Analiza matematyczna IV Caki WYKAD 10 Caki oznaczone

Analiza matematyczna IV. Całki WYKŁAD 10 Całki oznaczone Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu • • • definicja Riemanna całki oznaczonej, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, interpretacja fizyczna całki oznaczonej, podstawowe twierdzenia, własności całki oznaczonej, twierdzenia podstawowe rachunku całkowego.

Definicja Riemanna całki oznaczonej Podziałem odcinka [a, b] na n części, gdzie nazywamy zbiór: gdzie

Definicja Riemanna całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicja Riemanna całki oznaczonej Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b] oraz niech P będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim tego podziału nazywamy liczbę:

Definicja Riemanna całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicja Riemanna całki oznaczonej Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b]. Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem: o ile granica po prawej stronie równości jest właściwa oraz nie zależy od sposobu podziałów P przedziału [a, b] ani od sposobu wyboru punktów pośrednich

Definicja Riemanna całki oznaczonej Przyjmujemy dodatkowo:

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Interpretacja fizyczna całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Interpretacja fizyczna całki oznaczonej Niech F(t)=(x(t), y(t)) będzie funkcją wektorową określoną na przedziale [a, b], gdzie funkcje x i y są całkowalne na tym przedziale. Całkę oznaczoną z funkcji wektorowej F na przedziale [a, b] definiujemy wzorem:

Podstawowe twierdzenia Warunek wystarczający całkowalności funkcji Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.

Podstawowe twierdzenia Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to:

Podstawowe twierdzenia I główne twierdzenie rachunku całkowego Twierdzenie Newtona-Leibniza Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to: gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.

Podstawowe twierdzenia Twierdzenie o liniowości całki oznaczonej Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b], to:

Podstawowe twierdzenia Całkowanie przez części Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a, b], to:

Podstawowe twierdzenia Całkowanie przez podstawienie Jeżeli: • funkcja ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b], • • funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to:

Własności całki oznaczonej Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a, b] oraz niech funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz:

Własności całki oznaczonej Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz , to:

Własności całki oznaczonej Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: • są całkowalne na przedziale [a, b], • oraz dla każdego to:

Własności całki oznaczonej Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [a, b]. Wartością średnią funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy liczbę:

Własności całki oznaczonej Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Własności całki oznaczonej Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to: to znaczy:

Własności całki oznaczonej Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz: • jest nieparzysta, to: • jest parzysta, to: • ma okres T, to:

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a, b] oraz niech Funkcję: gdzie całkowania. nazywamy funkcją górnej granicy

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to funkcja: gdzie jest ciągła na przedziale [a, b].

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego II główne twierdzenie rachunku całkowego Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz ciągła w punkcie x 0 tego przedziału, to funkcja: gdzie x 0 oraz: , ma pochodną właściwą w punkcie