn-es távolságmátrixak=1, 2 vagy 3 Megkonstruálhatók olyan dimenziós vektorok, melyek nxn-es Euklideszi távolságmátrixa nagymértékben hasonló -hez. „kicsi” 1/9/2022 13

Távolságmátrix, Euklideszi távolságmátrix Az n×n-es D távolságmátrix komponensei kielégítik az alábbiakat: • D diagonális elemei 0 -ák: dii=0; • D szimmetrikus mátrix: dij=dji; • D komponensei kielégítik a háromszög-egyenlőtlenséget: dij dik+dkj; A D távolságmátrix akkor Euklideszi, ha valamely p dimenzióhoz megadható n db p-dimenziós x 1, x 2, …, xn vektorok, amikkel dij=||xi-xj||. Az n×n-es D távolságmátrix akkor és csak akkor Euklideszi, ha a B=H · A · H mátrix pozitív szemidefinit, ahol aij=-½ dij² és H az ú. n. centráló mátrix: H=E-1/n · 1· 1 T

Távolságmátrix, Euklideszi távolságmátrix Ha D egy Z=(z 1, z 2, …, zn)T konfiguráció Euklideszi távolságmátrixa, akkor bij=(zi-z)T·(zj-z), i, j=1, 2, …, n, ahol z az átlagvektor. Ha B=H · A · H (aij=-½ dij² ) egy n-edrangú pozitív szemidefinit mátrix, akkor az alábbi módon konstruálhatjuk meg a Z=(z 1, z 2, …, zn)T pontkonfigurációt. Legyenek l 1 l 2 … ln > 0 a B pozitív sajátértékei és z 1, z 2, …, zn a megfelelő ortogonális sajátvektorok: zi. T·zi=li. Ekkor a Z=(z 1, z 2, …, zn)T pontkonfiguráció Euklideszi távolságmátrixa éppen D.

Távolságmátrix, Euklideszi távolságmátrix Adott objektumoknak egy D távolságmátrixa. Ehhez szeretnénk konstruálni olyan Z=(z 1, z 2, …, zn)T k-dimenziós vektorokból álló konfigurációt, amelynek Ď Euklideszi távolságmátrixa valamilyen értelemben „hasonló”, „közeli” D-hez. Általában a k dimenziószámot sem ismerjük, de a szemléltetés miatt k-t 1 -nek, 2 -nek esetleg 3 -nak szokták választani. A szemléltetés sikerességét az alábbi mennyiséggel jellemezzük:

Példa Mérő László (1986) nyomán • Kísérleti személyünk öt főzeléket hasonlított össze páronként minden lehetséges módon. • Feladata a párok globális - összbenyomás alapján történő összehasonlítása volt a „vonalhosszúság-becslés” módszerével: egy 6 cm hosszú szakaszon kellett bejelölni a különbözőség mértékét. 0. 0 cm teljes hasonlóság 1/9/2022 6. 0 cm teljes különbözőség 17

Példa Mérő (1986) nyomán Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e a síkban öt olyan pont, amelyek egymástól éppen a mátrixban található távolságokra vannak! 1/9/2022 18

Példa Mérő (1986) nyomán 2. 2 Spenót 1/9/2022 Kelkáposzta 19

Példa Mérő (1986) nyomán 3. 2 1. 3 2. 2 Spenót Kelkáposzta Sóska 1/9/2022 20

Példa Mérő (1986) nyomán Karfiol 3. 5 1. 3 2. 2 Spenót 5. 0 3. 2 3. 0 Kelkáposzta Sóska 1/9/2022 21

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 1. • Az előbbi példa az MDS legegyszerűbb változatát, a CMDS-t (Classical MDS) szemlélteti. • A CMDS az MDS legkorábban kidolgozott típusa, amely csupán egyetlen különbözőségi mátrixot - pl. egyetlen személy bizonyos objektumokra vonatkozó különbözőség-érzékelési adatait - képes egyidejűleg kezelni, és megkívánja a bemenő adatoktól a legalább intervallum-skálát (metrikus MDS). • A CMDS alkalmazhatósága korlátozott, mert tipikusan több személy adatait szeretnénk egyidejűleg feldolgozni. 1/9/2022 22

