SVEUILITE U ZAGREB FAKULTET KEMIJSKOG INENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

SVEUČILIŠTE U ZAGREB FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Zavod za matematiku LORENZOV SUSTAV I KAOS Predmetni nastavnik: dr. sc. Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, docent Zagreb, lipanj 2014. Studenti: Valentino Sambolek Anamarija Slivar Barbara Žuteg

SADRŽAJ: Uvod Teorija determinističkog kaosa Lorenzov sustav � Lorenzov atraktor � Lorenzove jednadžbe Eksperimentalni dio � Primjeri kaotičnih sustava Zaključak

UVOD rezultate nekog sustava je moguće dobiti kod sustava s malo varijabli, malo stupnjeva slobode poznavajući početne vrijednosti varijabli koje su potrebne u nekoj jednadžbi možemo dobiti točno rješenje te jednadžbe sustavi u prirodi: � jako puno ulaznih varijabli � veliki stupnjevi slobode razvija novi dio fizike, tj. kvantne mehanike - teorija (determinističkog) kaosa cilj teorije kaosa → pronaći temeljni poredak u, naizgled, nasumičnim podacima

TEORIJA DETERMINISTIČKOG KAOSA Kvalitativno proučavanje nestabilnog neperiodnog ponašanja u determinističkim nelinearnim dinamičkim sustavima. nestabilno ponašanje neperiodno ponašanje nelinearni sustav dinamički sustav

DINAMIČKI SUSTAV pri proučavanju dinamičkih sustava važnu ulogu ima putanja (orbita, trajektorija) točaka (x 0, y 0, z 0) , sa svojstvom da postoji vrijeme tako da bude i te (tj. putanja koja prolazi kroz zadane početne uvjete) prema definiciji to je skup svih gdje t prolazi svim vremenima. proučavanje dinamičkih sustava vodi do novih matematičkih pojmova, poput kaosa.

Kaotične sustave dijelimo na: 1. KONTINUIRANE - oni sustavi koji pokazuju “glatke” promjene kroz vrijeme, tj. u proizvoljno malenom vremenskom periodu dolazi do promjene parametara (osim, naravno, u slučaju kada sustavi miruju) - svi takvi sustavi su opisani diferencijalnim jednadžbama, i intuitivno su najbliži stvarnim uvjetima u prirodi 2. DISKONTINUIRANE - oni sustavi kod kojeg nema glatke promjene parametara, jer se te promjene ne događaju stalno, nego u diskretnim vremenskim intervalima - ovakvi sustavi su češći u prirodi

LORENZOV SUSTAV bavio se diferencijalnim modelom oblaka i zračnih struja ustvrdio da je nemoguće točno predvidjeti vrijeme došao do jednadžbi koje su na zadovoljavajući način opisivale ponašanje atmosfere, njih dvanaest Edward Norton Lorenz

LORENZOV SUSTAV jednadžbe daju krivulju dvostruke spirale male promjene u dinamičnom sustavu, "mogu imati velike i često neočekivane posljedice“ mora postojati veza između neperiodnosti i nepredvidivosti dinamički sustavi (sustav diferencijalnih jednadžbi) poput vremena sastavljeni od previše međusobno povezanih varijabli ili međudjelujućih elemenata koji su krajnje osjetljivi na početne uvjete otkrio osjetljivost na početne uvjete → osnova teorije kaosa

LORENZOV ATRAKTOR pokušavajući matematičkim simulacijama načiniti dugoročnu vremensku prognozu otkrio tzv. efekt leptirovih krila razlika među početnim točkama dviju krivulja toliko je malena da se može usporediti sa zamahom leptirovih krila ovaj fenomen temelji se na ideji da beskonačno male promjene, kao što je let krila insekta, mogu voditi do ogromnih posljedica ovaj fenomen, čest u teoriji kaosa, nazivamo i osjetna ovisnost o početnim uvjetima

