PROGRAM LINEAR METODE SIMPLEKS OLEH Dr Edi Sukirman

PROGRAM LINEAR METODE SIMPLEKS OLEH Dr. Edi Sukirman, SSi, MM

Metode Simpleks Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan.

n Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain. n Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang sebelum solusi optimal diperoleh

Penyelesaian Dengan Metode Simpleks n Syarat : n Model program linier ( Canonical form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan ”bentuk baku” (standard form).

Ciri-ciri dari bentuk baku model program linier Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan nonnegatif. n Semua variabel keputusan non-negatif. n Fungsi tujuan dapat memaksimumkan maupun meminimumkan n

n Bentuk standar Metode Simpleks. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = C 1 X 1+C 2 X 2+. . . +Cn. Xn Fungsi Pembatas : a 11 X 11 + a 12 X 12 +. . + a 1 n. Xn b 1 a 21 X 21 + a 22 X 22 +. . + a 2 n. Xn b 2 ……. …. . am 1 Xm 1 + am 2 Xm 2 +. . + amn. Xn bm Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

Perlu diperhatikan : n Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.

Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan : n Fungsi Pembatas n n Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable. Banyaknya slack variabel bergantung pada fungsi pembatas.

n Fungsi Tujuan n n Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini. Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

n Bentuk standar Metode Simpleks. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X 2 -. . . –Cn. Xn-0 S 1 -0 S 2 -. . . -0 Sn = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11+a 12 X 12+. . +a 1 n. Xn+ S 1+0 S 2+. . . +0 Sn = b 1 a 21 X 21+a 22 X 22+. . +a 2 n. Xn+ 0 S 1+1 S 2+. . . +0 Sn = b 2 ……. …. . = … am 1 Xm 1+am 2 Xm 2+. . +amn. Xn+ S 1+0 S 2+. . . +1 Sn = bm Var. Kegiatan Slack Var Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks. n Tabel ini mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah n

Tabel Simpleks : Var. Dasar Z X 1 X 2 . . Xn S 1 S 2 . . Sn NK Z 1 -C 2 . . -Cn 0 0 0 S 1 0 a 11 a 12 . . . a 1 n 1 0 0 0 b 1 S 2 0 a 21 a 22 . . . a 2 n 0 1 0 0 b 2 . . . . Sn 0 am 1 am 2 . . . amn 0 0 0 1 bm Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

Langkah-Langkah Metode Simpleks 1. Rumuskan persoalan PL ke dalam model umum PL (fungsi tujuan dan fungsi pembatas). 2. Merubah model umum PL menjadi model simpleks : a. Fungsi Pembatas : tambahkan slack variabel dan/atau surplus variabel, dan/atau variabel buatan (artifisial var). n

b. Fungsi tujuan : - Rubahlah bentuk fungsi tujuan eks plisit menjadi persamaan bentuk implisit - Tambahkan/kurangi dengan slack var, surplus var dan/atau variabel buatan yg bernilai nol. 3. Formulasikan ke dalam Tabel Simpleks. 4. Lakukan langkah-langkah penyelesaian.

Contoh 1 : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z=8 X 1 + 6 X 2 (Dlm Rp 1000) 2. Fungsi Pembatas : Bahan A : 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 60 Bahan B : 2 X 1 + 4 X 2 ≤ 48 X 1, X 2 ≥ 0 n

Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 8 X 1– 6 X 2– 0 S 1 - 0 S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : 4 X 1+2 X 2+ S 1+ 0 S 2 = 60 2 X 1+4 X 2+0 S 1+ 1 S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar Z S 1 S 2 X 1 X 2 S 1 S 2 NK

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -8 -6 0 0 0 S 1 S 2

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -8 -6 0 0 0 S 1 4 2 1 0 60 S 2

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -8 -6 0 0 0 S 1 4 2 1 0 60 S 2 2 4 0 1 48

Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -8 -6 0 0 0 S 1 4 2 1 0 60 S 2 2 4 0 1 48 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci :

Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -8 -6 0 0 0 S 1 4 2 1 0 60 S 2 2 4 0 1 48

b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : --------------------Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z -8 -6 0 0 0 - S 1 4 2 1 0 60 15 S 2 2 4 0 1 48 24 Angka Kunci

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK 1 ½ ¼ 0 15 Z X 1 S 2

Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci Baris pertama (Z) Nilai baru [-8 -6 0 0 0 ] (-8) [1 1/2 1/4 0 15 ] = [0 -2 2 0 120 ] [2 4 0 1 48 ] (2) [1 1/2 1/4 0 15 ] = [0 3 -1/2 1 18 ] ( - ) Baris ke-3 (batasan 2) Nilai baru ( - )

Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z 0 -2 2 0 120 X 1 1 ½ ¼ 0 15 S 2 0 3 -½ 1 18

Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z 0 -2 2 0 120 - X 1 1 ½ ¼ 0 15 30 S 2 0 3 -½ 1 18 6

Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks 0 1 - 1/6 1/3 6 - Z X 1 X 2

Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z 0 0 5/3 2/3 132 - X 1 1 0 1/3 - 1/6 12 - X 2 0 1 - 1/6 1/3 6 -

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1= 12 dan X 2 = 6 dengan Zmakasimum = Rp 132. 000. -

Contoh 2 : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z=15 X 1 + 10 X 2 (Dlm Rp 10. 000) 2. Fungsi Pembatas : Bahan A : X 1 + X 2 ≤ 600 Bahan B : 2 X 1 + X 2 ≤ 1000 X 1, X 2 ≥ 0 n

Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 5 X 1– 10 X 2– 0 S 1 - 0 S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : X 1+X 2+ S 1+ 0 S 2 = 600 2 X 1+X 2+0 S 1+ 1 S 2 = 1000 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar Z S 1 S 2 X 1 X 2 S 1 S 2 NK

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -15 -10 0 S 1 S 2

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -15 -10 0 S 1 1 0 600 S 2

n Tabel Simpleks : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -15 -10 0 S 1 1 0 600 S 2 2 1 0 1 1000

Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -15 -10 0 S 1 1 0 600 S 2 2 1 0 1 1000 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci :

Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z -15 -10 0 S 1 1 0 600 S 2 2 1 0 1 1000

b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : --------------------Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z -15 -10 0 - S 1 1 0 600 S 2 2 1 0 1 1000 500 Angka Kunci

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK 1 ½ 0 ½ 500 Z S 1 X 1

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK S 1 0 ½ 1 -½ 100 X 1 1 ½ 0 ½ 500 Z

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru) x angka kolom kunci baris ybs. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Z 0 -2½ 0 7½ 7500 S 1 0 ½ 1 -½ 100 X 1 1 ½ 0 ½ 500

3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z 0 -2½ 0 7½ 7500 - S 1 0 ½ 1 -½ 100 200 X 1 1 ½ 0 ½ 500 1000 Angka Kunci

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks 0 1 2 -1 200 - Z X 2 X 1

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks X 2 0 1 2 -1 200 - X 1 1 0 -1 1 400 - Z

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 NK Indeks Z 1 0 5 5 8000 - X 2 0 1 2 -1 200 - X 1 1 0 -1 1 400 -

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1= 400 dan X 2 = 200 dengan Zmakasimum = Rp 8000. -

Contoh-3 : Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3 X 1+2 X 2 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 15 2 X 1 + X 2 ≤ 28 X 1 + 2 X 2 ≤ 20 X 1, X 2 ≥ 0

Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– X 1– 2 X 1– 0 S 2– 0 S 3 = 0 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 + S 1 = 15 2 X 1 + X 2 + S 2 = 28 X 1 + 2 X 2 + S 3 = 20 X 1, X 2 ≥ 0

Tabel Simpleks Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK

Tabel Simpleks Variabel Dasar Z S 1 S 2 S 3 X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK

Tabel Simpleks Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Z -3 -2 0 0 S 1 S 2 S 3

Tabel Simpleks Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Z -3 -2 0 0 S 1 1 0 0 15 S 2 S 3

Tabel Simpleks Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Z -3 -2 0 0 S 1 1 0 0 15 S 2 2 1 0 28 S 3

Tabel Simpleks Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Z -3 -2 0 0 S 1 1 0 0 15 S 2 2 1 0 28 S 3 1 2 0 0 1 20

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks Z -3 -2 0 0 - S 1 1 0 0 15 15 S 2 2 1 0 28 14 S 3 1 2 0 0 1 20 20

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Variabel X X S 1 S 2 S 3 NK Indeks -2 0 0 - 1 1 1 0 0 15 15 S 2 2 1 0 28 14 S 3 1 2 0 0 1 20 20 1 2 Z -3 S 1 Dasar Angka Kunci

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks 1 ½ 0 14 - Z S 1 X 1 S 3

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks X 1 1 ½ 0 14 - S 3 0 3/2 0 -½ 1 6 - Z S 1

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks S 1 0 ½ 1 -½ 0 1 - X 1 1 ½ 0 14 - S 3 0 3/2 0 -½ 1 6 - Z

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks Z 0 -½ 0 3/2 0 42 - S 1 0 ½ 1 -½ 0 1 - X 1 1 ½ 0 14 - S 3 0 3/2 0 -½ 1 6 -

(c). Iterasi-2 Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks Z 0 -½ 0 3/2 0 42 - S 1 0 ½ 1 -½ 0 1 2 X 1 1 ½ 0 14 28 S 3 0 3/2 0 -½ 1 6 4 Angka Kunci

