FUNKCJA JEJ WASNOCI ORAZ RODZAJE CO TO JEST

FUNKCJA JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE

CO TO JEST FUNKCJA? WŁASNOŚCI FUNKCJA FUN KCJ I JEJ A LIN IOW WŁA A SNO Ś ŚCI JI C K N FU H Y YC D A OW Ł K INI Y Z PR NIEL

Co to jest funkcja ?

Definicja: Dane są dwa zbiory A i B Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B. A B e 1 a 4 b c 5 3 d 2 A - dziedzina funkcji B - przeciwdziedzina funkcji elementy zbioru A- argumenty elementy zbioru B - wartości

Przykład funkcji I Każdy samochód, ma dokładnie jeden numer rejestracyjny. A dziedzina B przeciwdziedzina WRZ 2435 KRB 18003 CEK 2112 CZS 4503

Przykład funkcji II Każdy uczeń A ma dokładnie jeden numer w dzienniku B Każdy ma jeden numer Jola K. 12 19 Zbyszek W. Kasia B. Jacek Z. Tomek D. A - DZIEDZINA 5 21 7 B - PRZECIWDZIEDZINA

Różne sposoby opisywania funkcji SŁOWNIE TABELĄ WZOREM WYKRESEM GRAFEM Uwaga: Z każdego opisu musi jednoznacznie wynikać sposób przyporządkowania, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji.

Przykład I - OPIS SŁOWNY Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. Dziedzina zbiór uczniów danej klasy. Przeciwdziedzina zbiór liter Przykład II - Każdej liczbie ze zbioru X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. Dziedzina Przeciwdziedzina zbiór X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} zbiór Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Przykład III - Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Dziedzina zbiór liczb naturalnych. Przeciwdziedzina zbiór liczb całkowitych

Przykład I Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. TABELA Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil J K T W B W M. P K GRAF Wiesiek M Basia Kasia Jola B Tomek J Mariusz Marta Bogdan Paweł B Waldek W P T Kamil WYKRES K WZÓR Uwaga! Tej funkcji nie da się opisać wzorem ani wykresem ponieważ nie jest to funkcja liczbowa

Przykład II Każdej liczbie ze zbioru X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. TABELĄ WYKRESEM -3 -2 -1 0 1 2 3 0 6 1 2 3 4 5 WZOREM f: x x+3 lub f(x) = x+3 lub y = x+3 dla x € {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} x

Przykład III Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Uwaga! Ponieważ dziedziną tej funkcji jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, nie można sporządzić tabeli ani grafu. Możemy się ograniczyć do tabeli częściowej (tzn. dla kilku wybranych elementów). TABELA 1 2 3 WYKRES x 0 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 WZÓR f: x -x f(x) = - x y=-x dla x € N 4 5

WYKRES -jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością funkcji dla tego argumentu. (x, f(x)) jeżeli x = 1, to y = 2 y y=2 x (2, 4) jeżeli x = 2, to y = 4 (1, 2) jeżeli x = -2, to y = - 4 x 1 2 -2 y 2 4 -4 x f(x) = y= 2 x wartość jest dwa razy większa od argumentu * (-2, -4)

Przykłady wykresów funkcji y = 2 x+1 dla różnych dziedzin Dziedzina funkcji x € {1, 2, 3} f(x) = y = 2 x+1 x-argument y-wartość Dziedzina funkcji x€R Dziedzina Funkcji x€C

WŁASNOŚCI FUNKCJI

w Wraz ze wzrostem argumentów, rosną wartości funkcji. a r t o ś c i a r g u m e n t y

FUNKCJA jest ROSNĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości. y Y 5 Y 4 X 1 rosną X 2 X 3 X 4 X 5 x Y 2 rosną Y 3 Jeżeli X 1 < X 2, to Y 1 < Y 2. Y 1 * Funkcja liniowa jest rosnąca dla a > 0.

w a r t o ś c i a r g u m e n t y Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości funkcji.

FUNKCJA jest MALEJĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości. Y y 1 maleją Jeżeli x 1 < x 2, to y 1 > y 2 x x 1 * rosną x 2 0 Funkcja liniowa jest malejąca dla a < 0.

Różne argumenty, równe wartości funkcji. w a r t o ś c i a r g u m e n t y

FUNKCJA jest STAŁA jeżeli wszystkim argumentom odpowiada ta sama wartość. Y te same wartość y y Jeżeli x 1< x 2, to y = y ( jest stały ) y x x 1 x 2 0 x 3 x 4 różne argumenty * Funkcja liniowa jest stała dla a =0.

