Operations Research Industrial engineering METODE SIMPLEKS 2 Operations

Operations Research Industrial engineering

METODE SIMPLEKS 2 Operations Research 22/01/2022

Metode Simpleks Menerjemahkan definisi dari titik ekstrim menjadi definisi aljabar � Metode simpleks mengharuskan agar setiap batasan ditempatkan dalam bentuk standar khusus dimana semua batasan diekspresikan sebagai persamaan dengan menambahkan variabel slack dan surplus sebagaimana diperlukan � � � Jumlah variabel lebih besar daripada jumlah persamaan sehingga menghasilkan sejumlah titik pemecahan yang tidak terbatas Titik ekstrim dari ruang ini dapat diidentifikasi secara aljabar sebagai basic solutions dari sistem persamaan simultan tersebut Yang dilakukan metode simpleks adalah mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal dan lalu bergerak secara sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan � Pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai optimum akan diidentifikasi dan perhitungan berakhir � Metode simpleks merupakan prosedur perhitungan yang berulang (iteratif) dimana setiap pengulangan (iterasi) berkaitan dengan satu pemecahan dasar � 3 Operations Research 22/01/2022

Metode Simpleks � Algoritma Simpleks Primal � Metode Big-M � Metode Two-Phase � Algoritma 4 Simpleks Dual Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar � Semua batasan adalah persamaan (dengan sisi kanan yang nonnegatif jika model tersebut dipecahkan dengan metode simpleks primal) � Semua variabel adalah nonnegatif � Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi 5 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Batasan � Sebuah pertidaksamaan yang berjenis ≤ (≥) dapat dikonversikan menjadi sebuah persamaan dengan menambahkan variabel slack ke (mengurangkan surplus dari) sisi kiri batasan tersebut � Contoh 1: � Batasan: x 1 + 2 x 2 ≤ 6 � Bentuk standar: x 1 + 2 x 2 + s 1 = 6, s 1 ≥ 0 � Contoh 2: � Batasan: 3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 ≥ 5 � Bentuk standar: 3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 - s 2 = 5, s 2 ≥ 0 6 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Batasan � Sisi kanan dari sebuah persamaan dapat selalu dibuat nonnegatif dengan mengalikan kedua sisi dengan -1 � Contoh 1: � Batasan: 2 x 1 + 3 x 2 – 7 x 3 = -5 � Bentuk standar: -2 x 1 – 3 x 2 + 7 x 3 = 5 7 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Batasan � Arah pertidaksamaan dibalik ketika kedua sisi dikalikan dengan -1 � Contoh 1: � Batasan: 2 x 1 – x 2 ≤ -5 -2 x 1 + x 2 ≥ 5 � Bentuk standar: -2 x 1 + x 2 – s = 5 8 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Variabel � Variabel yang tidak dibatasi yi dapat diekspresikan dalam bentuk dua variabel nonnegatif dengan menggunakan substitusi yi = yi’ – yi” yi’, yi” ≥ 0 � Substitusi harus diberlakukan di semua batasan dalam fungsi tujuan � Dalam pemecahan LP (simpleks) yang optimal, hanya satu dari kedua variabel tersebut (yi’ dan yi”) dapat memiliki nilai positif, tetapi tidak pernah keduanya (jika yi’ > 0, maka yi” = 0; dan sebaliknya) � yi’ = variabel slack; yi” = variabel surplus 9 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Variabel � Contoh 1: � yi = -6 � yi = 10 � yi = 0 � Contoh yi’ = 0, yi’ = 10, yi’ = 0, yi” = 6 yi” = 0 2: � Batasan: 2 x 1 + 3 x 2 – x 3 ≤ 10 -∞ < x 1< ∞; x 2, x 3 ≥ 0 2 (x 1’ – x 1”) + 3 x 2 – x 3 ≤ 10 2 x 1’ – 2 x 1” + 3 x 2 – x 3 ≤ 10 � Bentuk standar: 2 x 1’ – 2 x 1” + 3 x 2 – x 3 + s = 10 x 1’, x 1”, x 2, x 3 ≥ 0 10 Operations Research 22/01/2022

