Prof dr sc Pavao Marovi Otpornost materijala I

Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, nastavak 5 i 6. 1

5. LINIJSKE KONSTRUKCIJE – DJELOVANJE UZDUŽNE SILE Sila usmjerena u smjeru normale (izlazi iz poprečnog presjeka) → vlačna sila → vlačno naprezanje → rastezanje - produljenje Sila usmjerena suprotna od smjera normale (ulazi u poprečni presjek) → tlačna sila → tlačno naprezanje → stlačivanje - skraćenje Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 2

A L 0 – početna dužina štapa A – površina poprečnog presjeka γ = 0 (zanemarujemo vlast. težinu) 1) Statička analiza L 0 N d. N=σxx·d. A F Otpornost materijala I F 5. Uzdužna sila Zadaća: Pronaći zakon raspodjele naprezanja po površini poprečnog presjeka. Σx=0 → F-N=0 → F=N 3

2) Geometrijska analiza A L 0 Uzdužna sila je konstantna duž osi štapa (imamo 1 -D stanje naprezanja), a zahvaljujući pretpostavci o ravnim presjecima, deformacije u svim točkama presjeka su jednake. L 1 ΔL F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 4

3) Fizikalna analiza Pošto se naš štap nalazi u 1 -D stanju naprezanja, to ćemo za fizikalnu jednadžbu uzeti Hooke-ov zakon za 1 -D: 4) Rješavanje sustava jednadžbi Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 5

σxx Iz prethodnoga slijedi: (naprezanje je jednoliko raspodijeljeno po površini poprečnog presjeka) σxx F (raspodjela normalnih naprezanja uzdužne osi štapa) 2. oblik Hooke-ovog zakona – izraz za produljenje štapa uslijed djelovanja uzdužne sile E·A – krutost štapa na rastezanje/pritisak Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 6

5) Kontrole O matematičkoj kontroli nećemo govoriti pretpostavljajući da smo sve računske operacije izveli korektno i točno. a) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa b) Kontrola krutosti štapa Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 7

Troznačnost jednadžbe naprezanja 1) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa 2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr. ) 3) Nosivost (određivanje sile koju štap može preuzeti) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 8

5. 1 – Utjecaj vlastite težine A γ ≠ 0 (imamo vlastitu težinu) 1) Statička analiza L 0 x N d. N=σxx·d. A Gx Σx=0 → Gx = N = A·x·γ Gx=A·x·γ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 9

Vidimo da se uzdužna sila i naprezanje uzduž štapa mijenjaju po linearnom zakonu. Najveće naprezanje će biti na mjestu uklještenja: σxx N Dopuštena dužina štapa Kritična dužina štapa Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 10

2) Geometrijska analiza A Kako smo vidjeli, naprezanje se mijenja duž osi štapa, pa prema tome duž osi nemamo homogeno stanje naprezanja. Zato promatramo diferencijalni dio štapa (dx). L 0 dx Δdx x Gx=A·x·γ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila Produljenje štapa uslijed vlastite težine jednako je produljenju koje bi nastalo kada bi na kraju štapa 11 djelovala sila G/2

5. 2 – Zajedničko djelovanje sile i vlast. težine A γ≠ 0 Primijenit ćemo princip superpozicije. Stanje naprezanja bit će jednako zbroju stanja naprezanja od sile i vlastite težine. L 0 F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 12

σmax = σdop Komentar: Štapovi s konstantnom površinom poprečnog presjeka duž osi su neracionalni jer imamo veliki dio materijala koji je neiskorišten. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 13

5. 3 – Štap jednake čvrstoće σxx Ax Ideja: Napraviti štap kojemu će u svakom poprečnom presjeku biti naprezanje u potpunosti iskorišteno (svugdje je σdop). L 0 A 0 γ≠ 0 F Otpornost materijala I Problem: komplicirana i skupa izrada. 5. Uzdužna sila 14

