METODE SIMPLEKS Merupakan metode yang umum digunakan untuk

  • Slides: 34
Download presentation
METODE SIMPLEKS

METODE SIMPLEKS

 • Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik

• Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan. • Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain.

 • Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dari suatu pemecahan

• Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yg feasibel (basic feasible solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasar yang optimal. • Metode ini digunakan karena metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua. (variabel keputusan 2)

Penyelesaian Dengan Metode Simpleks • Syarat : Model program linier ( Canonical form) harus

Penyelesaian Dengan Metode Simpleks • Syarat : Model program linier ( Canonical form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan ”bentuk baku” (standard form).

Bentuk Linear Programming baku (standar) : 1. Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi

Bentuk Linear Programming baku (standar) : 1. Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan non-negatif ( sisi kanan 0 ) 2. Semua variabel keputusan non-negatif 3. Fungsi tujuan berupa dapat maksimisasi atau minimisasi

dapat dituliskan : • Fungsi tujuan : Maks / Min Z = CX •

dapat dituliskan : • Fungsi tujuan : Maks / Min Z = CX • Fungsi pembatas : AX = b X > 0

Perlu diperhatikan : • Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar,

Perlu diperhatikan : • Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.

Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan : •

Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan : • Fungsi Pembatas – Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable (variabel pengurang).

 • Fungsi Tujuan – Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi

• Fungsi Tujuan – Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini. – Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

Bentuk Standar Fungsi Objektif Maksimalkan: Z = C 1 X 1 + C 2

Bentuk Standar Fungsi Objektif Maksimalkan: Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + … + Cn. Xn Bentuk Standar Fungsi Batasan: a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + … + a 1 n. Xn b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + … + a 2 n. Xn b 2 . . . am 1 X 1 + am 2 X 2 + am 3 X 3 + … + amn. Xn bm • X 1 0 /ZA 10

 • m = macam batasan-batasan fasilitas yang tersedia • n = macam kegiatan

• m = macam batasan-batasan fasilitas yang tersedia • n = macam kegiatan yang menggunakan fasilitas • i = nomor fasilitas yang tersedia ( i=1, 2, 3, …, n ) • j = nomor kegiatan yang menggunakan fasilitas tersedia ( j=1, 2, 3, …, m ) • Xi = tingkat kegiatan i, (i=1, 2, 3, …, n) • aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit kegiatan j, • ( i=1, 2, 3, …, n ) ( j=1, 2, 3, …, m ) • bi = banyaknya fasilitas i yang tersedia untuk dialokasikan • ke setiap unit kegiatan i, ( i=1, 2, 3, …, n ) • Z = nilai yang dioptimalkan (maksimumkan) • Cj = kenaikan nilai Z bila ada pertambahan satuan kegiatan (xj) 11

 • Fungsi Tujuan Maksimisasi fungsi = Minimisasi ”negatif” fungsi itu. Contoh : Maks.

• Fungsi Tujuan Maksimisasi fungsi = Minimisasi ”negatif” fungsi itu. Contoh : Maks. Z = 5 X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 sama dengan Min. (-Z) = -5 X 1 - 2 X 2 - 3 X 3

 • Kendala (Constraints) Kendala jenis diubah menjadi = dengan menambahkan Variabel Slack di

• Kendala (Constraints) Kendala jenis diubah menjadi = dengan menambahkan Variabel Slack di sisi kiri. Kendala X 1 + X 2 15 -> X 1 + X 2 + S 1 = 15 dengan S 1 0 (S 1 adalah sumber daya yang berlebih)

Kendala jenis diubah menjadi = dengan mengurangkan Variabel Surplus di sisi kiri. Kendala 2

Kendala jenis diubah menjadi = dengan mengurangkan Variabel Surplus di sisi kiri. Kendala 2 X 1 + X 2 15 -> 2 X 1 + X 2 - S 2 = 15 dengan S 2 0 (S 2 adalah sumber daya yang langka)

Sisi kanan harus dibuat non-negatif -5 X 1 + X 2 = -25 diubah

Sisi kanan harus dibuat non-negatif -5 X 1 + X 2 = -25 diubah menjadi 5 X 1 - X 2 = 25 Arah pertidaksamaan dibalik jika kedua sisi dikalikan -1 -5 X 1 + X 2 -25 diubah menjadi 5 X 1 - X 2 25

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : Iterasi adalah

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

 • Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada

• Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). • Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤

Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

 • Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk

• Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. • Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kunci (baris kerja).

