METODE SIMPLEKS PENGERTIAN Metode simpleks adalah metode yang

METODE SIMPLEKS

PENGERTIAN • Metode simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan manaterial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan matematika program linear yang mempunyai variable keputusan mulai dari lebih besar atau sama dengan 2 (dua) sampai multivariable. • Sedangkan metode grafik hanya dapat digunalan apabila jumlah variable keputusan maksimal 2 (dua) buah. • Sehingga dapat disimpulkan bahwa suatu persoalan linear programing yang diselesaikan dengan metode grafik juga dapat diselesaikan dengan metode simpleks, sebaliknya suatu persoalan yang hanya bisa diselesaikan dengan metode simpleks tidak dapat diselesaikan dengan metode grafik.

BEBERAPA ISTILAH DALAM TABEL SIMPLEKS • Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. • Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. • Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). • Solusi atau nilai kanan (NK) merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu: 1. Nilai kanan (NK) fungsi tujuan harus nol (0). 2. Nilai kanan (NK) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harusdikalikan – 1.

LANJUTAN…. . • Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. • Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. • Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

LANJUTAN…. • Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). • Baris pivot (baris kerja) adalah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. • Elemen pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. • Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. • Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

CONTOH LAIN : Maksimum z = 8 X 1 + 9 X 2+ 4 X 3 Fungsi Kendala : X 1 + X 2 + 2 X 3 ≤ 2 2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 ≤ 3 7 X 1 + 6 X 2 + 2 X 3 ≤ 8 X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0

Langkah 1 : • Mengubah fungsi tujuan z = 8 X 1 + 9 X 2+ 4 X 3+ 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 z - 8 X 1 - 9 X 2 - 4 X 3 - 0 S 1 - 0 S 2 - 0 S 3 = 0 atau

Langkah 2 : bentuk baku Mengubah fungsi batasan X 1 + X 2 + 2 X 3 + S 1 = 2 2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + S 2 = 3 7 X 1+ 6 X 2 + 2 X 3 + S 3 = 8 X 1, X 2, X 3, S 1, S 2, S 3 ≥ 0

Langkah 3 : tabel solusi awal VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Z -8 -9 -4 0 0 S 1 1 1 2 1 0 0 2 S 2 2 3 4 0 1 0 3 S 3 7 6 2 0 0 1 8 Rasio

Langkah 4 : Menentukan kolom Entering Variabel VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Z -8 -9 -4 0 0 S 1 1 1 2 1 0 0 2 S 2 2 3 4 0 1 0 3 S 3 7 6 2 0 0 1 8 Rasio • Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -9 pada kolom X 2 jadi, kolom X 2 adalah kolom kunci/Pivot,

Langkah 5 : Menentukan Baris leaving Variabel VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Rasio Z -8 -9 -4 0 0 0 S 1 1 1 2 1 0 0 2 2 S 2 2 3 4 0 1 0 3 1 S 3 7 6 2 0 0 1 8 8/6 • Jadi nilai rasio terkecil adalah 1 (selain Z), sehingga baris kuncinya / baris pivot ada pada S 2

Langkah 6 : menentukan pivot elemen • Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh angka 3 VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Rasio Z -8 -9 -4 0 0 0 S 1 1 1 2 1 0 0 2 2 S 2 2 3 4 0 1 0 3 1 S 3 7 6 2 0 0 1 8 8/6

Langkah 7 : membuat tabel baru • Membuat Baris Baru Kunci (BBK) • Karena nilai kunci berada pada kolom X 2, maka baris S 2 kita ubah namanya menjadi X 2, dan nilai-nilai pada baris S 2 kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci. Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x 1)

Lanjutan…. VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Rasio 2/3 3 4/3 0 1 1 Z S 1 X 2 S 3

Langkah 8 : hasil tabel baru • Mencari baris baru selain baris kunci/pivot. Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Rasio Z -2 0 8 0 3 0 9 - S 1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3 X 2 2/3 1 4/3 0 1 3/2 S 3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

Langkah 9 : ulangi mencari EV, LV, Pivot elemen • Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks yang baru (iterasi 1) VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Rasio Z -2 0 8 0 3 0 9 - S 1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3 X 2 2/3 1 4/3 0 1 3/2 S 3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

Lanjutan… • Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi langkah-langkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.

Langkah 10 : Tabel akhir • Variabel masuk dengan demikian adalah X 1, variabel keluar adalah S 3 serta elemen pivot yaitu 3. Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut VB X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 NK Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3 S 1 0 0 4/3 1 -1/9 7/9 X 2 0 1 8/3 0 5/3 -2/9 5/9 S 3 1 0 -2/3 1/3 2/3

Kesimpulan • Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan S 1 = 2/3 X 2= 7/9 S 3 = 5/9 Z = 31/3