5. 4 – Sastavljeni štap σxx Ln Ideja: Napraviti štap što jednostavniji za izradu ali sa što većom iskoristivosti naprezanja. An L 3 A 3 L 2 A 2 L 1 γ≠ 0 A 1 F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 15

Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 16

5. 5 – Plan pomaka je grafička konstrukcija kojom utvrđujemo analitičku ovisnost (vezu) između pomaka točaka i deformacije štapova. (slika 9. 12, str. 139) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 17

A Statička analiza B (1) E 1, A 1, L 1 S 1 (2) E 2, A 2, L 2 1 2 C C ΔL 2 F (δC= δCH +δCV ) ΔL 1 Σx=0 S 1·sin 1 -S 2·sin 2=0 Σy=0 S 1·cos 1+S 2·cos 2=F → S 1 i S 2 δC C 2 F S 2 C 1 Izračunamo deformacije: C’ Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 18

1 2 C F ΔL 2 C 2 δ CV ΔL 1 δC 90 -( 1+ 2) (pomak smo izrazili pomoću deformacija) 1 C 1 δCHC’ 90 -( 1+ 2) Otpornost materijala I s 1=C’C 1 ΔL 2= ΔL 1·cos( 1+ 2 )+s 1 ·sin( 1+ 2 ) 5. Uzdužna sila 19

5. 6 – Statički neodređeni sustavi To su takvi sustavi kod kojih sile u pojedinim elementima sustava ne mogu biti određene samo pomoću jednadžbi ravnoteže već je potrebno promatrati i deformacije elemenata sustava. Razlika između broja statičkih nepoznatih veličina i jednadžbi ravnoteže daje nam stupanj statičke neodređenosti sustava. Da bi smo mogli odrediti sile u pojedinim elementima sustava potrebno je postaviti dopunske jednadžbe deformacija elemenata sustava. Broj dopunskih jednadžbi deformacija jednak je stupnju statičke neodređenosti sustava. Postupak proračuna je slijedeći (slično kao u 4. 8 uz dopune): Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 20

1) Statička strana zadaće: za prerezane elemente sustava, koji sadržavaju nepoznate sile, postavimo jednadžbe ravnoteže te utvrđujemo stupanj statičke neodređenosti; 2) Geometrijska strana zadaće: utvrđujemo vezu između deformacija pojedinih elemenata sustava temeljem uvjeta kompatibilnosti deformacija (koristimo plan pomaka). Postavljamo onoliko dodatnih geometrijskih jednadžbi koliko je puta sustav statički neodređen; 3) Fizikalna strana zadaće: Pomoću Hooke-ovog zakona, deformacije pojedinih elemenata sustava izražavamo unutarnjim silama u pojedinim elementima sustava (+ temperatura); 4) Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi iz čega slijede veličine unutarnjih sila u pojedinim elementima sustava (dobivamo veze između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja); 5) Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih). Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 21

Primjer: 1) Statička analiza Zadan je okrugli aluminijski štap (a) koji se nalazi unutar čelične cijevi (č). F Fč E=∞ Fa L F Če Al Σy=0 → Fa + Fč = F 2 – 1 = 1 x F Trebamo odrediti naprezanja u cijevi i u štapu. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 22

2) Geometrijska analiza Kako je sila centrična, to će ploče i dalje ostati međusobno paralelne. Uvjet deformacije: F Δa = Δč Δa Δč L Če Al 3) Fizikalna analiza Imamo 1 -D stanje naprezanja, te deformacije sustava izražavamo unutarnjim silama, tj. Hooke-ovim zakonom: F Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 23

4) Rješavanje sustava jednadžbi Fa + Fč = F Δa = Δč Komentari: - Dobro je izvršiti kontrolu dobivenog izraza prema dimenzijama veličina. - E·A – krutost elementa - Što je veća krutost elementa, materijal na sebe preuzima veće opterećenje (sila Fč je veća što je nazivnik manji). Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 24