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 2. • Az i és j pontoknak megfelelő objektumok közötti különbözőség-érzékletet a létrehozott pontkonfigurációban az i és j pontok dij euklideszi távolságával képezi le, ami két dimenzióban a Pithagorasztétel alapján a következőképpen írható: 2. dimenzió xi 2 i pont dij 2==[((xi 2 i 2 – xj 2 j 2)22 + (xj 1 j 1 - xi 1 i 1)22]½ (distance, dissimilarity) j pont xj 2 1/9/2022 xi 1 xj 1 1. dimenzió 23

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 3. • Az r darab dimenzióra általánosított modell alapja, hogy az i és j pontoknak megfelelő objektumok közötti különbözőségérzékletet az r dimenziós térben az i és j pontok dij euklideszi távolságával a következőképpen adjuk meg: xia az i pont, xja pedig a j pont koordinátája az a dimenzión. Ez a formula a Pithagorasztétel általánosítása r dimenziós tér esetére. 1/9/2022 24

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 4. • A D távolság-mátrix elemei az egyes dij (distance, dissimilarity) értékek, amelyek a létrehozott pontkonfigurációt jellemzik. • Ennek a pontkonfigurációnak az eltérése az eredeti észlelési adatokat tartalmazó S különbözőség-mátrixtól - pontosabban annak egy célszerűen választott lineáris transzformáltjától: (disparity) - mutatja, hogy egy megtalált megoldásnak mekkora a hibája. • Ennek ellenőrzése az SPSS-ben a következő három illeszkedési mutató segítségével történik: s-stress, stress és RSQ. 1/9/2022 25

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 5. eredeti észlelések és pontkonfiguráció különbségéből A s-stress definiciója: eredeti észlelésekből ||E|| az E (Error) hiba-mátrix elemei négyzeteinek az összege, ||T|| pedig az eredeti észlelések S különbözőség-mátrixából alkalmas lineáris transzformációval létrehozott T (Transformed) transzformált mátrix elemei négyzeteinek az összege. Mivel T = l{S}, ahol l a lineáris transzformációra utal, és ||E|| = ||T-D 2||, ahol a D 2 mátrix elemei az egyes dij távolság-értékek négyzetei, az s-stress az összes négyzetes eltéréseket (hibákat) viszonyítja a különbözőség-érzékleteknek pontosan megfelelő összes távolságok négyzeteihez. 1/9/2022 26

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 5. A s-stress szemléletes jelentése: a modell által meghatározott térben az összes észlelt különbözőséghez képest mekkora az elméleti (pontos) távolságok és a modell által létrehozott pontkonfigurációban ténylegesen létrejött távolságoknak az eltérése. Ha tehát tökéletes a megfelelés az eredetileg érzékelt és az ábrázolt különbségek között, akkor a hiba zérus és így s-stress értéke is az. Az SPSS azt a pontkonfigurációt keresi meg, amelyre az s-stress minimális. 1/9/2022 27

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 6. A stress csak abban tér el az s-stress-től, hogy a formulában nem a távolságok négyzetei, hanem maguk a távolságok szerepelnek (az s-stress-nevében az s betű a négyzetre - square - utal). Tehát az s-stress és stress minél kisebb értékei a kívánatosak, mert ezek felelnek meg a minél kisebb torzításnak. Mindkét mutatóra érvényes közelítő tájékozódási szabály található a következő táblázatban. 1/9/2022 28

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 7. 1/9/2022 29

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 8. RSQ (R SQUARED) - az SPSS által kiszámított harmadik illeszkedési mutató - egyszerűen a T és D mátrixok megfelelő elemei között kiszámított korrelációs együttható négyzete, amely közvetlenül megadja, hogy az összes varianciának milyen hányadát tudja magyarázni az adott MDS modell. Ennél a mutatónál - az előző kettővel szemben természetesen az alacsonyabb értékek rosszabb illeszkedést jeleznek. 1/9/2022 30

A klasszikus többdimenziós skálázás (CMDS) 9. RSQ (R SQUARED) Karfiol Saláta távolság-mátrix dij elemei (distances, dissimilarities) Spenót Sóska 1/9/2022 eredeti észlelési adatok transzformáltja (disparities) 31