Karakteristike kaotičnog sustava su: • osjetljivost na početne uvjete, tzv. efekt leptira (butterfly effect) • sustav će s vremenom popuniti sav dostupan prostor (trajektorije sustava iscrtaju sav dostupan prostor i nikad se ne ponavljaju) • periodne orbite sustava su jako guste (nema prevelikih odstupanja od prethodne putanje) Karakteristike krivulje: beskonačno dugačka � ekstremno složena � nikada samu sebe ne presjeca � ima fraktalna svojstva �

LORENZOVE JEDNADŽBE na temelju ponašanja konvekcije fluida → sustav od 3 diferencijalne jednadžbe Pravilno ponašanje Lelujanje valjaka → kaos male temperaturne razlike → sustav miran i stabilan, formiranje dva strujna valjka veće temperaturne razlike → valjkasto kotrljanje jako velike razlike u temperaturi → nestabilnost, lelujanje strujnih valjaka, pojava nepravilnosti i turbulencije → kaos

Sustav od triju diferencijalne jednadžbe � = Prandtlov broj � = Rayleighjev broj � = geometrijski faktor Gdje: � , σ i ρ > 0 σ = 10 � = 8/3 ρ varira kaotično ponašanje za � = 28 i prikazuje čvoraste periodne orbite za druge vrijednosti od � x – proporcionalan intenzitetu konvekcije y - proporcionalan razlici temperature z - proporcionalan razlici linearnog i stvarnog vertikalnog temperaturnog profila

EKSPERIMENTALNI DIO programski paket Wolfram Mathematica Definiranje: � diferncijalnih jednadžbi, � parametra, � početnih uvjeta, � vrijeme promatranja sustava

PRIMJERI KAOTIČNIH SUSTAVA

Primjer 1. Primjer 1. 1. početak u točki T (2, 1, 1)

Primjer 2. Primjer 2. 1. početak u točki T (-1, 1, -1)

Primjer 3. Primjer 3. 1. početak u točki T (2, 2, 2)

Primjer 4. Primjer 4. 1. početak u točki T (-3, -2)

promjenom početnih uvjeta dolazi do promjene sustava vidljiva su dva područja gdje se trajektorije približavaju zamišljenim rupama, međutim dolazi do toga da se tu trajektorije međusobno udaljavaju počevši od najmanjeg radijusa prema većem na jednom krilu i prelazi se na drugo krilo te se tako to ponavlja u beskonačnost ali nikada po istom putu samih trajektorija male vrijednosti ρ → sustav je stabilan i završava u jednu od dvije fiksne točke atraktora ρ > 24. 74 → fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe

ZAKLJUČAK Ø Ø Ø kaos se rabi u opisivanju prividno kompleksnog ponašanja sustava za koje pretpostavljamo da su jednostavni kaos se javlja kada je neki sustav vrlo osjetljiv na početna stanja posebno značenje teorije kaosa je u njezinoj interdisciplinarnosti svojom univerzalnošću kaos prožima raznorodne discipline i polja ljudskog djelovanja kaos nam daje jedan novi pogled na svijet koji nas okružuje

LITERATURA 1. K. T. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke, CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems, Springer, 359 -365 , 2000. 2. http: //www. zvjezdarnica. com/znanost/velikani/edward-nortonlorenz-leptir-koji-je- promijenio-svijet/318 3. http: //www. inet. hr/~ivnakic/kaos/2 -2 -1 Lorenzove_jednadjbe. htm 4. http: //hr. wikipedia. org/wiki/Lorenzov_atraktor 5. http: //www. fer. unizg. hr/_download/repository/NSU_Predavanje _02_Kaos_OK_2009_2010. pdf 6. http: //mimi. hr/~franic/tkaos. html 7. http: //mathworld. wolfram. com/Lorenz. Attractor. html 8. www. reference. wolfram. com 9. M. Kolaković, I. Vrankić, Teorija kaosa, Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina 2, broj 1, 2004

Hvala na pažnji!