Bentuk LP Standar: Fungsi Tujuan � Maksimisasi sebuah fungsi adalah setara dengan minimisasi negatif dari fungsi yang sama, dan demikian pula sebaliknya � Contoh 1: � Fungsi tujuan: maksimumkan z = 5 x 1 + x 2 + 3 x 3 � Setara dengan: minimumkan (-z) = -5 x 1 – x 2 – 3 x 3 � Kesetaraan berarti bahwa untuk sekelompok batasan yang sama, nilai optimum x 1, x 2, dan x 3 adalah sama dalam kedua kasus tersebut (nilai fungsi tujuan sama secara numerik, hanya saja terlihat dengan 11 Operations Research 22/01/2022 tanda yang berbeda)

Latihan 1 � Minimumkan z = 2 x 1 + 3 x 2 � Subject To x 1 + x 2 = 10 -2 x 1 + 3 x 2 ≤ -5 7 x 1 – 4 x 2 ≤ 6 x 1 tidak dibatasi x 2 ≥ 0 12 Operations Research 22/01/2022

Latihan 1: Bentuk Standar Min z – 2 x 1’ + 2 x 1” – 3 x 2 = 0 Subject To: x 1’ – x 1” + x 2 = 10 2 x 1’ – 2 x 1” – 3 x 2 – s 2 = 5 7 x 1’ – 7 x 1” – 4 x 2 + s 3 = 6 x 1’, x 1”, x 2, s 3 ≥ 0 13 Operations Research 22/01/2022

Pemecahan Dasar � Model LP standar memiliki m persamaan dan n variabel yang tidak diketahui � Pemecahan dasar yang berkaitan ditentukan dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol dan lalu memecahkan m persamaan dengan m variabel sisanya, asalkan terdapat pemecahan yang dihasilkan dan pemecahan itu unik � Dalam LP, n – m variabel yang ditetapkan sama dengan nol sebagai non basic variables, dimana m variabel sisanya disebut sebagai basic variables � Sebuah pemecahan dasar (basic solutions) dikatakan layak (feasible) jika semua nilai pemecahannya adalah non negatif 14 Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 � Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan mentah, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan mentah per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor? 15 Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 (Tabel 1) A B 16 Ton Bahan Mentah per Ton Cat Eksterior Interior 1 2 2 1 Ketersediaan maksimum (ton) Operations Research 6 8 22/01/2022

Contoh Soal 1 � Xj = jumlah ton cat jenis j yang diproduksi setiap hari � Cj = harga grosir per ton cat jenis j � Aij = kebutuhan ton bahan mentah i untuk memproduksi 1 ton cat jenis j � Bi = ketersediaan maksimum bahan mentah i per hari � j = index jenis cat; 1 = cat eksterior, 2 = cat interior � i = index bahan mentah; 1 = bahan A, 2 = bahan B 17 Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 � Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X 1 + 2000 X 2 � Batasan bahan baku � Bahan baku A X 1 + 2 X 2 ≤ 6 � Bahan baku B 2 X 1 + X 2 ≤ 8 18 Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 � Batasan permintaan harian � Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior X 2 – X 1 ≤ 1 � Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X 2 ≤ 2 � Batasan non negativitas � X 1 ≥ 0 � X 2 ≥ 0 19 Operations Research 22/01/2022

Metode Simpleks Primal: Contoh Soal 1 max z = 3 X 1 + 2 X 2 Subject To: 1) 2) 3) 4) 5) 20 X 1 + 2 X 2 ≤ 6 2 X 1 + X 2 ≤ 8 X 2 – X 1 ≤ 1 X 2 ≤ 2 X 1, X 2 ≥ 0 Operations Research 22/01/2022

Metode Simpleks Primal: Bentuk Standar max z - 3 X 1 - 2 X 2 - 0 s 1 - 0 s 2 - 0 s 3 - 0 s 4 = 0 Subject To: X 1 + 2 X 2 + s 1 = 6 2 X 1 + – X 1 + X 2 + s 2 = 8 x 2 + s 3 = 1 X 2 + s 4 = 2 X 1, X 2, s 1, s 2, s 3, s 4 ≥ 0 21 Operations Research 22/01/2022

