SVEUILITE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Zavod za matematiku Uvod u matematičke metode u inženjerstvu FRAKTALI Voditelji: Dr. sc. Ivica Gusić Dr. sc. Miroslav Jerković Studenti: : Brdar Katarina Dobrinić Mateja Joskić Robert
FRAKTALI • • • geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo moguće ih je uvećavati beskonačno mnogo puta, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi
SVOJSTVA FRAKTALA: 1) Samo-sličnost svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio promatrali i koliko ga puta uvećavali 2) Fraktalna dimenzija vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi d=log(n)/log(s) 3) Oblikovanje iteracijom svojstvo da se objekt generira nekim matematičkim ili geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni (početni) objekt iterativno ugrađuju svojstva generatora
POVIJEST FRAKTALA • • • 17. st. - Leibniz je definirao ponavljanje samosličnosti (uzeo u obzir samo liniju) 1872. - Karl Weierstrass je dao primjer funkcije kojom je definirao samosličnost (preapstraktna) 1904. - Helge von Koch je dao geometrijsku interpretaciju slične funkcije 1915. - Waclaw Sierpiński je kreirao svoj uzorak fraktala pomoću trokuta 1975. - Benoit Mandelbrot je skovao riječ fraktal i definirao njeno značenje
PODJELA FRAKTALA Podjela prema stupnju samosličnosti 1) Potpuno samoslični fraktali 2) Kvazi samoslični fraktali 3) Statički samoslični fraktali Slika 1. Hilbertova krivulja Slika 2. Mandelbrotov skup Slika 3. Perlinov šum
Podjela prema načinu nastanka 1) Iterativni fraktali 2) Rekurzivni fraktali Slika 4. Slučajni fraktal (munja) 3) Slučajni fraktali
PRIMJENA: Slika 5. Planina stvorena koristeći Perlinov šum Slika 6. Raslinje stvoreno pomoću fraktala
PRIMJERI FRAKTALA Prirodni fraktali Maatematički fraktali
CANTOROV SKUP
CANTOROV SKUP
KOCHOVA KRIVULJA
KOCHOVA KRIVULJA
MATEMATIČKA KONSTRUKCIJA FRAKTALA • procedura IFS (iterated function sheme) potrebno imati: I – inicijator; G – generator; m – sličnosti S koje prevode inicijator u generator odnosno • potom se formira niz skupova En na slijedeći način: • gdje je F fraktalni skup
IFS ZA CANTOROV SKUP inicijator je I=[0, 1] generator je E 1=G= definiramo gdje su Na kraju Cantorov skup F zadovoljava:
IFS ZA KOCHOVU KRIVULJU inicijator je I=[0, 1] generator je E 1=G= definiramo Na kraju Kochova krivulja F zadovoljava:
REKURZIJA • • Rekurzija (u matematici i računarstvu) – metoda definiranja funkcija u kojima se definirajuća funkcija primjenjuje unutar definicije Općenito – za opis procesa ponavljanja objekata na samosličan način Rekurzivna definicija – definira objekte u terminima ‘prethodno definiranih’ objekata definirajuće klase Definiranje osnovnih slučajeva definiranje pravila za razbijanje složenih slučajeva u jednostavne
CANTOROV SKUP Rekurzivni algoritam iteracija – podjela segmenta na tri dijela, uklanjanje središnjeg dijela Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Cantorov skup
KOCHOVA KRIVULJA Rekurzivni algoritam iteracija – podjela segmenta na četiri dijela Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Kochovu krivulju
ZAKLJUČAK: • • • Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo, a njihova osnovna svojstva su samo-sličnost, fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijom. U programu Matlab napravljena su dva programa koja prikazuju četiri stupnja iteracije rekurzivnim algoritmom za Kochovu krivulju i Cantorov skup. Pokretanjem programa inicijator se iterativno transformira u generator na temelju svojstava sličnosti koja čuvaju oblike, a mijenjaju položaj i veličinu kutova
LITERATURA: • • M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57. -83. ) http: //hr. wikipedia. org/wiki/Fraktal http: //www. viva-fizika. org/fraktali-ii-deo/ http: //elgrunon. wordpress. com/2007/03/25/koc hova-pahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutarsavrsenstva/
- Slides: 20