METODA SIMPLEKS Prosedur Simpleks Metoda Simpleks Bisa digunakan

METODA SIMPLEKS (Prosedur Simpleks)

Metoda Simpleks • Bisa digunakan untuk Program Linier lebih dari 2 variabel , yang tidak bisa dilakukan dengan metoda grafik. • Merupakan suatu prosedur aljabar yang didasarkan konsep geometrik (Titik ruang). • Untuk mendapatkan solusi yang optimal dengan metoda simpleks, akan dilakukan beberapa iterasi.

Metoda Simpleks • Suatu masalah pada proses diubah dulu menjadi Model Matematik. Berupa Ketidaksamaan. • Bentuk ketidaksamaan harus diubah terlebih dulu ke bentuk persamaan. • Pengubahan bentuk ketidaksamaan menjadi persamaan adalah dengan penambahan ‘slack variabel’ atau pengurangan sebesar ‘surplus variabel’.

Terminologi Metoda Simpleks • Bentuk Standard : semua batasan adalah persamaan dengan menambah Slack atau mengurangi dengan Surplus. • Basic Feasible Solution: Solusi dasar yang ada dengan semua variabel persamaan tujuannya non-negative • Basic variable: variabel lainnya yang memenuhi persamaan sistem dalam bentuk standard dan membentuk matriks satuan. • Nonbasic variable: Suatu kumpulan variabel dimana variabel tidak membentuk matriks satuan.

Tahapan Metoda Simpleks 1. Merubah permasalahan Programa Linier menjadi bentuk standard. 2. Mencari ‘basic feasible solution (bfs)’ dari bentuk standard. 3. Menentukan bahwa bfs yang sekarang adalah optimal, jika optimal berarti solusi sudah diperoleh. 4. Jika bfs yang sekarang belum optimal, tetapkan variabel non basis mana yang akan menjadi suatu basis variabel dan suatu basis variabel menjadi non basis variabel untuk mendapatkan bfs baru dengan nilai fungsi obyektif yang lebih baik. 5. Kembali ke tahap 3.

Pengubahan Model Ketidaksamaan Persamaan Model Ketidaksamaan Maksimasi : X 0 = 4 X 1 + 3 X 2 Pembatas : 2 X 1 + 3 X 2 6 -3 X 1 + 2 X 2 3 2 X 2 5 2 X 1 + X 2 4 X 1, X 2 0 Model Persamaan Maksimasi : X 0 = 4 X 1 + 3 X 2 +0 S 1 +0 S 2 +0 S 3 +0 S 4 Pembatas : 2 X 1 + 3 X 2 + S 1 = 6 -3 X 1 + 2 X 2 + S 2 = 3 2 X 2 + S 3 = 5 2 X 1 + X 2 + S 4 = 4 X 1, X 2 S 1, S 2 S 3 S 4 0 S adalah ‘slack variabel’, penambah ketidaksamaan

Pembentukan Tabel Simpleks 2 1 Var Basis X 0 4 3 bj c 1 b 1 c 2 b 2 c 3 b 3 . . cm bm (cj bj ) 5 7 Koefisien dari X 1 X 2 X 3. . . c 1 c 2 c 3. . . a 11 a 12 a 13. . . a 21 a 22 a 23. . . a 31 a 32 a 33. . . Xn cn a 1 n a 2 n a 3 n am 1 amn am 2 am 3. . . ( (aij ci ) – cj) 6 RHS Ratio

Penjelasan Tabel Simpleks 1. Kolom 1, berisi variabel basis yaitu variabel yang membentuk matrik satuan dari kumpulan fungsi pembatas. 2. Kolom 2, berisi konstanta dari variabel basis yang terdapat pada fungsi tujuan. 3. Kolom 3, berisi dari nilai bj, , yaitu nilai pada sisi kanan ketidaksamaan dari fungi pembatas. 4. Kolom 4, Xi merupakan variabel keputusan, ci merupakan konstanta dari fungsi tujuan.

