Sveuilite u Zagrebu Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologije

Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Kolegij: Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu METODE KONAČNIH ELENMENATA I KONAČNIH RAZLIKA Neven Ukrainczyk nukrainc@fkit. hr Zagreb, travanj 2003.

I BAZNE FUNKCIJE KONAČNIH ELEMENATA a) b) Distribucija temperature u(x) po duljini šipke. Polinomska funkcijska veza nađena metodom najmanjih kvadrata – neprihvatljive oscilacije između točaka. u(x) = a + b x + c x 2+ d x 3+. . . ,

a) Izmjerena temperatura u u ovisnosti o duljini luka s. b) Podjela domene na tri elementa u kojima linearni polinomi opisuju ovisnost.

Linearne bazne funkcije -zamjena parametara s vrijednostima funkcije u na granicama elemenata: gdje je (0 1) normalizirana mjera udaljenosti na krivulji.

Linearne bazne funkcije

Odnos globalnih i lokalnih čvorova.

Izmjereno temperaturno polje opisano čvornim parametrima i linearnim baznim funkcijama, koje je sad neprekinuto na spojištima elemenata.

Bazne funkcije – težinske funkcije Bazne funkcije se mogu smatrati kao težinske funkcije čvornog parametra:

(a). . . (b) Težinske funkcije n pridodijeljene globalnim čvorovima n = 1. . . 4.

Veza u i x preko normalizirane kordinate elementa .

Kvadratna bazna funkcija za kvadratnu ovisnost u na elementu su potrebna tri čvorna parametra u 1, u 2 i u 3 :

Jednodimenzionalne kvadratne bazne funkcije

Dvodimenzionalna bilinearna bazna funkcija (linearna na 1 i 2 koordinati) je konstruirana od produkta prije navedenih jednodimenzionalnih linearnih funkcija: gdje je

Dvodimenzionalne bilinearne bazne funkcije.

II STACIONARNO VOĐENJE TOPLINE Jednodimenzionalno stacionarno vođenje topline Iz jednostavne bilance topline infinitezimalnog dijela materijala dobivamo: Promjena toplinskog fluksa = generacija topline gdje je u temperatura, x duljina štapa, gubitak topline i k toplinska vodljivost (W/(mo. C)).

Razmotrimo slučaj q = u s graničnim uvjetima: u(0) = 0 i u(1) = 1. Ova jednadžba (uz k = 1) ima egzaktno rješenje

Da bi riješili jednadžbu metodom konačnih elemenata potrebni su ovi koraci: 1. Pisanje jednadžbe u integralnom obliku. 2. Parcijalna integracija (1 D) ili korištenje Greenovog teorema (2 D i 3 D) za snižavanje reda derivacije. 3. Aproksimacija temperaturnog polja konačnim elementima. 4. Integracije na elementima za izračunavanje elementna matrice toplinske vodljivosti i vektora toplinskog toka. 5. Slaganje globalne jednadžbe. 6. Primjena graničnih uvjeta. 7. Rješenje globalne jednadžbe. 8. Izračunavanje toplinskih tokova.

1. Integralna jednadžba gdje je R ostatak

2. Parcijalna intergracija Supstitucijom u= i parcijalnu integraciju: u formulu za

3. Aproksimacija konačnim elementima Podjelimo domenu 0 < x < 1 na tri jednaka elementa i zamjenimo kontinuiranu veličinu u(x) na svakom pojedinom elementu parametarski zadanom aproksimacijom konačnih elemenata: gdje su

Za test funkciju biramo = m (Galjerkinova pretpostavka) To prisiljava da ostatak R bude okomit na bazne funkcije gdje je Jacobijeva determinanta za transformaciju iz x-koordinata u -koordinate.

4. Integracije na elementima gdje je Iz odnosa, x: = 1: 3, Jacobian je

Da izračunamo Emn, uvrstimo bazne funkcije:

5. Slaganje globalne jednadžbe Redovi globalne matrice su formirani od globalnih težišnih funkcija

Slaganjem dobivamo (k = 1): = Vektor toplinskog toka

Slično, za čvor 2 i 3:

Sastavljanjem tih globalnih jednadžbi dobiva se ili

6. Granični uvjeti su primijenjeni direktno na prvi i zadnji čvor

7. Rješenje sustava jednadžbi je: U 2 = 0. 2885 U 2 egz= 0. 2882 U 3 = 0. 6098 U 2 egz = (0. 6102)

8. Toplinski tokovi za čvor 1 i 4 su izračunati uvrštenjem čvornih rješenja U 1 = 0, U 2 = 0. 2885, U 3 = 0. 6098 i U 4 = 1 Rješenje 1 D vođenja topline metodom konačnih elemenata.

III NEUSTALJENO VOĐENJE TOPLINE Metoda konačnih razlika Eksplicitni oblik Neustaljeno jednodimenzionalno vođenje topline: gdje je k toplinska vodljivost, a u = u(x, t) temperatura, uz granične uvjete U(0, t) = u 0 i u(L, t) = u 1 i početne uvjete u(x, 0) = 0

Mreža konačnih razlika za rješavanje nestacionarnog 1 D vođenja topline. Jednadžba je centrirana na čvor mreže (i, n) označen kružićem. Područje već poznatog rješenja do n-tog koraka je lagano osjenćano.

gdje predstavlja sve ostale izraze u Taylorovom redu.

Stabilnost rješenja

Analitička i numerička rješenja nestacionarnog 1 D vođenja topline prikazuju efekt veličine x i t.

Nestacionarna advekcijsko-difuzijska jednadžba prijenosa: gdje je u temperatura (ili koncentracija), advektivni transport (u slučaju konvekcijskog prijenosa topline) sa poljem brzina v, k je koeficijent toplinske vodljivosti (ili koeficijent difuzije) a f je izraz za izvor (generaciju).

Advekcio-difuzijski odziv na jedinični impuls. x = 0. 1, t = 0. 001 s za 0<t<0. 01 s i t = 0. 01 s za t 0. 01 s.