Baris kunci (baris kerja) adalah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel

Baris kunci (baris kerja) adalah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. Elemen kunci (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris kunci. Elemen kunci akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

 • Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi

• Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. • Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

 • Langkah-langkah metode simpleks Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan • Fungsi

• Langkah-langkah metode simpleks Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan • Fungsi tujuan Z = 3 X 1 + 5 X 2 diubah menjadi Z - 3 X 1 - 5 X 2 = 0. • Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel) (1) 2 X 1 8 menjadi 2 X 1 + X 3 = 8 (2) 3 X 2 15 menjadi 3 X 2 + X 4 = 15 (3) 6 X 1 + 5 X 2 30 menjadi 6 X 1 + 5 X 2 + X 5 = 30 Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan

LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS • Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3 X 1

LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS • Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3 X 1 - 5 X 2 = 0 • Fungsi batasan (1) 2 X 1 + X 3 (2) 3 X 2 + X 4 (3) 6 X 1 + 5 X 2 + X 5 = 8 = 15 = 30

Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Beberapa Istilah dlm Metode Simplek • NK

Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Beberapa Istilah dlm Metode Simplek • NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3 sebesar 30. • Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan 2 X 1 + X 3 = 8, kalau belum ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X 1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka pengangguran ada 8 satuan, atau nilai X 3 = 8. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X 3, X 4, X 5) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan bertanda positif

Z = 3 X 1 + 5 X 2 diubah menjadi Z - 3

Z = 3 X 1 + 5 X 2 diubah menjadi Z - 3 X 1 - 5 X 2 = 0. (1) 2 X 1 (2) 3 X 2 (3) 6 X 1 + 5 X 2 8 menjadi 15 menjadi 30 menjadi 2 X 1 6 X 1 + + X 3 = 8 + X 4 = 15 + X 5 = 30 3 X 2 5 X 2 1. Tabel simpleks yang pertama Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 X 4 0 0 3 0 15 X 5 0 6 5 0 0 1 30

Langkah 3: Memilih kolom kunci • Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk

Langkah 3: Memilih kolom kunci • Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom X 2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan – 5. Berilah tanda segi empat pada kolom X 2, seperti tabel berikut

2 Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama Variabel Dasar Z X 1

2 Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 X 4 0 0 3 0 15 X 5 0 6 5 0 0 1 30 Keterangan (Indeks) Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).

Langkah 4: Memilih baris kunci • Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk

Langkah 4: Memilih baris kunci • Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. • Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci) Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = , baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, seperti tabel 3. bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0; 15/3 = 5). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X 2).

3 Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X 1 X

3 Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 8/0 = ∞ X 4 0 0 3 0 15 15/3 = 5 X 5 0 6 5 0 0 1 30 30/5 = 6 0 0 0 1/3 0 15/3 Z X 3 X 2 1 X 5 0/3 3/3 0/3 15/3 Keteranga n (Indeks)

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci Baris pertama (Z) Nilai baru [-3 -5 0 0 0, 0] (-5) [0 1 0 1/3 0, 5] = [-3 0 0 5/3 0, 25] [2 0 1 0 0, 8] (0) [0 1 0 1/3 0, 5] = [2 0 1 0 0, 8] (-) Baris ke-2 (batasan 1) Nilai baru (-)

Baris ke-4 (batasan 3) Nilai baru [6 5 0 0 1, 30 ] (5)

Baris ke-4 (batasan 3) Nilai baru [6 5 0 0 1, 30 ] (5) [0 1 0 1/3 0, 5 ] = [6 0 0 -5/3 1, 5 ] Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 X 4 0 0 3 0 15 X 5 0 6 5 0 0 1 30 Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 3 0 2 0 1 0 0 8 X 2 0 0 1/3 0 5 X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 (-)

Langkah 7: Melanjutkan perbaikan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk

Langkah 7: Melanjutkan perbaikan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 3 0 2 0 1 0 0 8 X 4 0 0 1/3 0 5 X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 Z 1 X 3 0 X 2 0 X 1 0 6/6 0 0 -5/18 1/6 5/6 6/6 0/6 (-5/3)/6 1/6 5/6 Keterangan (Indeks) = 8/2 = 4 = 5/6 (minimum)

Nilai baru Baris ke-1 Nilai baru [-3 0 0 5/3 0, 25 ] (-3)

Nilai baru Baris ke-1 Nilai baru [-3 0 0 5/3 0, 25 ] (-3) [1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] = [0 0 0 5/6 ½, 271/2] [2 0 1 0 0, 8] (2) [1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] = 0 0 1 5/9 -1/3, 61 / 3 ] (-) Baris ke-2 (batasan 1) Nilai baru (-) Baris ke-3 tidak berubah karena nilai pada kolom kunci = 0 Nilai baru [0 1 0 1/3 0, 5] (0) [1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] = 0 1/3 0, 5] (-)

Tabel simpleks final hasil perubahan Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3

Tabel simpleks final hasil perubahan Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 0 0 0 5/6 ½ 271/2 X 3 0 0 0 1 5/9 -1/3 61 / 3 X 2 0 0 1/3 0 5 X 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal Dari tabel final didapat X 1 = 5/6 X 2 = 5 Zmaksimum = 271/2