OPCJE OPCJE zagadnienia Funkcja wypaty funkcja zysku Rynek

OPCJE

OPCJE - zagadnienia § Funkcja wypłaty, funkcja zysku § Rynek doskonały - założenia § Wzory na wycenę opcji przy założeniu okresowej kapitalizacji odsetek § Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek § Delta hedging (strategia osłonowa delta) § Algorytm wyceny w ustalonej liczbie etapów

Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna Definicja Funkcję zdefiniowaną wzorem lub nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.

Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży Funkcję zdefiniowaną wzorem lub nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

in the money (w cenie), out of the money (poza ceną), at the money (około ceny) Terminy: Opcja kupna Opcja sprzedaży in the money ( w cenie) Cena instrumentu bazowego jest wyższa od ceny wykonania. Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. out of the money (poza ceną) Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. Cena instrumentu bazowego jest wyższa od ceny wykonania. at the money (około ceny) Cena instrumentu bazowego jest zbliżona lub równa cenie wykonania

Wycena opcji – model dwumianowy założenia o rynku doskonałym 1. oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe 2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona 3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami 4. nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji 5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne 6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów 7. brak możliwości arbitrażu

Arbitraż - różne sformułowania § Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat § Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej wartości początkowej, bez ryzyka oraz przyszłych zobowiązań § Możliwość uzyskania natychmiastowego zysku, bez ryzyka oraz przyszłych zobowiązań § Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile) § Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Definicja arbitrażu z użyciem pojęcia prawdopodobieństwa Arbitraż jest sytuacją w której § w chwili t = 0 portfel ma zerową wartość § w chwili t = T wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1 oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

Równoważność portfeli w czasie Własność 1. Jeżeli w chwili końcowej, po czasie T , wartość dwóch portfeli w każdym scenariuszu jest jednakowa (P (1)T = P (2)T ), to również w chwili początkowej ich wartości muszą być równe (P 1 = P 2) Przypuśćmy (przeciwnie) że w chwili początkowej wartość portfela pierwszego była mniejsza niż drugiego: P 1 < P 2 Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa § Krótka sprzedaż portfela P 2 , zakup portfela P 1 § Ulokowanie kwoty (P 2 - P 1) na oprocentowanym koncie W chwili końcowej : § sprzedaż portfela pierwszego za kwotę P (1)T § zakup portfela 2. za kwotę uzyskaną ze sprzedaży § zwrot portfela 2. (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Rezultat - uzyskanie arbitrażowego zysku (P 2 - P 1) (1+r)T Gdyby P 2 był mniejszy – analogiczne rozumowanie prowadzi do uzyskania zysku arbitrażowego.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna przy kapitalizacji okresowej Cel: określenie ceny opcji kupna C 0 Dane: cena realizacji - K cena początkowa akcji - S 0 cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu w przypadku spadku stopa wolna od ryzyka - r Zakładamy ponadto że (i) wycena opcji będzie miała charakter arbitrażowy (przy innej niż uzyskana wycenie będzie możliwy arbitraż ) (ii) akcja nie przynosi dywidendy (iii) rynek jest doskonały (iv) kapitalizacja jest okresowa

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład cena realizacji – 110 zł cena początkowa akcji - 100 zł cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu – 150 zł w przypadku spadku – 70 zł okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku wzrostu ceny akcji Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku spadku ceny akcji

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład § Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczamy symbolem ∆0 § Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie wynosić: - gdy cena akcji wzrośnie - gdy cena akcji spadnie.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Załóżmy ponadto, że portfel jest wolny od ryzyka, czyli po upływie okresu jego wartość jest identyczna przy każdym scenariuszu ceny końcowej akcji oznacza to, że Stąd ∆0 = 0, 5 Zatem portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w liczbie 0, 5 oraz z krótkiej pozycji w opcji kupna, w liczbie 1. W obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należy w chwili początkowej zainwestować kwotę: Oznacza to, że wartość portfela (∆0 , - 1) w chwili początkowej musi być równa V 0 = 29, 17 zł. (Portfel jest wolny od ryzyka, dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi być równa 20%). Z drugiej strony wartość portfela w chwili początkowej można przedstawić w postaci stąd C 0 = 20, 83

