Funkcje tworzce s wygodnym narzdziem przy badaniu zmiennych

Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre. Euler używał ich intensywnie do badania problemów z teorii liczb. Def. Funkcją tworzącą ciągu liczbowego (pj), j=0, 1, … nazywamy funkcję : , jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbiezny w niepustym przedziale (-a, a). Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych i o rozkładzie P(X = j) = pj , j=0, 1, … to funkcję tworzącą ciągu (pj) nazywamy funkcją tworzącą zmiennej losowej X i oznaczamy g. X. Z definicji wynika natychmiast, że g. X(s)=Es. X. Oczywiście funkcja tworząca zależy tylko od rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

• Funkcja tworząca jest dobrze określona co najmniej dla oszacowania : wynika wtedy bezwględna zbieżność szeregu (1). Dla |s| < 1 pierwsze dwie pochodne wynoszą : a ogólnie : Stąd dla s = 0 mamy : , bowiem z

• Udowodniliśmy zatem następujące : • Twierdzenie : Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą. • Powróćmy do wzoru (2). Jeśli EX < N, to szereg definiujący pierwszą pochodną jest zbieżny dla s = 1. Na mocy twierdzenia Abela mamy wtedy : Jeśli EX = N, to szereg Można zatem przyjąć Otrzymujemy wtedy po prostu : Podobnie : jest rozbieżny, ale i dopuszczając wartość N.

• Jeżeli EX 2 < N, to z (3) i (4) otrzymujemy : • Przykład : Niech X ma rozkład geometryczny P(X = j) = qj p , gdzie j = 0, 1… Wtedy : Stąd : i

Funkcja tworząca sumy niezależnych składników • Z zależności g. X(s) = Es. X wynika następujące : • Twierdzenie : Jeżeli X 1, X 2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g 1, g 2, …, gn, to suma X 1 + X 2 + … + Xn ma funkcję tworzącą : • D o w ó d. Ponieważ X 1, X 2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zmienne losowe s. Xi , i = 1, 2, . . . , n są niezależne i g X 1 + X 2 + … + Xn (s) = Es. X 1 + X 2 + … + Xn = , ale g. Xi(s) = Es. Xi , zatem g X 1 + X 2 + … + Xn (s) =

• Twierdzenie : Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g 1, g 2 , , to P(X-Y = k) jest równe współczynnikowi przy sk w funkcji g 1(s)g 2(1/s). • D o w ó d. Mamy Obliczmy wyraz z sk. Dla k >= 0 ma on postać : Dla k < 0 rachunki są podobne.

• Przykład. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczb od 000000 do 999999 będzie miała sumę pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr. Jeśli X = X 1 + X 2 + X 3 będzie sumą pierwszych trzech cyfr, a Y = Y 1 + Y 2 + Y 3 będzie sumą ostatnich trzech cyfr, to gx(s)gy(1/s) = 10 -6 s-27(1 -s 10)6(1 -s)-6. Zatem współczynnik przy s 0 jest równy :