A nemmetrikus CMDS 1. Problémák a metrikus CMDS-el: • Nincs garancia arra, hogy az emberek hasonlósági ítéleteiket valóban egyenletesen skálázzák (pl. vonalhosszúság-becslés esetén 1 cm általában nagyobb szubjektív különbséget jelent a széleken, mint a vonal közepe felé). • Egyes személyek kifejezetten sarkítják a véleményüket. • A metrikus CMDS legalább intervallum-skálájú adatokat követel meg, míg a gyakorlatban általában csak ordinális skálájú adataink vannak. 1/9/2022 32

A nemmetrikus CMDS 2. 3 3 1 7, 5 4 6 5 7, 5 1 6 9 2 7, 5 5 4 7, 5 9 2 10 10 Térjünk vissza korábbi példához és helyettesítsük a mátrixban található távolságokat rangszámokkal! 1/9/2022 33

Miután a távolságokat rangszámokkal A nemmetrikus CMDS 2. helyettesítettük, keressük meg a Saláta helyét! Karfiol 1 6 3 3 1 7, 5 4 6 5 7, 5 9 2 7, 5 5 4 7, 5 9 2 10 10 1 -en kívül 9 -en kívül Spenót 3 -an kívül 7, 5 -en belül Kelkáposzta Sóska 1/9/2022 6 -on kívül 6 -on belül 34

A nemmetrikus CMDS 3. • Láttuk, hogy rangszámok alkalmazása esetén a konfiguráció instabil: az egyes pontok helye megváltoztatható anélkül, hogy a rangsor megváltozna (ugyanahhoz a rangsorhoz több konfiguráció is tartozhat). • Jelentős áttörést jelentett azonban a CMDS fejlődésében SHEPHARD (1962) azon felismerése, hogy a pontok számának növelésével az egyes pontok mozgástere radikálisan szűkül. • Ebből következően: ha a pontok (objektumok) száma nem túlságosan kicsi a dimenzió-számhoz képest, akkor pusztán az eredeti távolságok sorrendje (tehát egy ordinális skálájú változó) alapján is nagy pontossággal rekonstruálható a kvantitatív konfiguráció. 1/9/2022 35

A nemmetrikus CMDS 4. • A pusztán sorrendi információ alapján történő rekonstrukció két dimenzió és 10 pont esetén már igen pontos, két dimenzió és 15 pont esetén pedig már gyakorlatilag hibátlan. • Az ordinális bemenő adatokkal dolgozó CMDS-t nemmetrikus CMDS -nek nevezzük. • A nemmetrikus CMDS matematikai modellje megfelel a metrikusénak azzal az eltéréssel, hogy az eredeti S különbözőségmátrixból most nem lineáris, hanem egy alkalmas monoton transzformációval hozzuk létre a T transzformált mátrixot, tehát T = m{S , ahol m a monoton transzformációra utal. • A három illeszkedési mutató értelemszerűen ugyanúgy használható, mint a metrikus CMDS esetében. 1/9/2022 36

A nemmetrikus CMDS 5. Problémák a nemmetrikus CMDS-el: • A nemmetrikus CMDS is csak egyetlen különbözőség-mátrix egyidejű feldolgozására képes, ami erősen korlátozza az alkalmazhatóságát, mert a piackutatásban, termékminősítésben, pszichológiai és szociológiai vizsgálatokban tipikusan több személytől nyert adat egyidejű feldolgozása a cél. • A CMDS egyszerű személyenkénti ismételgetése általában azért nem elfogadható megoldás, mert ez a vizsgálati terv közvetve azt feltételezi, hogy az egyes személyek különbözőség-érzékletei egymástól tökéletesen függetlenek, bennük semmiféle közös komponens nincs. 1/9/2022 37

A nemmetrikus CMDS 6. Problémák a nemmetrikus CMDS-el: • A modellből következően a nemmetrikus CMDS egyrészt rendkívül számításigényes (n objektum, r dimenziós tér és m személy esetén n x r x m paramétert kell kezelnie), • másrészt az eredmények nehezen értelmezhetők egységesen, mert lényegében m darab független analízist végzünk el. • Az igazán jól használható megoldásokhoz a CMDS-től eltérő típusú matematikai modellekre volt szükség, amelyeket a következőkben röviden ismertetünk. 1/9/2022 38