Primjer: Apsolutno kruta greda pridržana s dva štapa. a 1 S 1 E 4 nepoz. lež. reak. – 3 jedn. rav. = 1 x stat. neodređen (1) E 1, A 1, L 1 S 1 AH A E=∞ S 2 F F 1 B C D 2 AV S 2 Primjenjujemo metodu presjeka (2) E 2, A 2, L 2 a 2 Otpornost materijala I 1) Statička analiza L ΣM(A)=0 S 2·sin 2·a 2+S 1·sin 1·a 1=F·L 5. Uzdužna sila 25

Pošto je sustav 1 x statički neodređen to je potrebno postaviti 1 dodatnu jednadžbu – geometrijska jednadžba. a 1 2) Geometrijska analiza E Uvjet deformacije - ? ? ? S 1 A E=∞ F ΔL 2 B 2 S 2 F 1 2 C ΔL 1 Sličnost trokuta ACC’=ABB’ D 1 B’ C’ a 2 Otpornost materijala I L 5. Uzdužna sila 26

Geometrijska jednadžba – veza između deformacija 3) Fizikalne jednadžbe (Hooke-ov zakon za 1 -D) 4) Rješavanje sustava jednadžbi (jednadžbe 3 grupe ubaciti ćemo u jednadžbu 2 grupe) Ovo je bila metoda sila, jer smo zadani sustav rješavali po silama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 27

Zadani sustav možemo rješavati i po pomacima – metoda pomaka. (i) Ei, Ai, Li, i, Si (i) i u A ΔLi v Fy y Fx x A’ → u, v Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 28

5. 7 – Temperaturna naprezanja Promatramo slobodno, homogeno i izotropno tijelo koje zagrijavamo. U svakoj točki i u svim smjerovima relativna deformacija (εt ) je konstantna: ε t = t · Δt t – temperaturni koeficijent linearnog rastezanja Δt – promjena temperature t čelik = 125· 10 -7 /º C t bakar = 167· 10 -7 /º C t aluminij = 255· 10 -7 /º C Temperaturna naprezanja se javljaju kada su deformacije podvrgnute nekim ograničenjima. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 29

1) Kod statički određenih sustava nemamo temperaturnih naprezanja jer deformacije (deformiranje) nije ograničeno. +Δt 2) Kod statički neodređenih sustava deformacije su podvrgnute određenim ograničenjima tako da se sada pojavljuju temperaturna naprezanja (ovo se događa bilo da se zagrijavaju pojedinih elementi ili čak i da se cijeli sustav jednoliko zagrijava). Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 30

+Δt S 1 S 2 L L 1 ΔLt = L 1 - L → ΔLt = t · Δt · L 1) Statička analiza S 1 = S 2) Geometrijska analiza ΔLt - ΔLS = 0 → ΔLt = ΔLS 3) Fizikalna analiza ΔLt = t · Δt · L i ΔLS = S·L / E·A 4) Rješenje Otpornost materijala I S = t·Δt·E·A i σxx = S / A = t·Δt·E 5. Uzdužna sila 31

Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki a zagrijava se samo srednji štap. A B C ΣV=0 → S 2 + 2 · S 1 · cos = 0 (2) E 2, A 2, L 2 +Δt S 2 S 1 1) Statička analiza S 2 = - 2 · S 1 · cos (1) E 1, A 1, L 1 S 1 2 – 1 = 1 x 2) Geometrijska analiza ΔL 1 = ΔL 2 · cos 3) Fizikalna analiza D ΔL 1 ΔL 2 ΔL 1 = S 1·L 1 / E 1·A 1 ΔL 2 = (S 2·L 2 / E 2·A 2) + t·Δt·L 2 4) Rješenje Pitanje: koja je sila vlačna a koja tlačna? Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 32

5. 8 – Montažna (početna) naprezanja U sustavu se mogu pojaviti unutarnje sile iako nemamo nikakvih vanjskih djelovanja. Do toga dolazi zbog netočnosti pri izvedbi elemenata sustava. Kako se te unutarnje sile javljaju pri montaži elemenata sustava odnosno prije nego li na sustav počnu djelovati neki vanjski utjecaji, to se naprezanja uslijed tih unutarnjih sila nazivaju montažna naprezanja odnosno početna naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 33

Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki pri čemu je srednji štap izveden nešto kraći. A B C 1) Statička analiza ΣV=0 → S 2 - 2 · S 1 · cos = 0 (2) E 2, A 2, L 2 S 2 = 2 · S 1 · cos (1) E 1, A 1, L 1 S 2 ΔL 2 ΔL 1 D S 1 2 – 1 = 1 x 2) Geometrijska analiza δ = ΔL 2 + (ΔL 1 / cos ) δ Komentar 1. : Sila S? 2 je vlačna, a sila S? 1 je tlačna! 3) Fizikalna analiza ΔL 1 = S 1·L 1 / E 1·A 1 ΔL 2 = S 2·L 2 / E 2·A 2 4) Rješenje Komentar 2. : Greška δ može biti slučajna, ali i namjerna! Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 34

5. 9 – Potencijalna energija pri rastezanju/pritisku Pod djelovanjem sile F štap se deformira. Pri tome sila F vrši rad na putu ΔL. Dok smo u elastičnom području, taj vanjski rad se pretvara u potencijalnu energiju, a ako smo u plastičnom području onda se samo dio vanjskog rada pretvara u potencijalnu energiju dok se ostatak troši na deformiranje odnosno na zagrijavanje štapa. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 35

Nas zanima situacija u elastičnom području. F F Koliko je prirasla potencijalna energija? A d. W=F 1·dλ d. F F 1 (površina trokuta 0 AB) ΔL 0 λ dλ ΔL B Slijedi: U=W (u elastičnom području, potencijalna energija je jednaka radu vanjskih sila) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 36

Kako je po Hooke-ovom zakonu: slijedi da je potencijalna energija jednaka: Vidimo da je potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili ΔL. To je površina ispod F-ΔL dijagrama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 37

Ako potencijalnu energiju podijelimo s volumenom tijela dobit ćemo jediničnu ili specifičnu potencijalnu energiju: Kako je po Hooke-ovom zakonu σ = ε · E odnosno ε = σ / E slijedi da je specifična potencijalna energija jednaka: Vidimo da je specifična potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, u>0, jer je kvadratna funkcija od σ ili ε. To je površina ispod σ - ε dijagrama. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 38

5. 10 – Udarno opterećenje štapa A Masa štapa i zadržača je zanemariva prema masi tereta (G). A G L L h G E=∞ G δst < δDIN E=∞ G Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila Između štapa i tereta nema trenja → sve se pretvara u energiju (nema gubitka energije, sustav je zatvoren). δDIN Rad vanjskih sila (W) jednak je potencijalnoj energiji (U). 39

Rad vanjskih sila Unutarnja potencijalna energija ili potencijalna energija deformiranja Rad vanjskih sila jednak je unutarnjoj potencijalnoj energiji odnosno potencijalnoj energiji deformiranja pri čemu je te dobivamo jednadžbu Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 40

(kvadratna jedn. po δdin ) Opće rješenje je: Fizikalno jedino moguće rješenje je: odnosno: pri čemu je: Otpornost materijala I dinamički koeficijent 5. Uzdužna sila 41

Koliki je dinamički koeficijent? Kod pada tereta s neke visine postoji veza između visine padanja h i brzine padanja v: Uvrstimo li to u izraz za δDIN s prethodne stranice, dobivamo: Pri čemu dinamički koeficijent možemo izraziti kao: Za slučaj da je visina padanja h=0 i brzina padanja v=0 dobivamo da je dinamički koeficijent k. DIN = 2 Pošto je visina padanja h>0 i brzina padanja v>0 to je dinamički koeficijent: Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 42

Kolika su naprezanja u štapu kad na njega djeluje naglo opterećenje? pri čemu je σst: Dinamičko opterećenje koje djeluje na donjem presjeku štapa je: Vidimo da je dinamičko opterećenje uvijek nepovoljnije od statičkog opterećenja. Zaključak: Između statičkog i dinamičkog djelovanja postoji bitna razlika. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 43