Penjelasan Tabel Simpleks 5. Kolom 5, berisi konstanta dari persamaan - persamaan yang membentuk fungsi pembatas. 6. Kolom 6, berisi nilai hasil perhitungan untuk menentukan variabel basis yang meninggalkan (bukan variabel basis lagi) dengan memilih bj/aij terkecil, dimana aij 0

Penjelasan Tabel Simpleks 7. Kolom 7, berisi nilai-nilai untuk menentukan variabel masuk atau ‘Entering Variable’ (calon variabel basis baru) dengan memilih nilai paling negatif untuk fungsi tujuan maksimum atau sebaliknya untuk fungsi tujuan minimum dari perhitungan rumus ( (aij ci ) - cj).

Contoh Soal Model Ketidaksamaan Model Persamaan Maksimasi : X 0 = 3 X 1 + 2 X 2 + 5 X 3 +0 S 1 +0 S 2 +0 S 3 Pembatas : X 1 + 2 X 2 + X 3 430 Pembatas : X 1 + 2 X 2 + X 3 + S 1 = 430 3 X 1 + 2 X 3 460 3 X 1 + 2 X 3 + S 2 = 460 X 1 + 4 X 2 420 X 1 + 4 X 2 +S 3 = 420 X 1, X 2 , X 3 S 1, S 2 S 3 0

Langkah Penyelesaian Dengan Simpleks 1. Memindahkan model persamaan matematik ke tabel. 2. S 1 , S 2. , S 3 merupakan variabel basis, karena membentuk matriks satuan Var Basis X 0 bj 430 460 420 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 3 0 2 0 1 4 0 0 S 2. . 0 0 1 0 S 3. 0 0 0 1 RHS Ratio

Langkah Penyelesaian Dengan Simpleks 2 a. Memindahkan Variabel Slack ke kolom Var Basis. 2 b. Memindahkan Koefisien Slack ke kolom X 0 Var Basis X 0 bj S 1 0 430 S 2 0 460 S 3 0 420 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 3 0 2 0 1 4 0 0 S 2. . 0 0 1 0 S 3. 0 0 0 1 RHS Ratio

3. Var Basis Menentukan nilai-nilai untuk mendapatkan ‘Entering variabel’, misal : kolom X 1 = ((1*0 + 3*0 + 1*0) – 3) = -3 X 0 bj S 1 0 430 S 2 0 460 S 3 0 420 0 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 3 0 2 0 1 4 0 0 -3 – 2 – 5 0 S 2. . 0 0 1 0 S 3. 0 0 0 1 0 0 RHS Ratio 4. Dari nilai-nilai tersebut, X 3 merupakan ‘Entering Variable’

5. Var Basis Menentukan nilai-nilai untuk mendapatkan ‘Leaving variabel’, misal : baris S 1 = 430/1 S 2 =460/2 X 0 bj S 1 0 430 S 2 0 460 S 3 0 420 0 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 3 0 2 0 1 4 0 0 – 3 – 2 – 5 0 S 2. . 0 0 1 0 S 3. 0 0 0 1 0 0 RHS Ratio 430 230

Membagi baris kedua dengan 2 agar koefisien ‘Leaving variabel’, menjadi 1 Var Basis X 0 bj S 1 0 430 S 2 0 230 S 3 0 420 0 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 1. 5 0 1 4 0 0 – 3 – 2 – 5 0 S 2. . 0 0 0. 5 0 S 3. 0 0 0 1 0 0 RHS Ratio

Membuat koefisien lainnya menjadi 0. Caranya: -1 x koefisien leaving variabel + koefisien pada baris yang akan dinolkan. (-1 x 230)+430 = 200, (-1 x 1. 5)+1 = -0. 5, (-1 x 0)+2 = 2, (-1 x 1)+1 = 0, (-1 x 0)+1 = 1, (-1 x 0. 5)+0 = =0. 5, (-1 x 0)+0 = 0 Var Basis X 0 bj S 1 0 430 S 2 0 230 S 3 0 420 0 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 1 2 1 1 1. 5 0 1 4 0 0 – 3 – 2 – 5 0 S 2. . 0 0 0. 5 0 S 3. 0 0 0 1 0 0 RHS Ratio