Metode Simpleks Primal: Bentuk Standar �m = 4 persamaan, n = 6 variabel non basic variables (nol) = 6 – 4 = 2 �Pemecahan awal (starting solution) X 1 = 0 dan X 2 = 0 � s 1 = 6, s 2 = 8, s 3 = 1, s 4 =2 � Nilai tujuan: z = 3 X 1 + 2 X 2 z – 3 X 1 – 2 X 2 = 0 z = 0 � Langkah selanjutnya adalah meneliti pergerakan ke sebuah pemecahan dasar yang baru 22 Operations Research 22/01/2022

Kondisi Optimalitas � Variabel masuk (entering variable) dalam maksimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling negatif dalam persamaan z tujuan � Variabel masuk (entering variable) dalam minimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling positif dalam persamaan z tujuan � Koefisien dengan nilai yang sama dapat dipilih secara sembarang � Nilai optimum dalam maksimimasi dicapai ketika semua koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah non negatif � Nilai optimum dalam minimisasi dicapai ketika semua koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah non positif 23 Operations Research 22/01/2022

Kondisi Kelayakan � Baik untuk masalah maksimisasi maupun minimisasi, variabel keluar (leaving variable) adalah basic variable saat ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimum dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam arah variabel masuk � Nilai yang sama dapat dipilih secara sembarang 24 Operations Research 22/01/2022

Langkah Iterasi Formal Metode Simpleks Primal 1. 2. 3. 4. 25 Dengan menggunakan bentuk standar (dengan sisi kanan semua non negatif), tentukan pemecahan dasar awal yang layak Pilih variabel masuk dari di antara variabel non dasar dengan menggunakan kondisi optimalitas. Bila tidak ditemukan variabel masuk, solusi optimal telah tercapai. Pilih variabel keluar dari variabel dasar saat ini dengan menggunakan kondisi kelayakan Tentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat variabel masuk tersebut sebagai variabel dasar dan variabel keluar sebagai variabel non dasar. Kembali ke langkah 2. Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 26 Operations Research 22/01/2022

Simpleks Primal: Iterasi 0 � Mengidentifikasi variabel masuk kolom masuk � Menghitung rasio (RHS/kolom masuk) � Mengidentifikasi variabel keluar persamaan pivot � Menentukan elemen pivot perpotongan kolom masuk dengan persamaan pivot 27 Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan � Melakukan perubahan atas dasar penggunaan dua jenis perhitungan: � Persamaan � Semua 28 pivot: persamaan lainnya, termasuk z: Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan Pivot � x 1 masuk, s 2 keluar � Elemen pivot = 2 persamaan x 1 = persamaan s 2 : 2 29 Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 Koefisien kolom masuk z 1/2 0 0 4 -3 Persamaan z lama 1 -3 -2 0 0 0 PPB x KKM 0 -3 -3/2 0 0 -12 Persamaan z baru 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 � Persamaan z baru = persamaan z lama – (PPB x KKMz) 30 Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 Koefisien kolom masuk s 1 1/2 0 0 4 1 Persamaan s 1 lama 0 1 2 1 0 0 0 6 PPB x KKM 0 1 1/2 0 0 4 Persamaan s 1 baru 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2 � Persamaan s 1 baru = persamaan s 1 lama – (PPB x KKMs 1) 31 Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 Koefisien kolom masuk s 3 1/2 0 0 4 -1 Persamaan s 3 lama 0 -1 1 0 0 1 PPB x KKM 0 -1 -1/2 0 0 -4 Persamaan s 3 baru 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 � Persamaan s 3 baru = persamaan s 3 lama – (PPB x KKMs 3) 32 Operations Research 22/01/2022

Eliminasi Gauss-Jordan 33 Operations Research 22/01/2022

Iterasi 1: 34 Operations Research 22/01/2022

Penyelesaian dengan Grafik 35 Operations Research 22/01/2022

Perbandingan dengan Solusi Grafik 36 Operations Research 22/01/2022

Contoh Soal 1 � Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1) 2) X 1 + 2 X 2 ≤ 6 2 X 1 + X 2 ≤ 8 � Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya: X 1 = 10/3 � X 2 = 4/3 � �Z = 3000 X 1 + 2000 X 2 = 12667 � Kesimpulan: Cat eksterior yang harus diproduksi = 10/3 ton per hari � Cat interior yang harus diproduksi = 4/3 ton per hari � Pendapatan kotor maksimum yang bisa didapatkan = $12. 667 � 37 Operations Research 22/01/2022