A replikációs többdimenziós skálázás (RMDS) • Az RMDS (Replicated MDS) az MDS egyik olyan típusa, amely már több különbözőségi mátrixot is képes egyidejűleg kezelni. • Alapfeltevés: az egyes objektumok különbözőségei bizonyos véletlenszerű hibáktól eltekintve azonos mértékben tükröződnek az m számú személy ítéleteit tartalmazó m számú adatmátrixban (ezek az adat-mátrixok egymásnak mintegy a megismétlései, replikái). • A paraméterek száma itt is n x r x m, de az eredmények egységes keretben értelmezhetők. • Metrikus és nemmetrikus változatok és hasonló módon - de az m számú adat-mátrix egyfajta összegzését is figyelembe véve definiált illeszkedési mérőszámok. 1/9/2022 39

A súlyozott többdimenziós skálázás (WMDS) 1. • A WMDS (Weighted MDS) az MDS olyan továbbfejlesztett típusa, amely azon túl, hogy a RMDS-hez hasonlóan képes egyidejűleg kezelni több különbözőségi mátrixot is, a válaszok mögött meghúzódó egyéni perceptuális és kognitív folyamatok individuális különbségeiről is bizonyos információkat tud adni. • Alapfeltevés: bár a különböző személyek az objektumokat azonos dimenziók mentén ítélik meg, ezen dimenzióknak azonban eltérő fontosságokat tulajdonítanak, azaz ezeket a dimenziókat egyénileg eltérő módon súlyozzák és skálázzák. • Emiatt a módszert az individuális különbségek skálázásának is nevezik (INDSCAL). 1/9/2022 40

A súlyozott többdimenziós skálázás (WMDS) 2. • A WMDS matematikailag a súlyozott euklideszi modellen alapszik, amelyben továbbra is adott az ingerek (objektumok) súlyozatlan euklideszi tere, de emellett adott azon súlyok tere is, amelyek az objektumok közötti különbözőség-érzetek jellegzetes egyéni sajátosságait megszabják. • Ezek a wka súlyok 0 és 1 közötti értékeket felvevő paraméterek, amelyek a k. személy különbözőség-érzékelését jellemzik az a dimenzióban: wka nagy (1 -hez közeli) értéke az adott a dimenzió viszonylagos fontosságát, kis (0 -hoz közeli) értéke pedig az adott dimenzió viszonylagos jelentéktelenségét mutatja a k. személy számára. 1/9/2022 41

A súlyozott többdimenziós skálázás (WMDS) 3. • A súlyok értelmezésénél figyelembe kell venni, hogy azok nem egyszerű skalár mennyiségek, hanem a súly-vektorok komponensei (a bezárt szög hordozza az információt). • Definiálták ezen wka súlyok eggyel kevesebb dimenziójú térre vetített változatát (Flattened Weight), amely már egyszerűen értelmezhető skalár mennyiség. • Az összesen r darab wka súly mellett a k. személyt még egy ún. „különösségi index-szel” (Weirdness Index) is jellemzi a WMDS, amely a súlyok értelmezését segíti. • A 0 és 1 között változó index azt fejezi ki, hogy az adott személy súlyai mennyire különösek vagy szokatlanok a vizsgálatba bevont tipikus személy súlyaihoz viszonyítva. 1/9/2022 42

A súlyozott többdimenziós skálázás (WMDS) 4. • A 0 érték a tipikus személynek felel meg, míg az 1 -es érték azt jelzi, hogy az adott személynek csak egyetlen pozitív (nem zérus) súlya van, az összes többi értéke 0. • Ez utóbbi személy az elemzésbe bevont dimenziók közül csak egyet használ és ezért „különösnek” tekintjük. • Jelentős eltérés a korábbi MDS modellektől, hogy a WMDS-ben az ingerek tere nem forgatható el, mivel az elforgatás az egyéni dimenzió-súlyozásokat tenné értelmetlenné. • Ebből a szempontból a WMDS statisztikailag erősebb eljárás, mint a CMDS és a faktoranalízis. • Ugyancsak léteznek a metrikus és nemmetrikus változatai. 1/9/2022 43