6. Didasarkan pada tabel sebelumnya, maka var. basis S 2 diganti dengan X 3 Var Basis X 0 bj S 1 0 200 X 3 5 230 S 3 0 420 1150 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 - 0. 5 2 0 1 1. 5 0 1 4 0 0 4. 5 -2 0 0 S 2. . 0 -0. 5 0 S 3. 0 0 0 1 2. 5 0 RHS Ratio Pivot Point = baris yang digunakan sebagai dasar iterasi 7. Dengan pivot point dilakukan iterasi untuk memperoleh nilai-nilai yang baru dari baris atau var. basis yang lama.

8. Tentukan Entering dan Leaving variable dengan cara yang sama dengan sebelumnya Var Basis X 0 bj S 1 0 200 X 3 5 230 S 3 0 420 1150 Entering Variable Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. 3 2 5 0 - 0. 5 2 0 1 1. 5 0 1 4 0 0 4. 5 -2 0 0 S 2. . 0 -0. 5 0 S 3. 0 0 0 1 2. 5 0 Leaving Variabel RHS Ratio 100 105

Buat koefisien kolom X 2 menjadi 1 dengan membagi baris dengan 2, supaya menmbentuk matrik satuan. Var Basis X 0 bj S 1 0 100 X 3 5 230 S 3 0 420 1150 Entering Variable Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. S 2. . S 3. 3 2 5 0 0 0 - 0. 25 1 0 0. 5 -0. 25 0 1 0 0. 5 0 1 4 0 0 0 1 4. 5 -2 0 0 2. 5 Leaving Variabel 0 RHS Ratio 100 105

Membuat koefisien lainnya menjadi 0. Caranya: -4 x koefisien leaving variabel + koefisien pada baris yang akan dinolkan. (-4 x 1)+4 = 0, (-4 x-0. 25)+1 = 2, (-4 x 100)+420 = 20, (-4 x 0)+0 = 0, (-4 x 0. 5)+0 = -2, (-4 x-0. 25)+0 = 1, (-4 x 0)+1 = 1 Var Basis X 0 bj 2 X 3 100 5 S 3 230 0 420 X 2 1150 Entering Variable Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. S 2. . S 3. 3 2 5 0 0 0 - 0. 25 1 0 0. 5 -0. 25 0 1 0 0. 5 0 1 4 0 0 0 1 4. 5 -2 0 0 2. 5 0 Leaving Variabel RHS Ratio 100 105

Var Basis X 0 bj X 2 2 100 X 3 5 230 S 3 0 20 1350 Koefisien dari X 1 X 2 X 3 S 1. S 2. . 3 2 5 0 0 -0. 25 1 0 0. 5 -0. 25 1. 5 0 1 0 0. 5 2 0 0 -2 1 4 0 0 1 2 S 3. 0 0 0 1 RHS Ratio 0 9. Dari iterasi berikut, nilai-nilai dari ( (aij bj ) - cj). semuanya positif berarti kondisi sudah optimal, dengan hasil X 1 = 0 , X 2 = 100, X 3 = 230 dan keuntungan maksimal adalah 1350.

Soal-Soal LATIHAN Kerjakan Soal Berikut : 1. Maksimasi : X 0 = 6 X 1 - 2 X 2 Pembatas : 2. Maksimasi : X 0 = 4 X 1 + 4 X 2 X 1 - X 2 1 Pembatas : 2 X 1 + 7 X 2 1 3 X 1 - X 2 6 X 1, X 2 0 7 X 1 + 2 X 2 6 X 1, X 2 0

Soal-Soal LATIHAN 3. Dakota Furniture makes desks, tables, and chairs. Each product needs the limited resources of lumber, carpentry and finishing; as described in the table. At most 5 tables can be sold per week. Maximize weekly revenue. Resources Desk Table Chair Max Avail. Lumber (board feet) 8 6 1 48 Finishing hours 4 2 1. 5 20 Carpentry hours 2 1. 5 0. 5 8 Unlimited 5 Unlimited 60 30 20 Max Demand Price ($)