KASUS KHUSUS DALAM APLIKASI METODE SIMPLEKS 38 Operations Research 22/01/2022

Kasus Khusus Dalam Aplikasi Metode Simpleks � Degenerasi � Optimum alternatif � Pemecahan yang tidak dibatasi (unbounded) � Pemecahan tidak ada (atau tidak layak/infeasible) 39 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi 40 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi � Dalam penerapan kondisi kelayakan metode simpleks primal, dua rasio yang sama dapat dipilih secara sembarang untuk menentukan variabel keluar � Jika hal ini terjadi, satu variabel dasar atau lebih pasti akan sama dengan nol dalam iterasi berikutnya � Pemecahan baru itu adalah DEGENERASI � Model memiliki setidaknya satu batasan yang berlebihan 41 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi: Contoh � Maksimumkan z = 3 x 1 + 9 x 2 � ST: x 1 + 4 x 2 ≤ 8 x 1 + 2 x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0 42 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi: Contoh 3, 5 3 2, 5 2 batasan 1 1, 5 batasan 2 1 z 0, 5 0 -0, 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 43 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi: Contoh � Maksimumkan z - 3 x 1 - 9 x 2 = 0 � ST: x 1 + 4 x 2 + s 1 = 8 x 1 + 2 x 2 + s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2 ≥ 0 44 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi: Contoh 45 Operations Research 22/01/2022

Degenerasi: Contoh 46 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif 47 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif � Fungsi tujuan adalah sejajar dengan satu batasan yang mengikat (satu batasan yang dipenuhi dalam bentuk persamaan oleh pemecahan optimal) fungsi tujuan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik 48 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh � Max z = 2 x 1 + 4 x 2 � ST x 1 + 2 x 2 ≤ 5 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0 49 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh 6 5 4 3 batasan 1 2 batasan 2 z 1 0 0 1 2 3 4 5 -1 -2 50 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh � Max z = 2 x 1 + 4 x 2 � ST x 1 + 2 x 2 + s 1 = 5 x 1 + x 2 + s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2 ≥ 0 51 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh 52 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh 53 Operations Research 22/01/2022

Optimum Alternatif: Contoh 54 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution 55 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution � Nilai variabel dapat meningkat secara tak terbatas tanpa melanggar salah satu batasan � Ruang pemecahan tidak dibatasi (unbounded) dalam setidaknya satu arah � Nilai tujuan dapat meningkat (maksimisasi) atau menurun (minimisasi) secara tak terbatas � Ruang pemecahan maupun nilai tujuan optimum tidak dibatasi 56 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution � Merupakan pengembangan model yang buruk � Umumnya terjadi karena ada satu atau lebih batasan yang diperlukan tidak diperhitungkan dan/atau parameter dari beberapa batasan tidak diestimasi secara tepat 57 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution: Contoh � Max z = 2 x 1 + x 2 � ST: x 1 – x 2 ≤ 10 2 x 1 ≤ 40 x 1, x 2 ≥ 0 58 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution: Contoh � Max z = 2 x 1 + x 2 � ST x 1 – x 2 + s 1 = 10 2 x 1 + s 2 = 40 x 1, x 2, s 1, s 2 ≥ 0 59 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution: Contoh 60 Operations Research 22/01/2022

Unbounded Solution: Contoh 61 Operations Research 22/01/2022

Infeasible 62 Operations Research 22/01/2022

Infeasible � Batasan tidak dapat dipenuhi secara simultan � Kemungkinan model tidak dirumuskan secara tepat karena batasan-batasan bertentangan satu sama lain � Kemungkinan batasan-batasan yang ada tidak dimaksudkan untuk dipenuhi secara bersamaan � Tidak akan terjadi jika semua batasan berjenis ≤ (RHS nonnegatif) 63 Operations Research 22/01/2022

Infeasible: Contoh � Max z = 3 x 1 + 2 x 2 � ST: 2 x 1 + x 2 ≤ 2 3 x 1 + 4 x 2 ≥ 12 x 1, x 2 ≥ 0 64 Operations Research 22/01/2022

Infeasible: Contoh 3, 5 3 2, 5 2 1, 5 1 0, 5 0 -0, 5 0 1 2 3 -1 batasan 1 65 batasan 2 z Operations Research 22/01/2022 4

66 Operations Research 22/01/2022