Az MDS elemzések néhány általános vonása az SPSS-ben 1. Meg kell adni az adatok mérési szintjét (measurement level), alakját (shape) és feltételességét (conditionality). A mérési szint megadása az ordinális (ordinal), intervallum (interval) vagy arány (ratio) skála-típusok valamelyikének a választását jelenti. Az adatállomány alakja lehet négyzetes (square) vagy derékszögű (rectangular), a négyzetes típus tovább bontható szimmetrikusra (symmetric) és aszimmetrikusra (asymmetric). 1/9/2022 44

Az MDS elemzések néhány általános vonása az SPSS-ben 2. A négyzetes adatállományban a sorok és oszlopok az objektumok ugyanazon halmazára vonatkoznak (így egy adott adatmezőben levő adat a sornak és az oszlopnak megfelelő két objektum különbözőségét fejezi ki sorok és oszlopok sorrendje ezért fontos!). Ha a két objektum különbözősége az összehasonlítás sorrendjétől függetlenül ugyanaz, akkor szimmetrikus adatállományról beszélünk, míg ha a különbözőség függ a sorrendtől, akkor aszimmetrikus adatokról van szó. 1/9/2022 45

Az MDS elemzések néhány általános vonása az SPSS-ben 3. Szimmetrikus adatállomány esetén elegendő a mátrix főátlója alatti adatokat bevinni, mivel a mátrix másik fele - éppen a szimmetria miatt - a főátlója alatti rész tükörképe lenne. Aszimmetrikus adatállomány esetén viszont a teljes mátrixra szükség van (pl a személynek a-ról az esetek 95%-ában eszébe jut b, de b-ről csak az esetek 65%-ában jut eszébe a). Egy fentiektől független tulajdonsága az alkalmazott algoritmusoknak, hogy bizonyos számú adat bármilyen típusú állományból hiányozhat, az eredményt - némi információ-veszteséggel - többnyire úgy is megkaphatjuk. 1/9/2022 46

Az MDS elemzések néhány általános vonása az SPSS-ben 4. A feltételesség szempontjából az adatállomány lehet mátrix-feltételes vagy sor-feltételes. A legtöbb különbözőségi adat mátrix-feltételes, ami azt jelenti, hogy az adott mátrixban minden adat ugyanazon a skálán értelmezett. Ha az adatok soronként más típusú skálán értelmezettek, akkor az adatállomány sor-feltételes. 1/9/2022 47

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 1. Hat valószínűségszámítási feladat számítógéppel támogatott megoldása során a feladatok érthetőségét meghatározó dimenziókat vizsgáltuk 17 főiskolai hallgató bevonásával. A cél annak meghatározása volt, hogy milyen további összetevői vannak a feladatok hallgatók által észlelt érthetőségnek. Módszer: vélemények kérése az egyes feladatok nehézségéről – azok megoldása után - 5 fokozatú skálán, majd MDS. Az eredményeket jobban érthető, és így hatékonyabb feladatok összeállításában kívántuk hasznosítani. 1/9/2022 48

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 2. „Averaged over matrices S-stress = 0, 135” Az illeszkedés még elfogadható 2 dimenzióban, meg lehet kísérelni az értelmezést. Ugyanakkor a kapott dimenziók hosszú elemzés után sem voltak értelmezhetők. 1/9/2022 49

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 3. Figyelembe véve, hogy a kapott tengelyek rotálhatók és eltolhatók, más tengelyek felvételét is meg kellett vizsgálni. Ennek érdekében sokoldalúan elemeztük az egyes feladatok jellegzetességeit. 1/9/2022 50