5. 11 – Gipke žice (lančanica) (Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 9. 12, str. 172 -180) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 44

5. 12 – Membransko stanje naprezanja Primjeri membrana su: rezervoari, cisterne, kotlovi, mjehur od sapunice, itd. Prema tome za membranu možemo kazati: (1) debljina membrane znatno je manja od ostalih dimenzija; (2) membrana je gipka; (3) membrana ne može preuzeti moment savijanja nego samo normalna naprezanja koja su jednoliko raspodijeljena po debljini stjenke membrane u smjeru okomitom na poprečni presjek. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 45

Promatrajmo diferencijalni element membrane: Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 46

ΣV=0 O 1 dφ1 ρ1 σxx·t·ds 2 dφ1 2 2 p ρ1 σxx·t·ds 2 t Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 47

Za male kutove imamo da je: Kako je: Dobivamo: Laplace-ova jednadžba membranskog stanja naprezanja Uz Laplace-ovu jednadžbu membranskog stanja naprezanja potrebno je postaviti još jednu dodatnu jednadžbu – ona ovisi o problemu kojeg rješavamo. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 48

Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom (Slika 10. 3, str. 184). ρ1 = R ρ2 = ∞ t R R 2·π·p = σ2· 2·R·π·t Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 49

t D=2·R t Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom između krutih površina (Slika 10. 6, str. 188). ρ1 = R ρ2 = ∞ Za postaviti drugu jednadžbu, moramo promatrati deformacije kotla u uzdužnom smjeru (2). Pitanje: ε 2=? → Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 50

Ako su nam zadane komponente naprezanja može se tražiti da odredimo koliki je radijus kotla. Pitanje: Kolika je relativna deformacija opsega? → ρ1 = R ρ2 = ∞ t D=2·R t Ovo nam je jako važno kad imamo problem cijevi. Iz ovog možemo doći do cijevi jedinične dužine, a to je: prsten. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 51

5. 13 – Koncentracija naprezanja Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 52

Koncentracija naprezanja je pojava nejednolike raspodjele normalnih naprezanja u presjecima nagle promjene veličine i oblika poprečnog presjeka iako djeluje centrična uzdužna sila. (Slika 9. 35, str. 169) Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 53

σyy σyx σxy (šupljina) Zaključak: Iako je vanjsko djelovanje jednoosno, na mjestu oslabljenja poprečnog presjeka javlja se višeosno stanje naprezanja, te ono uzrokuje pojavu koncentracije naprezanja. F (Ovo bi bilo kad bi imali jednoliku raspodjelu naprezanja u oslabljenom poprečnom presjeku) k – koeficijent koncentracije naprezanja An Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 54

Kod statičkog djelovanja vanjskog opterećenja, do granice proporcionalnosti (σP) karakter koncentracije naprezanja je jednak za sve materijale. Plastični materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne granicu tečenja dolazi do tečenja materijala na mjestu maksimalnih naprezanja. Daljnji porast opterećenja štapa preuzimaju vlakna u poprečnom presjeku koja su napregnuta ispod granice tečenja, tako da se raspodjela naprezanja sve više približava jednolikoj – u trenutku loma izgubljen je karakter koncentracije naprezanja. Krti materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne čvrstoću materijala, na mjestu maksimalnih naprezanja javljaju se pukotine koje uzrokuju još veću koncentraciju naprezanja, što pak dovodi do širenja pukotina i naglog loma štapa – u trenutku loma sačuvan je karakter koncentracije naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 55

Temeljem prethodno iznesenog, pri statičkom djelovanju vanjskog opterećenja, utjecaj koncentracije naprezanja kod plastičnih materijala može se zanemariti, dok se kod krtih materijala uvijek mora uzeti u obzir. Kod dinamičkog djelovanja vanjskog opterećenja, plastični materijali se ponašaju kao krti kod statičkog djelovanja, dok uporabu krtih materijala treba izbjegavati. Veličina koncentracije naprezanja može se smanjiti tako da se na neki način ublaži promjena oblika poprečnog presjeka. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 56