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks 0 1 2 -1 0 2 - Z X 2 X 1 S 3

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks X 2 0 1 2 -1 0 2 - X 1 1 ½ 0 14 - Z S 3

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks X 2 0 1 2 -1 0 2 - X 1 1 ½ 0 14 - S 3 0 0 0 -3 1 1 - Z

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Indeks Z 0 0 1 1 0 43 - X 2 0 1 2 -1 0 2 - X 1 1 ½ 0 14 - S 3 0 0 0 -3 1 1 -

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X 1 =13; X 2=2, Zmaksimum = 43

Latihan : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan n Z = 60 X 1+30 X 2+20 X 3 Pembatas : 8 X 1 + 6 X 2 + X 3 ≤ 48 4 X 1 + 2 X 2 + 1. 5 X 3 ≤ 20 2 X 1 + 1. 5 X 2 + 0. 5 X 3 ≤ 8 X 2 ≤ 5 X 1, X 2, x 3 ≥ 0

2. Fungsi Tujuan : Maksimum z = 8 x 1 + 9 x 2 + 4 x 3 Pembatas : x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 2 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≤ 3 7 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 ≤ 8 x 1, x 2, x 3 ≥ 0

3. Fungsi Tujuan : Memaksimumkan z = 8 x 1 + 7 x 2 + 3 x 3 Pembatas : x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 4 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≤ 7 3 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 ≤ 8 x 1, x 2, x 3 ≥ 0

Penyimpangan Bentuk Standar Simplex Penyimpangan bentuk standar dapat terjadi karena : 1. Fungsi tujuan (Z) bukan Maximalisasi, tetapi Minimalisasi 2. Fungsi batasan bertanda (=) atau (≥) 3. Dan syarat X 1 atau X 2 tidak terpenuhi, misalkan X 1 ≥ - 10 (negatif)

contoh : Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 3 X 1 + 5 X 2 Dengan batasan : Mesin A 2 X 1 = 8 Mesin B 3 X 2 ≤ 15 Mesin C 6 X 1 + 5 X 2 ≥ 30 , dimana X 1 dan X 2 ≥ 0

Langkah Penyelesaian : Untuk fungsi tujuan agar menjadi maksimal dikalikan dengan (-1) n Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel tambahan berupa variabel artifisial. n Jika kendala bertanda “>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel artifisial. n Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = M ( M adalah konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu, dst) n

Minimalkan Z = 3 X 1 + 5 X 2 menjadi Maksimalkan (-Z) = -3 X 1 – 5 X 2 n Mesin A 2 X 1 = 8, akan menjadi : 2 X 1 + X 3 = 8 n Mesin B 3 X 2 ≤ 15 3 X 2 + X 4 = 15 n Mesin C 6 X 1 + 5 X 2 ≥ 30 , akan menjadi 6 X 1 + 5 X 2 -X 5 + X 6 = 30 Sehingga fungsi tujuan menjadi : Maksimal : –Z + 3 X 1 + 5 X 2 + MX 3 + MX 6 = 0 n Indrawani Sinoem/TRO/SI-5

Masalah berikutnya yang muncul adalah setiap variabel dasar (slack atau artificial variabel), harus bernilai nol, sehingga MX 3 dan MX 6 di atas harus di-nol-kan terlebih dahulu, sebelum dipindah ke tabel simplex. Cara yang digunakan adalah dengan mengurangi bilangan M tersebut dengan bilangan M itu sendiri, yang sebelumnya dikalikan dengan setiap nilai batasan yang menyebabkan munculnya bilangan M tersebut.

Nilai fungsi tujuan terakhir adalah : 3 n 5 M 0 0 M 0 Kita coba hilangkan M yang pertama terlebih dahulu. n X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 NK 3 5 M 0 0 M 0 ( 2 0 1 0 0 0 8 ) M ___________________ n 3 -2 M 5 0 0 0 M -8 M

n Selanjutnya kita hilangkan M yang kedua. 3 -2 M 5 0 0 0 M -8 M ( 6 5 0 0 -1 1 30 ) x M _____________________- 3 -8 M 5 -5 M 0 0 M 0 -38 M, Atau n -8 M+3 -5 M+5 0 0 M 0 -38 M Yang merupakan nilai dari fungsi tujuan yang baru n selanjutnya akan dimasukkan ke tabel simplex, sehingga tabel simlex awalnya adalah sebagai berikut :

Tabel Awal simplex, untuk kasus penyimpangan : X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 NK Z -8 M+3 -5 M+5 0 0 M 0 -38 M X 3 2 0 1 0 0 0 8 X 4 0 3 0 1 0 0 15 X 6 6 5 0 0 -1 1 30