Model dwustanowy jednookresowy. Przykład § Uwaga 1. Cena opcji C 0 = 20, 83 zł jest tzw. ceną arbitrażową, lub ceną sprawiedliwą. Rzeczywiście § gdyby cena opcji była wyższa, to inwestor potrzebowałby mniej niż 29, 17 zł na konstrukcję portfela w chwili początkowej, zatem okresowy zysk byłby większy niż 20%, czyli istniałaby możliwość arbitrażu. (np. . C 0 = 22, to wartość portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%) § Gdyby cena opcji była niższa niż 20, 83 zł , to inwestor powinien zająć pozycję odwrotną (krótka sprzedaż 0, 5 akcji, (50 zł) kupno opcji, zdeponowanie pozostałej kwoty (> 29, 17 zł) na koncie). Po upływie okresu należy odkupić 0, 5 akcji za 75 zł i uzyskać z opcji 40 zł (w przypadku zwyżki), bądź odkupić 0, 5 akcji za 35 zł w przypadku zniżki, zatem wydać w obu sytuacjach 35 zł. Ale po upływie okresu depozyt jest wart więcej niż 35 zł. Otrzymujemy arbitrażowy zysk. (wartość portfela w chwili początkowej była zerowa)

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Rozważmy - jak w przykładzie - wolny od ryzyka portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0 Wtedy czyli gdzie

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Gdyby d > 1+r, to możliwy jest arbitraż polegający na zaciągnięciu (nieograniczonego) kredytu przy stopie r oraz zainwestowania tej kwoty w akcje. Gdyby 1+r > u, to możliwy jest arbitraż polegający na krótkiej sprzedaży akcji i ulokowanie pieniędzy na lokacie o oprocentowaniu r. Obie sytuacje wyklucza założenie (7)

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka. Zatem: końc. wart. portf. /(1+r) = początk. wart. portf. Stąd, wyliczając C 0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)

Po uproszczeniach otrzymujemy

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie Stwierdzenie 1. Cena europejskiej opcji kupna w dwustanowym modelu jednookresowym (przy wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem zatem

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji sprzedaży. Stwierdzenie 2. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym wynosi: gdzie P 1 u oraz P 1 u oznaczają wartości opcji sprzedaży (wypłaty z opcji) odpowiednio po wzroście, po spadku akcji, czyli Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując postępowanie z dowodu dla opcji kupna lub wykorzystać parytet kupna-sprzedaży (o czym - później), przy kapitalizacji okresowej

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI Uwaga 2. (a) Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości (b) (c) (d) prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji. Liczby p i (1 -p) można interpretować jako prawdopodobieństwo (odpowiednio) wzrostu, spadku ceny akcji Przy interpretacji liczb p i (1 -p) jako prawdopodobieństwa, cena opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty zdyskontowaną czynnikiem 1/(1+ r). C 0 jest funkcją malejącą zmiennej K na przedziale (S 0 d, S 0 u) C 0 jest funkcją rosnącą zmiennej S 0 na przedziale (K/u, K/d)

Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Uwaga 3. Przy interpretacji probabilistycznej liczb p i (1 - p) wartość oczekiwana ceny akcji po jednym okresie jest równa wartości przyszłej kwoty S 0. Dowód

Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

Model dwustanowy dwuokresowy § Stwierdzenie 3. § gdzie

Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji § Oznaczenia wartości opcji w węzłach

Model dwustanowy dwuokresowy Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili początkowej - czyli w węźle (a)

Model dwustanowy dwuokresowy Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy Mamy więc

Model dwustanowy dwuokresowy Uwaga 4. 1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu jednookresowym liczby można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio dwukrotnego wzrostu , wzrostu i spadku, dwukrotnego spadku akcji. 2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco lub z użyciem dwumianu Newtona