Dokaz čvrstoće kod koncentracije naprezanja 1) Krti materijal Uslijed koncentracije naprezanja kod krtih materijala moramo raditi sa smanjenim dopuštenim naprezanjem. 2) Plastični materijal Kod plastičnog materijala zanemarujemo koncentraciju naprezanja. Otpornost materijala I 5. Uzdužna sila 57

6. DJELOVANJE POPREČNE SILE – SMICANJE (ODREZ) Za podsjetiti se: σyy σxx n Opća jednadžba transformacija: σxx Za naše zadano stanje imamo: σyy Otpornost materijala I 6. Posmik 58

σxx=-σyy=σ Promatrajmo specijalni slučaj: σyy σxx Kolika su naprezanja σnn i σnt pod kutem =45º ? τ τ σxx σnn = 0 σnt = -σ σyy Čisti posmik: σ = 0, τ ≠ 0 Kakva će biti deformacija? Otpornost materijala I 6. Posmik Uvodimo oznake: σii = σ (za i=i) - normalna napr. σij = τ (za i≠j) - posmična napr. 59

Vidimo da je došlo do promjene kutova između stranica, te se možemo zapitati da li dolazi do promjene dužina stranica. Da bi odgovorili na pitanje, promatrati ćemo promjenu volumena: U našem slučaju imamo da je: te konačno dobivamo: σzz = 0 i σxx = -σyy = σ Zaključak: (1) Kod čistog posmika na stranicama elementa djeluju samo posmična (tangencijalna) naprezanja; (2) Kod čistog posmika relativna promjena volumena je jednaka nuli odnosno nemamo promjena dužina stranica već imamo samo promjenu pravih kutova (4) koji postaju tupi (2) odnosno oštri (2). Otpornost materijala I 6. Posmik 60

c’ τ c aτ a Uslijed tangencijalnih naprezanja došlo je do smicanja. Δs d d’ Δs – apsolutno smicanje τ β β τ a β – kut smicanja ili relativno smicanje i služi kao mjera deformacije tgβ ≈ β = Δs / a b Po definiciji uzimamo da je: β = 2 · εxy Kako Hooke-ov zakon za posmik glasi: β=τ/G (ε=σ/E) Dobivamo da je relativna posmična deformacija: εxy = τ / 2 · G Otpornost materijala I 6. Posmik G – modul posmika 61

6. 1 – Veza između aps. posmika i sile posmika Promatrati ćemo jedan kratki štap: F a Δs = a · β Δs A Kako je naprezanje: β Dobivamo da je veličina apsolutnog posmika jednaka: drugi oblik Hookeovog zakona za posmik G·A – posmična krutost Otpornost materijala I 6. Posmik 62

6. 2 – Potencijalna energija pri čistom posmiku Nas zanima situacija u elastičnom području. F F A rad vanjskih sila (u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila) 0 Δs Potencijalna energija Δs Specifična pot. energija Otpornost materijala I Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili Δs. To je površina ispod F-Δs dijagrama. 6. Posmik 63

6. 3 – Veza E-G-ν E (modul elastičnosti), G (modul posmika) i ν (Poison-ov koeficijent) su tri konstante kojima se opisuje mehaničko ponašanje nekog homogenog i izotropnog materijala. Pitanje: da li su one međusobno zavisne veličine? Promatrati ćemo diferencijalni element opterećen samo posmičnim naprezanjima, te ćemo na njemu odrediti relativnu deformaciju dijagonale na dva načina: (1) iz deformacija uslijed posmika; (2) iz deformacija u ravninskom stanju naprezanja. Otpornost materijala I 6. Posmik 64

Δs τ d a β σ1 σ1 σ2 Δd = Δs · cos(π/4β/2) Δd ≈ Δs · cosπ/4 d 1 d σ2 π/4 -β/2 τ Δd β π/4 za α=45º β/2 σ1=-σ2=τ Otpornost materijala I π/4 -β/2 b 6. Posmik 65