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 4. A feladatok a konkrét-absztrakt kontextus dimenzió mentén a következőképpen voltak sorbarendezhetők: 1. 5. 6. 4. 3. 2. (A konkrét kontextusra példa az érme-dobás vagy kocka-dobás helyzete, az absztrakt kontextusra a végtelen értéket felvehető valószínűségi változók megfelelő kezelésének szükségessége). A feladatok az egyszerű-összetett fogalmi háttér dimenzió mentén a következőképpen voltak sorbarendezhetők: 1. 2. 4. 6. 5. 3. (A egyszerű fogalmi háttérre példa az érme-dobás vagy kocka-dobás lehetséges kimeneteleinek számbavétele, az összetett fogalmi háttérre pedig a különböző bonyolultabb eloszlásfüggvények megszerkesztésének szükségessége). 1/9/2022 51

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 5. konkrét-absztrakt kontextus: 1. 5. 6. 4. 3. 2. egyszerű-összetett fogalmi háttér: 1. 2. 4. 6. 5. 3. 1/9/2022 52

Példa: műszaki pedagógiai kutatás 6. konkrét-absztrakt kontextus: 1. 5. 6. 4. 3. 2. egyszerű-összetett fogalmi háttér: 1. 2. 4. 6. 5. 3. "konkrét-absztrakt kontextus" "egyszerű-összetett fogalmi háttér" 2 2 1 3 6 4 6 3 5 1/9/2022 4 5 1 53

Példa: piackutatás 1. Egy közvéleménykutató cég megbízásából öt női lap kedveltségét meghatározó dimenziókat vizsgáltuk 35 válaszadó bevonásával. A cél annak meghatározása volt, hogy milyen a vizsgált lapok megítélése az olvasók által „használt” dimenziók mentén. Módszer: (egyebek között) vélemények kérése az egyes lapok kedveltségéről 5 fokozatú skálán, majd MDS. Az eredményeket esetleges új lapok indításában, illetőleg a meglévők arculatának szükség szerinti módosításában kívánták hasznosítani. 1/9/2022 54

Példa: piackutatás 2. Az öt vizsgált női lap elhelyezkedése az MDS elemzéssel azonosított és értelmezett három dimenzió mentén 1/9/2022 55

Példa: piackutatás 3. Az öt vizsgált női lap elhelyezkedése az MDS elemzéssel azonosított és értelmezett három dimenzió mentén 1/9/2022 56

„Térképkészítés” A következő kísérletben megvizsgáljuk, hogyan lehet adott Euklideszi-távolságmátrixhoz síkbeli pontreprezentációt előállítani. Kiindulunk a magyarországi városok távolságmátrixából. Összesen 10 város egymástól vett km pontosságú távolságait helyeztük el Az alulról-háromszög alakú távolságmátrixban. 1/9/2022 57

„Térképkészítés” Az adatmátrixba beírjuk 10 magyar város egymástól légvonalban vett távolságait. Alulról háromszög távolságmátrixot kaptunk a szimmetrikusság miatt, továbbá egy város önmagától mindig 0 távolságra van. 1/9/2022 58

„Térképkészítés” Elindítjuk az MDS programot… 1/9/2022 59

„Térképkészítés” Megadjuk, hogy az adatok távolságokat reprezentálnak (nem pl. hasonlósági mérőszámok), és az adatok háromszög-mátrixban vannak. 1/9/2022 60

„Térképkészítés” Megadjuk, hogy az adatok arány skálájúak, és azt, hogy síkbeli, azaz 2 -dimenziós reprezentációt kérünk 1/9/2022 61

„Térképkészítés” Kis stress-értékeket A városonkénti torzulások is kicsik! Proxscal kaptunk, tehát jó lett a reprezentáció A városok koordinátái az elkészült térképen 1/9/2022 62

„Térképkészítés” A városok elhelyezkedése a kiszámított koordináták szerint… 1/9/2022 63

„Térképkészítés” A következő futtatásnál csökkentett információból indulunk ki. A távolságok helyett csak a rangszámokat tároljuk a mátrixban. Pl. a Budapest Szombathely relációban olvasható 23 azt jelenti, hogy a 45 távolság adat között ez a távolság a 23. 1/9/2022 64

„Térképkészítés” A nyíregyháza Debrecen a legkisebb távolság (1 -es rangszámot kap) és Nyíregyháza Szombathely a két legtávolabbi város (relációjuk kapja a 45 -öt) 1/9/2022 65