Model dwustanowy n – okresowy Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla modelu dwuokresowego Uwaga 5. Wzór na wycenę opcji kupna w modelu dwuokresowym można uogólnić (metodą indukcji matematycznej) na przypadek modelu n - okresowego:

Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

Ceny końcowe akcji w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Możliwe ceny końcowe muszą mieć postać Sukdn-k, gdzie k = 0, 1, …, n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Sukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez nwyrazowy ciąg (u, u, d, u, …, d, u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym § Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi § pk (1 -p)n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej S 0 ukdn-k wynosi §

Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w modelu n - okresowym Jeżeli p potraktujemy jak prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba dana wyżej jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-k. S 0, zaś liczba max(ukdn-k. S 0 -K, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji. Stwierdzenie 4. Cena opcji kupna C 0 jest równa wartości bieżącej oczekiwanej funkcji wypłaty z opcji.

Model dwustanowy n – okresowy Wzór na wycenę opcji sprzedaży Uwaga 6. Cena opcji sprzedaży w modelu n okresowym dana jest wzorem powyżej. Uwaga 7. Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba P 0 jest równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji sprzedaży. Liczba Max(K-ukdn-k. S 0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży w chwili końcowej w scenariuszu ceny akcji na poziomie ukdn-k. S 0.

Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek STW. 5. Wartość opcji kupna w modelu jednookresowym dwumianowym, w warunkach obojętności wobec ryzyka, przy kapitalizacji ciągłej, dana jest wzorem C = e – r. T [p Cu +(1 -p) Cd ] gdzie p = (e r. T – d)/(u – d) Dowód. § Rozważmy portfel składający się z ∆ akcji (długa pozycja) i jednej opcji (krótka pozycja). § Obliczymy wartość ∆, dla której portfel ten jest wolny od ryzyka. § W przypadku wzrostu ceny akcji wartość portfela w momencie wygaśnięcia opcji jest równa Su∆ - Cu zaś w drugim przypadku Sd∆ - Cd.

Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek Obojętność wobec ryzyka wymaga by wartości te były równe; Su ∆ - Cu = Sd ∆ - Cd. Zatem liczba akcji w portfelu wynosi ∆ = (Cu-Cd) / (Su – Sd) Wartość w chwili początkowej rozpatrywanego portfela wynosi (Su ∆ - Cu)e – r. T. Ponieważ początkowy koszt utworzenia portfela wynosił S∆ - C mamy więc równość S ∆ - C = (Su ∆ - Cu ) e – r. T S ∆ - (Su ∆ - Cu ) e – r. T = C S ∆ e r. T - (Su ∆ - Cu ) = C e r. T ∆(S e r. T – Su) + Cu = C e r. T

Model dwumianowy wyceny opcji ciągła kapitalizacja odsetek ∆(S e r. T – Su) + Cu = C e r. T podstawiając ∆ = (Cu-Cd) / S(u – d) równanie przyjmie postać: C e r. T = (Cu-Cd) S (e r. T – u) /S(u – d) + Cu C e r. T = (Cu-Cd) (e r. T – u) /(u – d) + (u – d)Cu/(u – d) C e r. T = [Cu e r. T - Cd e r. T – Cu u + Cd u + u Cu – d. Cu ]/(u – d) C e r. T = [Cu e r. T - Cd e r. T + Cd u – d. Cu ]/(u – d) C e r. T = Cu (e r. T – d) )/(u – d) + Cd (u - e r. T )/(u – d) C = e – r. T [p Cu +(1 - p) Cd ] gdzie p = (e r. T – d)/(u – d), 1 - p = (u – d - er. T +d)/(u – d)= (u - er. T )/(u – d)

Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek § W modelu jednookresowym Uwaga 8. Cena opcji kupna w modelu n-okresowym, przy ciągłej kapitalizacji odsetek, dana jest wzorem

Porównanie wzorów w modelu jednookresowym kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna

Porównanie wzorów w modelu n – okresowym (kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna)

UWAGI O DELCIE (delta hedging) W analizie jednookresowego modelu wyceny opcji ustaliliśmy liczbę akcji przypadającej na jedną opcję w pozycji krótkiej Jest on jednocześnie proporcją liczby akcji do liczby opcji (w pozycji krótkiej) dla portfela całkowicie zabezpieczonego (hedge ratio). W modelu wielookresowym delta może być różna w każdym węźle siatki zmienności ceny akcji (zatem dla każdego etapu, dla każdej sytuacji) Jeżeli w każdym momencie portfel akcji i opcji ma być całkowicie zabezpieczony, należy modyfikować jego skład w zależności od scenariusza zmiany ceny akcji.

Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

UWAGI O DELCIE (delta hedging) § W przyjętym modelu zmienności akcji, w grafie ceny po k – tym okresie istnieje k+1 węzłów. Ponumerujemy te węzły literą i (i=1 odpowiada scenariuszowi wszystkich spadków, zaś i = k+1 samych wzrostów). W węźle scharakteryzowanym przez parametry (k, i) oznaczmy cenę akcji przez Sik zaś wartość opcji przez Cik § W każdym węźle (k, i) wielkość delty może być inna. Można pokazać że wynosi ona

UWAGI O DELCIE (delta hedging) § Aby portfel składający się z jednej opcji w pozycji krótkiej i pewnej liczby akcji w pozycji długiej, był wolny od ryzyka, liczba akcji musi być modyfikowana w każdym kroku, w zależności od zmieniającej się ceny akcji

Model dwustanowy wielookresowy Przykład wyceny w modelu 10 - etapowym § Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących danych

Model dwustanowy wielookresowy Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym § Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym § Ustalenie funkcji wypłaty opcji ( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero}) § Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym § Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym § Itd. § Wycena opcji w momencie początkowym

Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym Siatka cen akcji w modelu dwumianowym

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie funkcji wypłaty z opcji po 10. etapie

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w 9. etapie – ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji w każdym etapie, w kazdej sytuacji ( ze wzoru na wycenę w modelu jednookresowym)

Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości opcji na podstawie wzoru

Notacja § K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward § T- okres (w latach) pozostający do dostawy § S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu § f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward § r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) Litery S, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S 0, St, ST,

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S 0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: a) w chwili T: S T < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S T > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Stw. 8. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także równy wartości opcji, czyli C 0 = P 0 + f gdzie C 0 , P 0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, f - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C 0 = P 0 + S 0 - e-r. T K Uwaga. Jeżeli założymy kapitalizację okresową oraz wolną od ryzyka stopę r w okresie do realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać C 0 = P 0 + S 0 - K/(1+r)

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Uwaga 9. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać C 0 = P 0 + S 0 - K/(1+r) Z ostatniej równości oraz wzorów Można także uzyskać wzór na cenę opcji sprzedaży

Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz opcji sprzedaży § Ce cena europejskiej opcji kupna § Pe cena europejskiej opcji sprzedaży § Ca cena amerykańskiej opcji kupna § Pa cena amerykańskiej opcji sprzedaży § r stopa procentowa wolna od ryzyka, przy kapitalizacji ciągłej § So cena akcji w chwili początkowej § T termin realizacji opcji § K cena wykonania opcji

Ograniczenia na cenę opcji kupna Stw. 9. Ceny opcji kupna spełniają następujące nierówności So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-r. T, 0 ) Uzasadnienie Cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję bezpośrednio na rynku, zatem So ≥ Ca Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli Ca ≥ Ce z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-r. T ) Ce = So – K e-r. T + Pe wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0, ) zatem Ce ≥ So – K e-r. T Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy Ce ≥ max( So – K e-r. T, 0 )

Wartość wewnętrzna i wartość czasowa Def. Wartość wewnętrzna opcji kupna jest to różnica między ceną instrumentu bazowego S, a ceną wykonania K, w przypadku gdy S-K>0 , oraz zero w przypadku gdy S-K<0. Def. Wartość czasowa (zewnętrzna) opcji jest to różnica między ceną opcji (premią), a jej wartością wewnętrzną jeśli różnica ta jest nieujemna w przeciwnym razie wartość czasowa jest równa zeru.