6. 4 – Hooke-ov zakon za opće stanje naprezanja Djelovanje normalnih i tangencijalnih deformacija je međusobno nezavisno. U prostoru (3 -D): Otpornost materijala I 6. Posmik 66

ili obrnuto: Otpornost materijala I 6. Posmik 67

Prethodne jednadžbe možemo izraziti u matričnom obliku: {σ} [D] vektor naprezanja Ukratko: matrica elastičnosti {ε} vektor deformacija {σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku (Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1 -D) Otpornost materijala I 6. Posmik 68

U ravnini (2 -D): Odnosno matrično: Ukratko: {σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku (Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1 -D) Otpornost materijala I 6. Posmik 69

6. 5 – Odrez je poseban slučaj čistog posmika. Promatrajmo jedan kratki štap. F τ τ F Otpornost materijala I Moment savijanja zanemarujemo. Duž crtkane linije se javljaju posmična naprezanja, τ, a kad ona pređu kritičnu vrijednost, dolazi do odreza štapa. 6. Posmik 70

τ·d. A T Ovo smo dobili uz pretpostavku da je raspodjela tangencijalnih naprezanja po površini poprečnog presjeka od poprečne sile jednolika. Stvarna raspodjela je nejednolika. F Stvarni dijagram Izraz za posmična (tangencijalna) naprezanja od poprečne sile: Otpornost materijala I τsr Računski dijagram 6. Posmik 71

Troznačnost jednadžbe naprezanja 1) Kontrola naprezanja 2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr. ) 3) Nosivost (određivanje poprečne sile koju štap može preuzeti) Otpornost materijala I 6. Posmik 72

6. 6 – Spojevi i spojna sredstva Primjer 1: Spoj dvije motke sa svornjakom. 2·t 1 > t F Odrezne ravnine t 1 F t t 1 d F Otpornost materijala I F 6. Posmik 73

Da ne dođe do odreza duž odreznih ravnina kontroliramo naprezanja odnosno imamo uvjet: Na tijelo svornjaka djeluje i bočni površinski pritisak. Prema tome, moramo izvršiti i kontrolu tzv. obodnog pritiska ili gnječenja. Stvarna raspodjela bočnog pritiska koja je nepoznata d Zamjenska, računska, raspodjela bočnog pritiska Otpornost materijala I 6. Posmik 74

Primjer 2: Spoj (na preklop) dva lima sa zakovicama. F F t t Računska raspodjela nosivosti zakovica n F n Stvarna raspodjela nosivosti zakovica Da bi se osigurala ova pretpostavka uvedena su tzv. konstruktivna pravila o broju i rasporedu zakovica u nekom spoju. Kontrola odreza: Ovo su jednorezne zakovice. Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I 6. Posmik 75

Nedostatak jednoreznih zakovica je što sile F ne leže na istom pravcu, pa ako su limovi debeli ili je sila F vrlo velika, na mjestu spoja dolazi do zaokretanja odnosno krivljenja limova. Primjer 3: Spoj (s vezicama) dva lima sa zakovicama. 2·t 1 > t F t 1 t t 1 F n n Kontrola odreza: Ovo su sada dvorezne zakovice. Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I 6. Posmik 76

Primjer 4: Zavareni spoj dva lima. L=L’-10 mm tt Var F F L’ a - jačina vara Kontrola odreza: a = t · cos 45º a t Otpornost materijala I 6. Posmik a = 0, 7 · t 77

Primjer 5: Drveni spoj (spoj drvenog kosnika i drvene grede). FH = F · cosα F x y Kontrola odreza: α FH y FV Kontrola gnječenja: b Otpornost materijala I 6. Posmik (Napomena: u ovom slučaju je i odrez i gnječenje u smjeru pružanja vlakanaca) 78

Nastavak slijedi u idućem file-u. Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 79