Uwaga ! Nie wszystkie funkcje są monotoniczne (tzn. rosnące, malejące lub stałe) w całej dziedzinie. Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna. Dla x (- 6 ; - 4) - rosnąca Dla x (- 4 ; -1) - stała Dla x (-1 ; 0) - malejąca Dla x ( 0 ; 4 ) - rosnąca Dla x (4 ; 6 ) - stała

Miejscem zerowym funkcji jest argument, CJ A dla którego wartość funkcji wynosi 0. NI A x 1 FI DE B xo x 2 xo x 3 y 1 f(x) 0 y 2 y 3 y f(xo) = 0. Przykłady obliczania miejsc zerowych dla funkcji określonych wzorami: Liczymy argument Wartość funkcji wynosi 0 x=? y=0 * Funkcja liniowa y = 2 x - 5 0 = 2 x - 5 2 x = 5 xo = 2, 5 Funkcja kwadratowa y = x 2 - 9 0 = x 2 - 9 x 2 = 9 xo = 3 lub xo = - 3

Miejsca zerowe można także odczytać z tabeli i wykresu. x -1 1 2 3 4 5 y = 0 dla xo = 2 y -3 -1 0 -3 -4 -5 Miejsce zerowe funkcji odczytujemy z wykresu, określając odciętą punktu przecięcia z osią OX. Dwa miejsca zerowe Xo = - 2 i Xo = 2 Jedno miejsce zerowe Xo = 1 Brak miejsc zerowych

Wartości funkcji odczytujemy na osi Y. Dla argumentu x = - 3, wartość wynosi y = -2, 5, dla argumentu x = 3, wartość wynosi y = 1. Y + I C Ś O T y R = A W f(x) + + DODATNIE + + + (3, 1) X - - (- 3; -2. 5) - - UJEMNE - -

E I K U G AR ? Y T N E + M + JA + + DODATNIE + + - - UJEMNE - - Dla x ( -6; -1, 5) wartości funkcji są ujemne. Dla x ( -1. 5; 2) wartości funkcji wynoszą 0. * W AR TO + JA - KI E Dla x (2; 6) wartości funkcji są dodatnie. ŚC I?

FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚI

FUNKCJA LINIOWA y =a x+b -Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. - a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wskazuje on kąt nachylenia prostej do osi OX. - współczynnik b określa punkt przecięcia prostej z osią OY. * Jest to funkcja opisana wzorem y = ax+b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami liczbowymi. x jest argumentem, y wartością funkcji, x R. y a = tg b=2 x

Jak rysujemy wykres funkcji liniowej? Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Żeby narysować prostą trzeba mieć co najmniej 2 punkty OBLICZENIA y = 3 x+2 (1, 5) jeżeli x=1 to y=3*1+2=5 punkt ( 1, 5 ) x = -2 to y=3*(-2)+2 = - 4 punkt (- 2, -4 ) TABELA x y=3 x+2 * -2 1 -4 5 WYKRES (-2, -4 )

Wykresy funkcji y = ax w zależności od współczynnika kierunkowego a. (b=0) Różne współczynniki a, a > 0 wykres leży w I i III ćwiartce różne kąty nachylenia do osi OX a < 0 wykres leży w II i IV ćwiartce y= II -5 I x y= -2 a=2 x a=1/2 y = 2 x y a=5 a= -2 x 5 = III a= -5 IV

Wykresy funkcji liniowych b=10 + x =2 b=2 10 y y= + 2 x y= b=0 b= -4 2 2 x y= 2 x = y y=ax+b 4 2 x b= -10 10 Współczynnik b wskazuje punkt przecięcia z osią OY (0, b) Współczynnik kierunkowy a=2 wskazuje kąt nachylenia prostej do osi OX. (ten sam kąt - proste są równoległe)

Monotoniczność funkcji liniowej y = ax+b > a a 0 c ą n s o r Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. np. y=2 x+2 Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. stała a=0 np. y= -2 x+2 ma lej ąc aa <0 Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy a wynosi 0. np. y=0 x -2=-2 *

Miejsce zerowe funkcji liniowej y = ax+b Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Wartość funkcji wynosi 0 y=0 Liczymy argument xo = ? 1, 25 y = 4 x - 5 0 = 4 x - 5 4 x = 5/4 x = 1, 25 * y = 4 x +5 A= ( 1, 25; 0) X 0 = 1, 25 miejsce zerowe

Wartości funkcji liniowej y = ax+b JA Y? NT E I K E M U G R A JA - UJEMNE - - * y= 1 + x KI E W + + + ART DODATNIE + + + OŚ CI xo = -1 jest miejscem zerowym funkcji. Dla x > -1 wartości funkcji są dodatnie. Dla x < -1 wartości funkcji są ujemne. ?

Przykładem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta y = ax, b=0 Wykres jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych Wielkości i y nazywamy wprostproporcjonalnych proporcjonalnymi Przykładyx wielkości wprost * • y=4 x, x-długość boku y-obwód kwadratu • y=¶x, x-średnica okręgu y-długość okręgu • y=nx, x-długość boku wielokąta foremnego y-obwód wielokąta n- liczba boków • y=kx, x-ilość towaru y- wartość towaru k- cena towaru • s=vt, t-czas, s-droga, v prędkość w ruchu jednostajnym

PRZYKŁADY FUNKCJI nieliniowych

FUNKCJA KWADRATOWA Jest to funkcja opisana wzorem y = ax 2 + b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i a o. PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Jest to funkcja opisana wzorem y = a /x gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0. MODUŁ LICZBY Jest to funkcja opisana wzorem y = | ax+ b | gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola y= a — x a = x • y współczynnik proporcjonalności y x i y nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. a 0 x Przykładem wielkości odwrotnie proporcjonalnych są długości zmieniających się boków prostokąta przy stałym polu. P =x • y x, y -długości boków. *

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola 4 1 2 3 y= 2 x 2 y= -2 x 2 a>0 a<0 y = 2 x 2 +10 y = 2 x 2 -5 * b=10 b=-5

Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję y = x +2 y = x+2

Dziękuję za uwagę Koniec pokazu