Zależność między premią (ceną) opcji kupna a ceną instrumentu bazowego oraz wartością wewnętrzną opcji gdzie TV- ( time value ) wartość czasowa IV – (intrinsic value) wartość wewnętrzna

Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży Stw. 10. Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące nierówności K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max ( Ke-r. T –S 0 , 0) Uzasadnienie Gdyby K < Pa , to wystawiając opcję sprzedaży z cena wykonania K uzyskujemy – w najgorszym przypadku Pa - K (co jest zyskiem arbitrażowym); Pa ≥ Pe gdyż za szersze uprawnienia opcji amerykańskiej nie możemy płacić mniej; z parytetu ceny opcji Pe = Ce - So + K e-r. T oraz nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy Pe ≥ Ke-r. T -So , ponieważ Pe ≥ 0, więc Pe ≥ max(Ke-r. T –S 0 , 0)

Równość cen Ce=Ca przy tej samej K, tym samym T, na akcje nie przynoszące dywidendy § Dow. Z poprzednich rozważań Ca ≥ Ce § Gdyby Ca > Ce możliwa jest strategia: t=0 § Sprzedaż opcji ameryk. za Ca § Kupno opcji europ. za Ce § Lokata kwoty Ca - Ce przy oprocentowaniu r T≥t, wykonanie opcji ameryk. przez jej nabywcę St > K krótka sprzedaż akcji (pożyczenie akcji), sprzedaż akcji za K (obowiązek wystawcy opcji) lokata kwoty K przy oprocentowaniu r t=T Jeśli ST > K , wykonanie opcji europ. – kupno akcji za K zamknięcie krótkiej sprzedaży – oddanie akcji podjęcie kwoty: (Ca - Ce ) er. T+Ker(T-t) Bilans: (Ca - Ce ) er. T + K er(T-t) – K >0 (zysk arbitrażowy) jeśli K ≥ ST , zakup akcji za ST, zamknięcie krótkiej sprzedaży Bilans (Ca - Ce ) er. T + (K er(T-t) – ST) >0 (bo oba składn. >0) Jeśli opcja ameryk. nie była wykonana do chwili T obie opcje wygasają, (brak obowiązków wystawcy) otrzymujemy kwotę (Ca - Ce ) er. T > 0 (arbitraz)

Algorytm wyceny amerykańskiej opcji sprzedaży w modelu wieloetapowym § § 1. Sporządzenie grafu ceny akcji § 3. Ustalenie wypłaty z amerykańskiej opcji sprzedaży w każdym punkcie grafu po (n-1) etapach: max(K-S(n-1); 0) § 4. Wycena opcji europejskiej w każdym punkcie grafu po (n-1) etapach § 5. Znalezienie w każdym węźle grafu po (n-1) etapach maksimum z wartości obliczonych w pt. 3 oraz w pt. 4. To maksimum jest wartością opcji amerykańskiej w danym węźle 2. Ustalenie wypłaty z amerykańskiej opcji sprzedaży po n etapach: max(KS(n); 0) § 6. Obliczenie we wszystkich węzłach po (n-2) etapach wart. opcji europ. bazując na wyliczonych krok wcześniej wartościach opcji amerykańskiej. Obliczenie maksimum z tego wyniku i wypłaty opcji amerykańskiej dla danego węzła. To maksimum jest wartością opcji amerykańskiej w danym § węźle 7. Kontynuacja procedury aż do początku grafu

Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży Przykład

Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży Oznaczenia: WYC E- wycena opcji europejskiej WYP A- wypłata opcji amerykańskiej

Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży

Siatka zmienności ceny akcji przy dywidendzie będącej ułamkiem ceny akcji

Siatka zmienności ceny akcji dla dywidendy niezależnej od ceny

Wycena opcji § J. C. Cox, S. A. Ross, M. Rubinstein Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym § Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton (1973) Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym § Fischer Black, Myron Scholes Nagroda Nobla 1997 - za nową metodę wyceny instrumentów pochodnych